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Parameter bei der Sinusfunktion 07:51 min

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Transkript Parameter bei der Sinusfunktion

Hallo. Du kannst sie nicht sehen, anfassen oder riechen und doch ist sie da. In Clubs, im Radio oder auf deinem mp3-Player – die Musik. Wie kannst du dir eigentlich Töne vorstellen? Hierzu brauchst du ein Gerät. Ein Oszilloskop. Das ist der Ton a. Ein Oszilloskop stellt ihn so dar. Vielleicht erkennst du die Kurve. Das ist eine Sinuskurve. Aus vorherigen Übungen kennst du bereits den Graphen und die Eigenschaften der Sinusfunktion. Der Sinus mit der Funktionsgleichung f(x) = sin(x) ist eine Kurve, die regelmäßig um die x-Achse zwischen minus eins und eins schwingt. Er hat seine Hochpunkte und Tiefpunkte bei x = π/2, sowie dem vielfachen davon. Die allgemeine Sinusfunktion lautet: f(x) = a * sin[b * (x - d)] + e. Diese Funktionsgleichung besitzt die vier Parameter a, b, d und e. Um die Bedeutung der Parameter herauszufinden, werden wir jeden einzeln untersuchen. Als erstes wollen wir den Faktor a genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir die Funktion f(x) = a + sin(x). Wir setzen für a die Zahl zwei ein. Und schauen, wie der Funktionsgraph sich verändert. Wie verändern sich nun die Funktionswerte? Jeder einzelne Funktionswert der Sinuskurve wird durch den Parameter a = 2 verdoppelt. Das Maximum der Sinusfunktion ist nun die zwei und das Minimum minus zwei. Der Parameter a hat keinen Einfluss auf die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Der Graph wird also gestreckt. Was aber passiert, wenn wir für den Parameter a einen Wert nehmen, der zwischen eins und null liegt? Hierzu setzen wir ½ für den Parameter a ein. Alle Werte der Funktionsgleichung werden hierdurch halbiert. Der Graph wird gestaucht. Der Faktor a bewirkt, je nach Wahl, die Stauchung oder Streckung des Graphen der Sinusfunktion. Wenn a größer als eins, oder kleiner als minus eins ist, dann wird der Graph gestreckt. Im Fall, dass der Parameter a kleiner als eins und größer als minus eins ist, wird der Graph gestaucht. Der Faktor a definiert die Schwingungsweite und bestimmt die Amplitude eines Graphen. Was bedeutet das für die Musik? Wird der Graph vom Ton a gestaucht, wird die Lautstärke leiser. Wird der Graph gestreckt, wird die Musik lauter. Der Parameter a ist also für die Lautstärke verantwortlich. Nun betrachten wir die Funktion f(x) = sin(b * x). Wir betrachten die Veränderungen für unterschiedliche Werte des Parameters b. Wenn wir eine zwei einsetzen, wird der Graph zusammengedrückt. Setzen wir für b jedoch die Zahl ½ ein, so wird der Graph wie eine Spirale auseinandergezogen. Der Faktor b ändert die Periodenlänge. Er streckt oder staucht den Graphen in x-Richtungen mit seinem Faktor. Der Faktor b bestimmt daher die Frequenz eines Graphen. Ist b größer als eins oder kleiner als minus eins, so wird der Graph gestaucht. Liegt b zwischen eins und minus eins, wird der Graph gestreckt. In der Musik bedeuten unterschiedliche Frequenzen unterschiedliche Töne. Schauen wir uns nun die Funktion f(x) = sin(x - d) an. Wie verhält sich der Graph der Sinusfunktion, wenn man den Parameter d verändert? Wir setzen für d zunächst ½π ein und erhalten f(x) = sin(x - ½π). Der gesamte Graph wird in Richtung der x-Achse nach rechts verschoben. Setzen wir hingegen -½π ein, so erhalten wir f(x) = sin(x - (-½π)). Dies können wir nun schreiben als f(x) = sin(x + ½π). In diesem Fall verschiebt sich der gesamte Graph nach links. Grafisch ist d also verantwortlich für eine Verschiebung auf der x-Achse. Der Parameter d bewirkt also die Phasenverschiebung des Graphen. Ist d kleiner als null, so wird der Graph nach links verschoben. Ist d größer als null, so wird der Graph nach rechts verschoben. Der verschobenen Sinuskurven repräsentieren Töne beim Kanon singen. Schauen wir uns nun den Funktionsterm f(x) = sin(x) + e an. Wir setzen für den Parameter e zunächst die Zahl eins ein. Zu jedem Funktionswert wird also die eins addiert. Der gesamte Graph wird hierdurch um den Wert eins parallel zur x-Achse nach oben verschoben. Was passiert, wenn der Parameter e gleich minus eins ist? Für e = -1 wandert der gesamte Graph der Sinusfunktion f(x) = sin(x) um den Wert minus eins parallel zur x-Achse nach unten. Ist e kleiner als null, so wird der Graph der Funktion f(x) = sin(x) parallel zur x-Achse nach unten verschoben. Ist e größer als null, wird der Graph der Funktion f(x) = sin(x) parallel zur x-Achse nach oben verschoben. Du nutzt diesen Effekt täglich. Elektrizität, die durch ein Lautsprecherkabel fließt, kann man nicht hören. Erreicht sie die Lautsprechermembran, beginnt diese zu schwingen. Durch die Bewegung entsteht eine hörbare Druckwelle – die Musik. Mathematisch schwingt der Graph nun auf einer höheren Ebene, die wir hören können. In Tonstudios wird die allgemeine Sinusfunktion täglich angewendet. In Mischpulten, Sequenzern oder Keyboards. Auch jeder Computer besitzt heutzutage Programme zum Verfremden von Stimmen oder Liedern. Du kennst nun den Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Funktionsgraphen der Sinusfunktion und hast gelernt, wie sich eine Variation der Parameter akustisch bemerkbar macht. Viel Spaß beim weiteren Lernen und bis zum nächsten Mal. Tschüss.

5 Kommentare
  1. Thomas

    @Alina 22: Dieses Video und die darauf folgenden sollte dir weiterhelfen:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/scharen-gebrochenrationaler-funktionen-definitionsbereich-asymptote-symmetrie?topic=1046
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Thomas Scholz, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Wo finde ich denn ein Video zur Kurvendiskussion mit Schar ? Ich komme nicht klar mir a > 0
    a< 0
    a=0
    Bitte um Hilfe ich schreibe in 2 Tagen eine Klausur !!

    Von Alina 22, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Sehr gutes video

    Von Henrik F., vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    Ausgezeichnet!!

    Von Gar Ga Jos, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Ein unverschämt gutes Video, das komprimiert alle wichtigen Basics zur Sinusfunktion auf den Punkt bringt. Auch die Übertragung der Parameterfunktionen auf die Musik haben mir sehr gefallen. Wer es noch nicht entdeckt hat: Das Mathe Team hat zu jedem der Parameter (also a, b, d und e) ein eigenes Video gedreht! Danke!!!

    Von Green Spirit, vor etwa 5 Jahren

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