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Potenzregel bei Ableitungen

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Martin Wabnik
Potenzregel bei Ableitungen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Potenzregel bei Ableitungen

Herzlich Willkommen! Was erwartet dich in dem vorliegenden Video? Es ist die Potenzregel. Man benötigt die Potenzregel für das Ableiten von Potenzen. Wie genau die Regel lautet und wie sie funktioniert, zeigen wir dir im Video. Am Anfang wird dir anhand der quadratischen Funktion f ( x ) = x² gezeigt, wie man die Potenzregel anwendet und was die Ableitung an einer Stelle graphisch bedeutet. Nutze die Gelegenheit und versuche die nachfolgenden Funktionen selbständig abzuleiten. Nur so kannst du überprüfen, ob du die Potenzregel verstanden hast. Halte hierzu das Video an den entsprechenden Stellen an.

Transkript Potenzregel bei Ableitungen

Hallo.

Die Potenzregel lautet: Die Ableitung von xn, ja das schreibt man so hier mit der Klammer drum und dem Strich dran, also die Ableitung von xn=n×xn-1.   Konkret angewendet kann man sich das so vorstellen. Wir nehmen eine Funktion f(x)=x2. Wir können die Potenzregel auf diese Funktion anwenden, wenn wir nämlich hier für n=2 einsetzen. Hier kommt dann ein Semikolon hin und dann bekommen wir die Ableitungsfunktion f'(x). Und die erhalten wir, in dem wir das hinschreiben und hier wieder für n=2 einsetzen. Dann steht da 2x1. Aber x1 schreibt man ja eigentlich nicht, weil x1 immer gleich x ist und dann schreibt man einfach 2x. Das heißt, wir haben eine Funktion f(x)=x2 und bilden die Ableitungsfunktion mit der Potenzregel. Die Ableitungsfunktion ist f'(x) und die ist gleich 2x.   Wenn wir die Ableitung dieser Funktion an einer bestimmten Stelle bestimmen wollen, dann müssen wir hier in diese Ableitungsfunktion eine bestimmte Zahl für x einsetzen. Z. B. -1 könnte man einsetzen und dann steht hier 2×(-1) und das ist einfach gleich -2. Ich glaube das muss ich nicht noch mal hinschreiben.   Ich möchte kurz veranschaulichen wie das dann aussieht. Also wir haben ein Koordinatensystem. Hier ist die x-Achse und hier ist die y-Achse. Wir haben eine Parabel, die ungefähr so aussieht. Dann haben wir hier die Stelle -1, hier ist der zugehörige Punkt des Graphen. Der y-Wert 1 ist hier. Jetzt kann ich an diese Parabel eine Tangente zeichnen und das ist dann eine Gerade, die diesen Graphen der Parabel in genau diesem Punkt hier berührt. So sieht das ungefähr aus. Diese Gerade ist die Tangente an den Graphen in diesem Punkt und diese Tangente hat die Steigung -2. Die Tangentensteigung ist die Ableitung und das haben wir hier schon ausgerechnet. Das ist ja gleich -2.   Man kann nun die Potenzregel auf weitere Potenzfunktionen anwenden Potenzfunktionen haben ja immer die Form x hoch irgendwas. Z. B. kann man das auch auf x5 anwenden und dann die Ableitungsfunktion bestimmen. die Ableitungsfunktion ist dann f'(x) - so heißt die immer. Dann muss ich einfach hier in die Potenzregel für n=5 einsetzen, also 5x4 ist der Term der Ableitungsfunktion, und wenn man nun die Steigung an einer bestimmten Stelle ausrechnen möchte, muss man für x eine bestimmte Zahl einsetzen und erhält dann die Tangentensteigung an dieser Stelle. Das geht auch mit weiteren Funktionen. Z. B. können wir hier auch f(x)=x17 nehmen und dann haben wir eine Ableitungsfunktion. Die ist dann gleich so hier als f'(x)=17x16.     Und so geht das immer weiter. Ich möchte noch 2-3 Spezialfälle zeigen. Wenn wir f(x)=x haben, dann wissen wir ja x=x1. Wir können auch hierauf die Potenzregel anwenden, wenn wir für n=1 einsetzen. Dann erhalten wir die Ableitungsfunktion f'(x)=1x0. x0 ist ja 1 und deshalb steht hier eigentlich 1×1, also 1. D. h. die Ableitung von f(x)=x ist f'(x)=1. Oft sagt man ja einfach Ableitung und nicht Ableitungsfunktion. f'(x)=1 hat einen Graphen, der parallel zur x-Achse verläuft, weil die Steigung ja auch immer gleich der Funktion f(x)=x ist.   Was passiert für f(x) = x0? Auch darauf kann man die Potenzregel anwenden. Dann haben wir f'(x)=0x0-1. Das schreibt man natürlich so nicht hin, denn 0 mal irgendwas ist immer gleich 0. Also ist die Ableitungsfunktion f'(x)=0. Das ist eine Funktion, die einen Graphen hat der genau auf der x-Achse liegt. Und so schreibt man das ja hier normalerweise auch nicht. x0 ist ja immer gleich 1. Also wenn die Funktion einfach 1 ist, man kann auch sagen 1x0 oder x0, dann hat diese Funktion nach der Potenzregel die Ableitung 0.   Wir können auch negative Zahlen einsetzen. Z. B. f(x)=x-1, dann ist n=-1, auch das geht. Die Ableitungsfunktion ist dann f'(x)=-1x-2 und das kann man jetzt natürlich noch umschreiben in -x-2. x-2 bedeuted ja 1/(x2), also könnte man auch schreiben -1/(x2). Das spare ich mir jetz hier, das weißt du noch von den Potenzgesetzen her, als du Termumformung gemacht hast und das muss ich jetzt hier nicht alles erläutern.

