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Parameter bei der Sinusfunktion 07:51 min

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Transkript Parameter bei der Sinusfunktion

Hallo. Du kannst sie nicht sehen, anfassen oder riechen und doch ist sie da. In Clubs, im Radio oder auf deinem mp3-Player – die Musik. Wie kannst du dir eigentlich Töne vorstellen? Hierzu brauchst du ein Gerät. Ein Oszilloskop. Das ist der Ton a. Ein Oszilloskop stellt ihn so dar. Vielleicht erkennst du die Kurve. Das ist eine Sinuskurve. Aus vorherigen Übungen kennst du bereits den Graphen und die Eigenschaften der Sinusfunktion. Der Sinus mit der Funktionsgleichung f(x) = sin(x) ist eine Kurve, die regelmäßig um die x-Achse zwischen minus eins und eins schwingt. Er hat seine Hochpunkte und Tiefpunkte bei x = π/2, sowie dem vielfachen davon. Die allgemeine Sinusfunktion lautet: f(x) = a * sin[b * (x - d)] + e. Diese Funktionsgleichung besitzt die vier Parameter a, b, d und e. Um die Bedeutung der Parameter herauszufinden, werden wir jeden einzeln untersuchen. Als erstes wollen wir den Faktor a genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir die Funktion f(x) = a + sin(x). Wir setzen für a die Zahl zwei ein. Und schauen, wie der Funktionsgraph sich verändert. Wie verändern sich nun die Funktionswerte? Jeder einzelne Funktionswert der Sinuskurve wird durch den Parameter a = 2 verdoppelt. Das Maximum der Sinusfunktion ist nun die zwei und das Minimum minus zwei. Der Parameter a hat keinen Einfluss auf die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Der Graph wird also gestreckt. Was aber passiert, wenn wir für den Parameter a einen Wert nehmen, der zwischen eins und null liegt? Hierzu setzen wir ½ für den Parameter a ein. Alle Werte der Funktionsgleichung werden hierdurch halbiert. Der Graph wird gestaucht. Der Faktor a bewirkt, je nach Wahl, die Stauchung oder Streckung des Graphen der Sinusfunktion. Wenn a größer als eins, oder kleiner als minus eins ist, dann wird der Graph gestreckt. Im Fall, dass der Parameter a kleiner als eins und größer als minus eins ist, wird der Graph gestaucht. Der Faktor a definiert die Schwingungsweite und bestimmt die Amplitude eines Graphen. Was bedeutet das für die Musik? Wird der Graph vom Ton a gestaucht, wird die Lautstärke leiser. Wird der Graph gestreckt, wird die Musik lauter. Der Parameter a ist also für die Lautstärke verantwortlich. Nun betrachten wir die Funktion f(x) = sin(b * x). Wir betrachten die Veränderungen für unterschiedliche Werte des Parameters b. Wenn wir eine zwei einsetzen, wird der Graph zusammengedrückt. Setzen wir für b jedoch die Zahl ½ ein, so wird der Graph wie eine Spirale auseinandergezogen. Der Faktor b ändert die Periodenlänge. Er streckt oder staucht den Graphen in x-Richtungen mit seinem Faktor. Der Faktor b bestimmt daher die Frequenz eines Graphen. Ist b größer als eins oder kleiner als minus eins, so wird der Graph gestaucht. Liegt b zwischen eins und minus eins, wird der Graph gestreckt. In der Musik bedeuten unterschiedliche Frequenzen unterschiedliche Töne. Schauen wir uns nun die Funktion f(x) = sin(x - d) an. Wie verhält sich der Graph der Sinusfunktion, wenn man den Parameter d verändert? Wir setzen für d zunächst ½π ein und erhalten f(x) = sin(x - ½π). Der gesamte Graph wird in Richtung der x-Achse nach rechts verschoben. Setzen wir hingegen -½π ein, so erhalten wir f(x) = sin(x - (-½π)). Dies können wir nun schreiben als f(x) = sin(x + ½π). In diesem Fall verschiebt sich der gesamte Graph nach links. Grafisch ist d also verantwortlich für eine Verschiebung auf der x-Achse. Der Parameter d bewirkt also die Phasenverschiebung des Graphen. Ist d kleiner als null, so wird der Graph nach links verschoben. Ist d größer als null, so wird der Graph nach rechts verschoben. Der verschobenen Sinuskurven repräsentieren Töne beim Kanon singen. Schauen wir uns nun den Funktionsterm f(x) = sin(x) + e an. Wir setzen für den Parameter e zunächst die Zahl eins ein. Zu jedem Funktionswert wird also die eins addiert. Der gesamte Graph wird hierdurch um den Wert eins parallel zur x-Achse nach oben verschoben. Was passiert, wenn der Parameter e gleich minus eins ist? Für e = -1 wandert der gesamte Graph der Sinusfunktion f(x) = sin(x) um den Wert minus eins parallel zur x-Achse nach unten. Ist e kleiner als null, so wird der Graph der Funktion f(x) = sin(x) parallel zur x-Achse nach unten verschoben. Ist e größer als null, wird der Graph der Funktion f(x) = sin(x) parallel zur x-Achse nach oben verschoben. Du nutzt diesen Effekt täglich. Elektrizität, die durch ein Lautsprecherkabel fließt, kann man nicht hören. Erreicht sie die Lautsprechermembran, beginnt diese zu schwingen. Durch die Bewegung entsteht eine hörbare Druckwelle – die Musik. Mathematisch schwingt der Graph nun auf einer höheren Ebene, die wir hören können. In Tonstudios wird die allgemeine Sinusfunktion täglich angewendet. In Mischpulten, Sequenzern oder Keyboards. Auch jeder Computer besitzt heutzutage Programme zum Verfremden von Stimmen oder Liedern. Du kennst nun den Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Funktionsgraphen der Sinusfunktion und hast gelernt, wie sich eine Variation der Parameter akustisch bemerkbar macht. Viel Spaß beim weiteren Lernen und bis zum nächsten Mal. Tschüss.

