Potenzregel für rationale Potenzen

Potenzregel für rationale Potenzen Übung

• Bestimme die Ableitungen der gegebenen Funktionen und gib die dazugehörige Ableitungsregel an.

  Tipps

  Folgende Potenzgesetze könnten dich bei deinen Überlegungen unterstützen:

  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

  $x^{-1}=\frac{1}{x}$

  Der reziproke Wert von $x$ bezeichnet den Kehrwert von $x$, also $\frac{1}{x}$.

  Die zweite Potenz von x bezeichnet die Multiplikation von $x$ mit sich selbst, also $x\cdot x=x^2$.

  Lösung

  Für das Ableiten der vorgegebenen Funktionen bedienen wir uns folgenden Ableitungsregeln:

  • Potenzregel
  • Quadratwurzelregel
  • Reziprokenregel

  Beginnen wir mit dem Ableiten der gegebenen Potenzfunktion. Wie der Name bereits verrät, bedienen wir uns dabei der Potenzregel. Es folgt:

  $ \begin{array}{rlll} f(x) & = & x^2 & \\ f'(x) & = & 2\cdot x, & x\in\mathbb{R} \end{array} $

  Das Ableiten der Wurzelfunktion erfolgt mittels der Quadratwurzelregel, sodass wir folgende Ableitung erhalten:

  $ \begin{array}{rlll} g(x) & = & \sqrt{x} & \\ g'(x) & = & \frac{1}{2\sqrt{x}}, & x>0 \end{array} $

  Zum Ableiten der gebrochenrationalen Funktion verwenden wir die Reziprokenregel und erhalten:

  $ \begin{array}{rlll} h(x) & = & \frac{1}{x} & \\ h'(x) & = & -\frac{1}{x^2}, & x\neq 0 \end{array} $

• Gib die Funktionen unter Verwendung der Potenzgesetze in Potenzschreibweise an.

  Tipps

  Schau dir folgende Potenzgesetze an:

  $\frac{1}{x}=x^{-1}$
  $\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$

  Die Kombination aus den beiden Potenzgesetzen liefert dir die Potenzschreibweise von $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

  Schau dir das folgende Beispiel an:

  $\frac{3}{5\sqrt{x}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{3}{5}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

  Lösung

  Für die Potenzschreibweisen der gegebenen Funktionen benötigen wir zwei Potenzgesetze. Diese lauten allgemein:

  • $\sqrt[a]{x}=x^\frac{1}{a}$
  • $\frac{1}{x^b}=x^{-b}$

  Wenden wir nun diese Gesetze auf unsere Beispiele an.

  Beispiel 1: $f(x) = 2\sqrt{x}$

  Es handelt sich hier um eine Quadratwurzel, also gilt $a=2$. Somit folgt:

  $f(x)=2\sqrt{x}=2\cdot\sqrt[2]{x}=2\cdot x^\frac{1}{2}$

  Beispiel 2: $f(x) = \frac1{\sqrt{x}}$

  Auch hier betrachten wir wieder eine Quadratwurzel. Mit $a=2$ für das erste Potenzgesetz erhalten wir $b=\frac{1}{2}$ für das zweite Potenzgesetz. Es folgt:

  $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt[2]{x}}=\frac{1}{x^\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}$

  Beispiel 3: $f(x) = -\frac2{3x}$

  Hier wenden wir das zweite Potenzgesetz mit $b=1$ an und erhalten:

  $f(x)=-\frac{2}{3x}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{2}{3}x^{-1}$

  Beispiel 4: $-\frac{2\sqrt{x}}3$

  Im letzten Beispiel nutzen wir das erste Gesetz mit $a=2$. Es ergibt sich dann folgende Potenzschreibweise:

  $f(x)=-\frac{2\sqrt{x}}{3}=-\frac{2}{3}\cdot\sqrt[2]{x}=-\frac{2}{3}x^\frac{1}{2}$

• Ermittle die erste Ableitung für die jeweilige Funktion.

  Tipps

  Hier siehst du Beispiele für die Anwendung der Potenzgesetze. Diese helfen dir bei Umformungen, die das Ableiten erleichtern.

  • $5\sqrt{x}=5x^{\frac{1}{2}}$
  • $5x^{-1}=\frac{5}{x}$

  Hier siehst du ein Beispiel zu den Ableitungsregeln:

  Ableiten mit Hilfe der Potenzregel

  $ \begin{array}{rlll} f(x) & = & x^4 & \\ f'(x) & = & 4\cdot x^3 & ,x\in\mathbb{R} \end{array} $

  Ableiten mit Hilfe der Quadratwurzelregel

  $ \begin{array}{rlll} g(x) & = &2 \sqrt{x} & \\ g'(x) & = & \frac{1}{\sqrt{x}}, & x>0 \end{array} $

  Ableiten mit Hilfe der Reziprokenregel

  $ \begin{array}{rlll} h(x) & = & \frac{2}{x} & \\ h'(x) & = & -\frac{2}{x^2}, & x\neq 0 \end{array} $

  Lösung

  Die gegebenen Funktionen sollen mittels der Verwendung von Potenzregel, Quadratwurzelregel oder Reziprokenregel je einmal abgeleitet werden.

