Potenzregel bei Brüchen und Wurzeln

Potenzregel bei Brüchen und Wurzeln Übung

• Vervollständige das Beispiel zur Potenzregel bei Brüchen.

  Tipps

  Du kannst die Funktion $g(x)$ ohne Bruch, allerdings mit einem negativen Exponenten schreiben.

  Beispiel:

  $g(x)=\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$

  $ g'(x) = -3 \cdot x^{-4}= -3 \cdot \dfrac{1}{x^4} = -\dfrac{3}{x^4}$

  Lösung

  Wir können Brüche mithilfe der Potenzregel ableiten. Dazu müssen wir jedoch den Bruch zunächst als Potenz darstellen. Dabei gilt:

  $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$
  Wir können dies auf unser Beispiel anwenden. Wir schreiben den Term ohne Bruch, allerdings mit einem negativen Exponenten:
  $g(x)=\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$

  Wir können nun die Potenzregel anwenden:
  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$
  Wir müssen den Exponenten als Faktor vor die Potenz setzen und den Exponenten der Potenz um eins verringern:
  $ g'(x)= -2 \cdot x^{-2-1} = -2 \cdot x^{-3}$
  Wir können nun den Term wieder als Bruch schreiben:
  $ g'(x)= -2 \cdot \dfrac{1}{x^3} = -\dfrac{2}{x^3}$

• Bestimme die Ableitung der Funktion mithilfe der Potenzregel.

  Tipps

  Wir können die Potenzregel auch auf Wurzeln anwenden. Dazu müssen wir jedoch die Wurzel als Potenz darstellen:
  $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

  Die Potenzregel lautet allgemein:

  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$

  Lösung

  Die Potenzregel hilft uns, Ableitungen von Potenzen zu bestimmen:
  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$
  Wir können die Potenzregel auch auf Wurzeln anwenden. Dazu müssen wir jedoch die Wurzel zunächst als Potenz darstellen. Dabei gilt:
  $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$
  Wir müssen also den Exponenten als Bruch schreiben. Danach können wir die Potenzregel anwenden und schreiben den Exponenten als Faktor vor die Potenz und verringern den Exponenten der Potenz um eins.

  Wir wenden dies auf unsere Funktionen an:

  Erste Funktion:
  $f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
  $f'(x)= \dfrac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$
  Wir können nun den Term wieder als Wurzel schreiben:
  $f'(x)= \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $

  Zweite Funktion:
  $f(x)= \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$
  $f'(x)= \dfrac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1} = \dfrac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$
  Wir können nun den Term wieder als Wurzel schreiben:
  $f'(x)= \dfrac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{x^{\frac{1}{3}}}= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} $

  Dritte Funktion:
  $f(x)= \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$
  $f'(x)= \dfrac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1} = \dfrac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$
  Wir können nun den Term wieder als Wurzel schreiben:
  $f'(x)= \dfrac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{x^{\frac{2}{3}}}= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $

  Vierte Funktion:
  $f(x)=2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$
  $f'(x)= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$
  Wir können nun den Term wieder als Wurzel schreiben:
  $f'(x)= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}= \dfrac{1}{\sqrt{x}} $

• Ermittle die Ableitungen der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Wir können Brüche und Wurzeln mihilfe der Potenzregel ableiten:
  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$

  Wurzeln können zu Potenzen umgewandelt werden.

  Beispiel:

  $\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}$
  $\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$

  Lösung

  Wir können Brüche und Wurzeln mithilfe der Potenzregel ableiten:
  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$

  Dazu müssen wir diese jedoch zunächst als Potenz darstellen. Dabei gilt:

  • $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$

  
  

  • $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

  
  

  Wir schreiben die gegebenen Funktionen also zunächst als Potenz und leiten diese dann ab:

  Aufgabe 1:
  $f(x)= \sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}$
  $f'(x)= \dfrac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}-1} = \dfrac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}= \dfrac{3}{2} \cdot \sqrt{x}= \dfrac{3\sqrt {x}}{2} $

  Aufgabe 2:
  $g(x)=\dfrac{3}{x^3}=3x^{-3}$
  $g'(x)= 3 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -9 \cdot x^{-4} = -9 \cdot \dfrac{1}{x^4} = -\dfrac{9}{x^4}$

  Aufgabe 3:
  $h(x)=\dfrac{1}{2x^3}=\dfrac{1}{2} x^{-3}$

  $h'(x)= \dfrac{1}{2} \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -\dfrac{3}{2} \cdot x^{-4} = -\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{x^4} = -\dfrac{3}{2x^4}$

  Aufgabe 4:
  $i(x)= \sqrt[3]{x^5}=x^{\frac{5}{3}}$
  $i'(x)= \dfrac{5}{3} \cdot x^{\frac{5}{3}-1} = \dfrac{5}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}}= \dfrac{5}{3} \cdot \sqrt[3]{x^2}= \dfrac{5 \sqrt[3]{x^2}}{3} $

• Überprüfe die Ableitungen.

  Tipps

  Schreibe die Funktion zunächst als Potenz. Bilde dann die Ableitung mithilfe der Potenzregel und vergleiche mit der gegebenen Ableitung.

  Achte auf die Vorzeichen!