7 Kommentare
  1. @GülnurU:
    vermutlich habt ihr in eurer Formel der Sinusfunktion +c stehen, nicht -c. Wenn in der hier verwendeten Formel etwas positives eingesetzt wird, ist -d eine negative Zahl, sodass nach links verschoben werden muss. Wenn ihr in eurer Formel allerdings +c stehen habt, wird das durch das Einsetzen einer positiven Zahl natürlich positiv und bewirkt so eine Verschiebung nach rechts.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 8 Monaten
  2. Unser Lehrer sagte uns dass wenn c also hier d ,größer als 0 ist wird es nach rechts verschoben . Und im Video wird gesagt dass es nach links verschoben wird . Jetzt bin ich verwirrt .was stimmt?

    Von Gülnur Ü., vor 8 Monaten
  3. @Alina 22: Dieses Video und die darauf folgenden sollte dir weiterhelfen:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/scharen-gebrochenrationaler-funktionen-definitionsbereich-asymptote-symmetrie?topic=1046
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  4. Wo finde ich denn ein Video zur Kurvendiskussion mit Schar ? Ich komme nicht klar mir a > 0
    a< 0
    a=0
    Bitte um Hilfe ich schreibe in 2 Tagen eine Klausur !!

    Von Alina 22, vor mehr als 2 Jahren
  5. Sehr gutes video

    Von Henrik F., vor mehr als 3 Jahren
  1. Ausgezeichnet!!

    Von Gar Ga Jos, vor etwa 4 Jahren
  2. Ein unverschämt gutes Video, das komprimiert alle wichtigen Basics zur Sinusfunktion auf den Punkt bringt. Auch die Übertragung der Parameterfunktionen auf die Musik haben mir sehr gefallen. Wer es noch nicht entdeckt hat: Das Mathe Team hat zu jedem der Parameter (also a, b, d und e) ein eigenes Video gedreht! Danke!!!