Man kann auch Zahlen einsetzen die keine ganzen Zahlen sind, also man kann auch Brüche einsetzen oder eben auch irrationale Zahlen, alle möglichen Zahlen, ist völlig egal. Dann haben wir hier z. B. mal x1/2. f(x)=x1/2. Auch darauf kann man die Potenzregel anwenden und dann erhalten wir f'(x)=1/2x-1/2. Nur noch mal zur Wiederholung: x-1/2=1/(\sqrt(x)). Wenn du da nicht mehr ganz sicher bist kannst du gerne noch mal bei den Potenzgesetzen nachgucken. Hier machen wir ja die Potenzregel. Die Potenzgesetze beziehen sich ja darauf, was solche Ausdrücke hier bedeuten. Da kannst du dich da noch mal fit machen, falls du das vergessen hast und falls du das hier brauchst, um mit der Potenzregel ableiten zu können.   Viel Spaß damit. Tschüss.    

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Hüseyin K., im Video wird an der Stelle von f'(x) gesprochen, von der Ableitungsfunktion. Deren Graph wird an der Stelle betrachtet und der ist parallel zur x-Achse. Die eigentliche Funktion f(x) ist dann keine Parallele zur x-Achse, sondern besitzt eine von 0 verschiedene Steigung.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor 6 Monaten
  2. min 6.25 ist die erklärung falsch glaube ich, wenn f¹(x): 1 ist lauft die gerade nicht parelel zur x achse, f¹(x): 1 ist steigung, also sollte es normal steigender Graph sein

    Von Hüseyin K., vor 7 Monaten
  3. Hat mir super geholfen, danke!

    Von Leawend, vor mehr als 2 Jahren
  4. Es fehlt zum Thema
    In welchen Punkten des Graphen von f ist die Tangente parallel zur Geraden mit einer Gleichung. Wo finde ich eine Anleitung

    Von Fewo Subat, vor mehr als 4 Jahren
  5. Warum ist die richtige Antwort, alle positiven Zahlen??
    Ich dachte alle Zahlen(also alle reelle?) wäre richtig. >.

    Von 2 Obvious, vor fast 9 Jahren
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Potenzregel bei Ableitungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzregel bei Ableitungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Ableitung von $x^2$ an.

    Tipps

    Verwende die oben angegebene Potenzregel

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Überlege dir, was $n$ ist.

    Der Exponent wird beim Ableiten als Faktor vorgezogen und der Exponent der Ableitung um $1$ verringert.

    Es gilt $a^1=a$, $a\in \mathbb{R}$.

    Lösung

    Die Potenzregel zur Ableitung von Potenzen lautet

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Bei $f(x)=x^2$ ist $n=2$ und damit kann mithilfe der Potenzregel wie folgt abgeleitet werden:

    $\begin{align*} f'(x)&=2x^{2-1}\\ &=2x^1\\ &=2x. \end{align*}$

  • Bestimme jeweils die Ableitung.

    Tipps

    Verwende jeweils die Potenzregel

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Die Potenzregel gilt auch für negative ganze Zahlen und rationale Zahlen im Exponenten.

    Es gilt $a^0=1$ für alle $a\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

    Lösung

    Die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ gilt auch für negative ganze Zahlen oder rationale Zahlen im Exponenten.

    • $f(x) = x^5$: Hier ist $n=5$, also ist $(x^5)'=5x^{5-1}=5x^4$.
    • $f(x) = x=x^1$: Hier ist $n=1$, also ist $(x)'=1x^{1-1}=1x^0=1$.
    • $f(x) = x^0$: Hier ist $n=0$, also ist $(x^0)'=0\cdot x^{0-1}=0$. Dies kann durch die Konstantenregel verallgemeinert werden, welche besagt, dass die Ableitung einer Konstanten immer $0$ ist.
    • $f(x) = x^{-1}$: Hier ist $n=-1$, also ist $(x^{-1})'=-1\cdot x^{-1-1}=-1 \cdot x^{-2}=-\frac1{x^2}$.
    • $f(x) = x^{\frac12}$: Hier ist $n=\frac12$, also ist $\left(x^{\frac12}\right)'=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}$.