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob die Ableitungen richtig gebildet wurden, müssen wir die Potenzregel anwenden:
  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$

  Dazu müssen wir die Funktionen jedoch zunächst als Potenz darstellen. Dabei gilt:

  • $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$

  
  

  • $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

  
  

  Wir schreiben die gegebenen Funktionen also zunächst als Potenz und überprüfen dann die Ableitung:

  Funktion 1:
  $\color{#669900}{f(x)= 3\sqrt{x^5} \quad f'(x)= \dfrac{15\sqrt {x^3}}{2}}$
  Richtig! Wir rechnen Schritt für Schritt nach:
  $f(x)= 3\sqrt{x^5}=3x^{\frac{5}{2}}$
  $f'(x)= 3 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x^{\frac{5}{2}-1} = \dfrac{15}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}= \dfrac{15}{2} \cdot \sqrt{x^3}= \dfrac{15\sqrt {x^3}}{2} $

  Funktion 2:
  $f(x)=\dfrac{4}{x^4} \quad f'(x)= -\dfrac{4}{x^5}$
  Falsch! Ein Faktor $4$ wurde vergessen. Richtig lautet die Rechnung:
  $f(x)=\dfrac{4}{x^4}=4x^{-4}$

  $f'(x)= 4 \cdot ({-}4) \cdot x^{-4-1} = -16 \cdot x^{-5} = -16 \cdot \dfrac{1}{x^5} = -\dfrac{16}{x^5}$

  Funktion 3:
  $f(x)=-\dfrac{3}{2x^3} \quad f'(x) =- \dfrac{9}{2x^4}$
  Falsch! Hier wurde ein Vorzeichenfehler gemacht. Richtig lautet die Rechnung:
  $f(x)=-\dfrac{3}{2x^3}=-\dfrac{3}{2} x^{-3}$

  $f'(x)= -\dfrac{3}{2} \cdot ({-}3) \cdot x^{-3-1} = \dfrac{9}{2} \cdot x^{-4} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{1}{x^4} = \dfrac{9}{2x^4}$

  Funktion 4:
  $\color{#669900}{f(x)= \sqrt[5]{x^3} \quad f'(x)= \dfrac{3}{5\sqrt[5]{x^3}}}$
  Richtig! Wir rechnen Schritt für Schritt nach:
  $f(x)= \sqrt[5]{x^3}=x^{\frac{3}{5}}$

  $f'(x)= \dfrac{3}{5} \cdot x^{\frac{3}{5}-1} = \dfrac{3}{5} \cdot x^{-\frac{2}{5}}= \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{x^{\frac{2}{5}}}= \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[5]{x^2}} = \dfrac{3}{5\sqrt[5]{x^2}} $

• Stelle die Brüche und Wurzeln als Potenzen dar.

  Tipps

  Entscheide zunächst, ob du eine Wurzel oder einen Bruch vorliegen hast. Je nachdem ändert sich die Umformung zu einer Potenz.

  Liegt ein Bruch vor, schreibst du den Term ohne Bruch, allerdings mit einem negativen Exponenten.

  Beispiel:

  $g(x)=\dfrac{1}{x^4}=x^{-4}$

  Lösung

  Die Potenzregel hilft uns, Ableitungen von Potenzen zu bestimmen:
  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$
  Wir können auch Brüche und Wurzeln mithilfe der Potenzregel ableiten. Dazu müssen wir diese jedoch zunächst als Potenz darstellen. Und zwar so, dass die Potenz im Zähler steht. Dazu verwenden wir folgende Zusammenhänge:

  • Für Wurzeln gilt: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$
  • Für Brüche gilt: $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$

  Damit können wir die gegebenen Terme umwandeln:

  • $\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}}$

  
  

  • $\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$

  
  

  • $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$

  
  

  • $\dfrac{1}{x^1}=x^{-1}$

• Bestimme die zweite Ableitung der Funktionen.

  Tipps

  Wir können die zweite Ableitung bestimmen, indem wir die erste Ableitung erneut ableiten.

  Lass die erste Ableitung als Potenz stehen, um die zweite Ableitung zu bilden.

  Lösung

  Wir können Brüche und Wurzeln ableiten, indem wir sie zunächst als Potenz darstellen:

  • $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$
  • $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

  
  

  Anschließend können wir sie mithilfe der Potenzregel ableiten:
  $f(x)= x^n \quad f'(x)= n \cdot x^{n-1}$

  Wir können die zweite Ableitung bestimmen, indem wir die erste Ableitung erneut ableiten. Damit ergibt sich:

  Aufgabe 1:
  $f_1(x)=\dfrac{3}{4x^5}=\dfrac{3}{4} x^{-5}$

  $f_1^\prime(x)= \dfrac{3}{4} \cdot ({-}5) \cdot x^{-5-1} = -\dfrac{15}{4} \cdot x^{-6} $

  $f_1^{\prime\prime}(x)= {-}\dfrac{15}{4} \cdot ({-}6) \cdot x^{-6-1} =\dfrac{90}{4} \cdot x^{-7} = \dfrac{90}{4x^7} = \dfrac{45}{2x^7}$

  Aufgabe 2:
  $f_2(x)= \dfrac{4}{3} \sqrt[4]{x^3}=\dfrac{4}{3} x^{\frac{3}{4}}$

  $f_2^\prime(x)= \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot x^{\frac{3}{4}-1} = x^{-\frac{1}{4}}$

  $f_2^{\prime\prime}(x)= {-}\dfrac{1}{4} \cdot x^{-\frac{1}{4}-1} = - \dfrac{1}{4} \cdot x^{-\frac{5}{4}} = {-}\dfrac{1}{4 \sqrt[4]{x^5}}$