  Beispiel 1

  Im ersten Beispiel verwenden wir die Potenzregel. Somit erhalten wir:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & 5x^3 \\ \\ f'(x) & = & 3\cdot 5\cdot x^{3-1} \\ f'(x) & = & 15x^{2} \end{array} $

  Beispiel 2

  Hier wenden wir die Reziprokenregel an und erhalten folgende Ableitung:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & -\frac{4}{x} \\ \\ f'(x) & = & \frac{4}{x^2} \end{array} $

  Man kann die Funktion auch als Potenz umschreiben und wie folgt mittels der Potenzregel ableiten:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & -\frac{4}{x} \\ f(x) & = & -4\cdot x^{-1} \\ \\ f'(x) & = & -4\cdot (-1)\cdot x^{-1-1} \\ f'(x) & = & 4\cdot x^{-2} \\ f'(x) & = & \frac{4}{x^2} \end{array} $

  Beispiel 3

  Unter Verwendung der Quadratwurzelregel erhalten wir:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & 5\sqrt{x} \\ \\ f'(x) & = & \frac{5}{2\sqrt{x}} \end{array} $

  Auch hier kannst du den Weg über die Potenzschreibweise gehen. Das Resultat bleibt dasselbe:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & 5\sqrt{x} \\ f(x) & = & 5x^\frac{1}{2} \\ \\ f'(x) & = & \frac{1}{2}\cdot 5\cdot x^{\frac{1}{2}-1} \\ f'(x) & = & \frac{5}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} \\ f'(x) & = & \frac{5}{2\sqrt{x}} \end{array} $

  Beispiel 4

  Im letzten Beispiel wird wieder die Reziprokenregel verwendet, welche folgende Ableitung liefert:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & \frac{1}{6x} \\ \\ f'(x) & = & -\frac{1}{6x^2} \end{array} $

• Leite die gegebenen Funktionen einmal ab.

  Tipps

  Eine Summe leitest du ab, indem du die Summanden einzeln ableitest und diese addierst.

  Hier siehst du ein Beispiel:

  $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$

  $f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}$

  Erinnere dich an die gelernten Ableitungsregeln. Hier siehst du Beispiele, wie diese angewendet werden.

  Potenzregel

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & x^7 \\ f'(x) & = & 7\cdot x^6 \end{array} $

  Quadratwurzelregel

  $ \begin{array}{rll} g(x) & = & \sqrt{x} \\ g'(x) & = & \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{array} $

  Reziprokenregel

  $ \begin{array}{rll} h(x) & = & \frac{1}{x} \\ h'(x) & = & -\frac{1}{x^2} \end{array} $

  Lösung

  Beim Ableiten einer Summe werden die Summanden einzeln abgeleitet und anschließend addiert. Zum Ableiten der einzelnen Summanden werden wieder die Ableitungsregeln verwendet.

  Beispiel 1: $f(x) = 2x^3 + \frac1x$

  Diese Funktion ist die Summe aus einer Potenz- und gebrochenrationalen Funktion. Also brauchen wir zum Ableiten die Potenz- und Reziprokenregel:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = & 2x^3+\frac{1}{x} \\ \\ f'(x) & = & 3\cdot 2x^{3-1}-\frac{1}{x^2} \\ f'(x) & = & 6x^2-\frac{1}{x^2} \end{array} $

  Beispiel 2: $f(x) = \frac25x^5+\sqrt x$

  Hier handelt es sich um eine Summe aus einer Potenz- und Wurzelfunktion. Also brauchen wir zum Ableiten die Potenz- und Quadratwurzelregel:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = &\frac{2}{5}x^5+\sqrt{x} \\ \\ f'(x) & = & \frac{2}{5}\cdot 5x^{5-1}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ f'(x) & = & 2x^4+\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{array} $

  Beispiel 3: $f(x) = \frac1x + \sqrt x$

  Nun betrachten wir die Summe aus einer gebrochenrationalen Funktion und Wurzelfunktion. Also brauchen wir zum Ableiten die Reziproken- und Quadratwurzelregel:

  $ \begin{array}{rll} f(x) & = &\frac{1}{x}+\sqrt{x} \\ \\ f'(x) & = & -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{array} $

• Gib die erste Ableitung der jeweiligen Funktion an.

  Tipps

  Du kannst Wurzel- und gebrochenrationale Funktionen in eine Potenzfunktion umschreiben. Dazu musst du folgende Potenzgesetze nutzen:

  • $\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$
  • $\frac{1}{x}=x^{-1}$

  Eine Funktion, welche in der Potenzschreibweise vorliegt, kannst du mittels der Potenzregel ableiten:

  • $f(x)=x^r$
  • $f'(x)=r\cdot x^{r-1}$

  Lösung

  Nun schauen wir uns das Vorgehen beim Ableiten der gegebenen vier Funktionen an. Für das bessere Verständnis werden wir diejenigen Funktionen, bei denen es sich nicht um eine Potenzfunktion handelt, zunächst einmal in die Potenzschreibweise umschreiben und anschließend mit der Potenzregel ableiten.

