Potenzregel bei Ableitungen

Hallo.

Die Potenzregel lautet: Die Ableitung von xⁿ, ja das schreibt man so hier mit der Klammer drum und dem Strich dran, also die Ableitung von xⁿ=n×x^n-1.   Konkret angewendet kann man sich das so vorstellen. Wir nehmen eine Funktion f(x)=x². Wir können die Potenzregel auf diese Funktion anwenden, wenn wir nämlich hier für n=2 einsetzen. Hier kommt dann ein Semikolon hin und dann bekommen wir die Ableitungsfunktion f'(x). Und die erhalten wir, in dem wir das hinschreiben und hier wieder für n=2 einsetzen. Dann steht da 2x¹. Aber x¹ schreibt man ja eigentlich nicht, weil x¹ immer gleich x ist und dann schreibt man einfach 2x. Das heißt, wir haben eine Funktion f(x)=x² und bilden die Ableitungsfunktion mit der Potenzregel. Die Ableitungsfunktion ist f'(x) und die ist gleich 2x.   Wenn wir die Ableitung dieser Funktion an einer bestimmten Stelle bestimmen wollen, dann müssen wir hier in diese Ableitungsfunktion eine bestimmte Zahl für x einsetzen. Z. B. -1 könnte man einsetzen und dann steht hier 2×(-1) und das ist einfach gleich -2. Ich glaube das muss ich nicht noch mal hinschreiben.   Ich möchte kurz veranschaulichen wie das dann aussieht. Also wir haben ein Koordinatensystem. Hier ist die x-Achse und hier ist die y-Achse. Wir haben eine Parabel, die ungefähr so aussieht. Dann haben wir hier die Stelle -1, hier ist der zugehörige Punkt des Graphen. Der y-Wert 1 ist hier. Jetzt kann ich an diese Parabel eine Tangente zeichnen und das ist dann eine Gerade, die diesen Graphen der Parabel in genau diesem Punkt hier berührt. So sieht das ungefähr aus. Diese Gerade ist die Tangente an den Graphen in diesem Punkt und diese Tangente hat die Steigung -2. Die Tangentensteigung ist die Ableitung und das haben wir hier schon ausgerechnet. Das ist ja gleich -2.   Man kann nun die Potenzregel auf weitere Potenzfunktionen anwenden Potenzfunktionen haben ja immer die Form x hoch irgendwas. Z. B. kann man das auch auf x⁵ anwenden und dann die Ableitungsfunktion bestimmen. die Ableitungsfunktion ist dann f'(x) - so heißt die immer. Dann muss ich einfach hier in die Potenzregel für n=5 einsetzen, also 5x⁴ ist der Term der Ableitungsfunktion, und wenn man nun die Steigung an einer bestimmten Stelle ausrechnen möchte, muss man für x eine bestimmte Zahl einsetzen und erhält dann die Tangentensteigung an dieser Stelle. Das geht auch mit weiteren Funktionen. Z. B. können wir hier auch f(x)=x¹⁷ nehmen und dann haben wir eine Ableitungsfunktion. Die ist dann gleich so hier als f'(x)=17x¹⁶.     Und so geht das immer weiter. Ich möchte noch 2-3 Spezialfälle zeigen. Wenn wir f(x)=x haben, dann wissen wir ja x=x¹. Wir können auch hierauf die Potenzregel anwenden, wenn wir für n=1 einsetzen. Dann erhalten wir die Ableitungsfunktion f'(x)=1x⁰. x⁰ ist ja 1 und deshalb steht hier eigentlich 1×1, also 1. D. h. die Ableitung von f(x)=x ist f'(x)=1. Oft sagt man ja einfach Ableitung und nicht Ableitungsfunktion. f'(x)=1 hat einen Graphen, der parallel zur x-Achse verläuft, weil die Steigung ja auch immer gleich der Funktion f(x)=x ist.   Was passiert für f(x) = x⁰? Auch darauf kann man die Potenzregel anwenden. Dann haben wir f'(x)=0x^0-1. Das schreibt man natürlich so nicht hin, denn 0 mal irgendwas ist immer gleich 0. Also ist die Ableitungsfunktion f'(x)=0. Das ist eine Funktion, die einen Graphen hat der genau auf der x-Achse liegt. Und so schreibt man das ja hier normalerweise auch nicht. x⁰ ist ja immer gleich 1. Also wenn die Funktion einfach 1 ist, man kann auch sagen 1x⁰ oder x⁰, dann hat diese Funktion nach der Potenzregel die Ableitung 0.   Wir können auch negative Zahlen einsetzen. Z. B. f(x)=x^-1, dann ist n=-1, auch das geht. Die Ableitungsfunktion ist dann f'(x)=-1x^-2 und das kann man jetzt natürlich noch umschreiben in -x^-2. x^-2 bedeuted ja 1/(x²), also könnte man auch schreiben -1/(x²). Das spare ich mir jetz hier, das weißt du noch von den Potenzgesetzen her, als du Termumformung gemacht hast und das muss ich jetzt hier nicht alles erläutern.

Man kann auch Zahlen einsetzen die keine ganzen Zahlen sind, also man kann auch Brüche einsetzen oder eben auch irrationale Zahlen, alle möglichen Zahlen, ist völlig egal. Dann haben wir hier z. B. mal x^1/2. f(x)=x^1/2. Auch darauf kann man die Potenzregel anwenden und dann erhalten wir f'(x)=1/2x^-1/2. Nur noch mal zur Wiederholung: x^-1/2=1/(\sqrt(x)). Wenn du da nicht mehr ganz sicher bist kannst du gerne noch mal bei den Potenzgesetzen nachgucken. Hier machen wir ja die Potenzregel. Die Potenzgesetze beziehen sich ja darauf, was solche Ausdrücke hier bedeuten. Da kannst du dich da noch mal fit machen, falls du das vergessen hast und falls du das hier brauchst, um mit der Potenzregel ableiten zu können.   Viel Spaß damit. Tschüss.