  • Leite die Funktion einmal ab.

    Tipps

    Bei der Potenzregel wird

    • der Exponent der abzuleitenden Funktion der Faktor vor der Potenz in der Ableitungsfunktion und
    • der Exponent der Ableitungsfunktion um $1$ kleiner als der der abzuleitenden Funktion.

    Beachte, dass zum Beispiel $-2-1=-3$ ist.

    Mache dir bei jedem der Beispiele klar, was $n$ ist.

    Lösung

    Man kann sich die Potenzregel wie folgt merken: Der Exponent der abzuleitenden Funktion ist der Faktor vor der Potenz in der Ableitungsfunktion und die Potenz in der Ableitungsfunktion hat einen um $1$ kleineren Exponenten als die abzuleitende Funktion.

    • $f(x) = x^8$. Hier ist $n=8$. Somit ist die Ableitung $(x^8)'=8\cdot x^7$.
    • $f(x) = x^{23}$. Hier ist $n=23$. Somit ist die Ableitung $(x^{23})'=23x^{22}$.
    Dies funktioniert auch mit negativen Zahlen:
    • $f(x) = x^{-3}$. Hier ist $n=-3$. Somit ist die Ableitung $(x^{-3})'=-3x^{-4}$.
    • $f(x) = x^{-7}$. Hier ist $n=-7$. Somit ist die Ableitung $(x^{-7})'=-7x^{-8}$.

  • Wende die Produktregel an, um die Funktion $\frac1{\sqrt x}$ abzuleiten.

    Tipps

    Die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ ist eine Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen.

    Es gilt $\sqrt x=x^{\frac12}$.

    Es gilt $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

    Lösung

    Um die Potenzregel anwenden zu können, muss die abzuleitende Funktion als Potenzfunktion vorliegen.

    Wie kann man $\frac1{\sqrt x}$ als Potenzfunktion schreiben?

    Zunächst ist $\sqrt{x}=x^{\frac12}$.

    Da der Wurzelterm im Nenner steht, muss man die Regel $\frac1{a^n}=a^{-n}$ verwenden:

    $\frac 1{\sqrt{x}}=\frac1{x^{\frac12}}=x^{-\frac12}$.

    Nun kann die Potenzregel mit $n=-\frac12$ angewendet werden:

    $\begin{align*} \left(\frac1{\sqrt x}\right)'&=\left(x^{-\frac12}\right)'\\ &=-\frac12\cdot x^{-\frac12-1}\\ &=-\frac12\cdot x^{-\frac32}. \end{align*}$

    Dieser Term kann wiederum als Wurzel geschrieben werden, indem

    • zum einen wieder $\frac1{a^n}=a^{-n}$ und
    • zum anderen $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$
    verwendet werden.

    Somit ist

    $\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=-\frac12\cdot \frac 1{\sqrt{x^3}}$.

  • Benenne die Potenzregel.

    Tipps

    Die Ableitung von $x$ ist $1$. Es gilt also:

    $f(x) = x \rightarrow f'(x) = 1$.

    Die Ableitung von $x^3$ ist $3x^2$. Es gilt also:

    $f(x) = x^3 \rightarrow f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$.

    Merke dir:

    • Der Exponent der Funktion ist der Faktor vor der Potenz der Ableitungsfunktion.
    • Der Exponent in der Ableitungsfunktion ist um $1$ kleiner als der der Funktion.

    Lösung

    Die Potenzregel ist eine Regel zur Bestimmung der Ableitung einer Potenzfunktion

    $f(x)=x^n$.

    Die Ableitungsfunktion ist dann

    $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$.

    Das bedeutet, dass der Exponent als Faktor nach vorne gezogen wird und sich der Exponent der Ableitungsfunktion um $1$ reduziert.

    Diese Regel gilt für alle möglichen Exponenten.

    Zum Beispiel ist die Ableitung von $f(x)=x^8$ gegeben durch

    $f'(x)=8x^{8-1}=8x^7$.

  • Ermittle die Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Wende die Potenzregel an: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Der Faktor vor der Potenz bleibt auch in der Ableitung als Faktor stehen.

    Du kannst kürzen.

    Lösung

    In diesem Beispiel ist eine Funktion gegeben durch $f(x) = \frac 1k x^{2k}$. Der Exponent ist $2k$. Somit gilt nach der Potenzregel:

    $\left( \frac 1k \cdot x^{2k}\right)'=\frac1k\cdot 2k\cdot x^{2k-1}$.

    Der Faktor $\frac1k$ bleibt nach der Faktorregel beim Ableiten stehen. Nun kann noch $\frac 1k\cdot 2k$ durch Kürzen vereinfacht werden zu $2$ und man erhält

    $\left( \frac 1k \cdot x^{2k}\right)'=2\cdot x^{2k-1}$.

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