  Die Potenzregel für eine allgemeine Potenzfunktion in der Form $f(x)=x^r$ lautet:

  $\ f'(x)=r\cdot x^{r-1}$

  Beispiel 1: $\ f(x)=x$

  Bei dem Graphen dieser Funktion handelt es sich um eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m=1$. Diese Funktion kann man auch in der Form $f(x)=x^1$ schreiben. Nach der Potenzregel erhält man dann folgende Ableitung:

  $f'(x)=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^0$

  Wir wissen, dass jede Zahl hoch $0$ gleich $1$ ist. Also folgt:

  $f'(x)=1\cdot 1=1$

  Somit stimmt die Aussage dass die Ableitung von $f(x)=x$ gleich $f'(x)=1$ ist.

  Beispiel 2: $\ g(x)=\frac{3}{x}$

  Wir haben hier eine gebrochenrationale Funktion. Diese können wir mittels der Potenzgesetze in die Form $g(x)=3\cdot x^{-1}$ umschreiben und anschließend mit der Potenzregel ableiten. So erhalten wir:

  $g'(x)=3\cdot (-1)\cdot x^{-1-1}=-3\cdot x^{-2}=-\frac{3}{x^2}$

  Die Ableitung $g'(x)=-\frac{3}{x^2}$ entspricht nicht der vorgegebenen Ableitung $g'(x)=x^3$. Somit ist diese Aussage falsch.

  Beispiel 3: $h(x)=\sqrt{x}$

  Die gegebene Funktion ist eine Wurzelfunktion. In Potenzschreibweise erhalten wir die Funktion $h(x)=x^\frac{1}{2}$ und können diese mit der Potenzregel ableiten. Es folgt:

  $h'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} $

  Die Lösung $h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} $ entspricht nicht der vorgegebenen Ableitung $h'(x)=x^2\sqrt{x}$. Somit ist auch diese Aussage falsch.

  Beispiel 4: $\ k(x)=\frac{1}{x}$

  Auch hier haben wir wieder eine gebrochenrationale Funktion und schreiben diese in die Potenzschreibweise $k(x)=x^{-1}$ um. Nun leiten wir mittels der Potenzregel ab:

  $k'(x)=(-1)\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

  Da diese Ableitung der vorgegebenen Ableitung entspricht, ist die Aussage korrekt.

• Bestimme die Ableitungsfunktionen der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Schau dir folgende Beispiele für verschiedene Darstellungsmöglichkeiten von Funktionstermen an:

  • $\sqrt{2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}=\sqrt{2}\cdot x^\frac{1}{2}$

  • $\frac{3}{x^8}=3\cdot x^{-8}$

  Die Reziprokenregel gilt nicht nur für $\frac{1}{x}$, sondern auch beispielsweise für $\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x^3}$, $\frac{1}{x^4}$ usw.

  Allgemein kann man die Reziprokenregel schreiben als:

  $f(x)=\frac{1}{x^a}$

  $f'(x)=-a\cdot\frac{1}{x^{a+1}}$

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $f(x)=-\frac{5}{7x^4}$

  Diese Funktion können wir umschreiben:

  $f(x)=-\frac{5}{7}\cdot x^{-4}$

  Nun können wir die Funktion nach der Potenzregel ableiten:

  $f'(x)=-\frac{5}{7}\cdot (-4)\cdot x^{-4-1}$

  $f'(x)=\frac{20}{7}\cdot x^{-5}$

  $f'(x)=\frac{20}{7x^5}$

  Lösung

  Zum Ableiten der Funktionen verwenden wir wieder die uns bekannten Ableitungsregeln.

  Beispiel 1
  Mit der Reziprokenregel erhalten wir für das erste Beispiel:
  $ \begin{array}{rll} \\ f(x) & = & -\frac{2}{3x^3} \\ f(x) & = & -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^3} \\ \\ f'(x) & = & -\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{x^4}\right) \\ f'(x) & = & \frac{2}{x^4} \end{array} $

  Diese Ableitung kann man auch wie folgt schreiben:

  $f'(x)=2x^{-4}$

  Beispiel 2
  Mit der Potenzregel lautet die Ableitung der zweiten Funktion:
  $ \begin{array}{rll} \\ f(x) & = & 0,4x^5 \\ \\ f'(x) & = & 0,4\cdot 5\cdot x^4 \\ f'(x) & = & 2x^4 \end{array} $

  Beispiel 3
  Bei der dritten Funktion wenden wir die Quadratwurzelregel an:
  $ \begin{array}{rll} \\ f(x) & = & \sqrt{x^{10}} \\ \\ f'(x) & = & \frac{10}{2}\cdot\sqrt{x^8} \\ f'(x) & = & 5x^4 \\ \end{array} $

  Beispiel 4
  Und auch hier bedienen wir uns der Potenzregel und erhalten folgende Ableitung:
  $ \begin{array}{rll} \\ f(x) & = & -x^{-3} \\ \\ f'(x) & = & 3x^{-4} \\ f'(x) & = & \frac{3}{x^4} \end{array} $