    Von Green Spirit, vor etwa 6 Jahren
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Parameter bei der Sinusfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parameter bei der Sinusfunktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Veränderungen der einzelnen Parameter auf die Sinusfunktion $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$.

    Tipps

    Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$

    Wenn wir in die Formel $f(x)=a\cdot\sin(x)$ den Parameter $a=2$ einsetzen, verändern sich die Funktionswerte. Die Funktionswerte sind nun zwischen $y=2$ und $y=-2$.

    Wenn wir in die Formel $f(x)=\sin(b\cdot x)$ den Parameter $b=2$ einsetzen, beschreibt die Funktion zwischen $x=0$ und $x=\pi$ eine komplette Schwingung.

    Wenn wir in die Formel $f(x)=\sin(x-d)$ den Parameter $d=\frac 1 2 \pi$ einsetzen, so hat die Funktion zwei Nullstellen bei $x=\frac 1 2 \pi$ und bei $x=1\frac 1 2 \pi$

    Wenn wir in die Formel $f(x)=\sin(x)+e$ den Parameter $e=1$ einsetzen, schwingt der Graph zwischen $y=2$ und $y=0$.

    Lösung

    Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\cdot \sin \left[ b\cdot \left(x-d \right) \right] +e$.

    Der Parameter a beeinflusst die Schwingungsweite und Amplitude bei der Sinusfunktion. In der Akustik beeinflusst der Parameter a daher die Lautstärke.

    Der Parameter b beeinflusst die Periodendauer bzw. die Frequenz der Sinusfunktion. In der Akustik bedeutet das, dass durch unterschiedliche Frequenzen unterschiedliche Töne entstehen. Die Einheit für die Frequenz ist Hertz.

    Der Parameter d verursacht eine Phasenverschiebung. Die Sinusfunktion wird nach rechts (d>0) oder links (d<0) verschoben. In der Akustik spielt der Parameter d beim mehrstimmigen Gesang eine Rolle.

    Der Parameter e verschiebt die Sinusfunktion in y-Richtung. Wenn e größer als 0 ist, dann liegt eine Verschiebung nach oben vor und wenn e kleiner als 0 ist nach unten.

  • Benenne die allgemeine Sinusfunktion.

    Tipps

    Die normale Sinusfunktion hat die Funktionsgleichung $f(x)=\sin(x)$. Den Funktionsgraphen kannst du oben sehen.

    Es gibt vier Parameter $a$, $b$, $d$ und $e$ in der Formel. Sie treten nacheinander in der Formel auf.

    Lösung

    Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$.

    Vergiss nicht, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter haben.

    • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
    • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
    • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
    • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

  • Bestimme die Eigenschaften der Parameter auf den Funktionsgraphen der Sinusfunktion.

    Tipps

    Betrachte wieder die allgemeine Sinusfunktion $f(x)=a \cdot \sin \left[ b\cdot \left( x-d \right) \right]+e$.

    Vergiss nicht, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter haben.

    • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
    • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
    • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
    • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

    Lösung

    Die verschiedenen Parameter haben verschiedene Auswirkungen auf den Funktionsgraphen der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$.

    • Der Graph wird in $y$-Richtung gestaucht, wenn gilt $a<1$ und $a>-1$. Sollte gelten $a>1$ oder $a<-1$, so wird der Graph in $y$-Richtung gestreckt.
    • Der Graph wird in $x$-Richtung gestaucht, wenn gilt $b>1$ oder $b<-1$. Er wird in $x$-Richtung gestreckt, sollte gelten $b<1 $ und $b>-1$.
    • Der Graph wird nach rechts verschoben, sollte gelten $d>0$ und nach links verschoben, sollte gelten $d<0$.
    • Der Graph wird nach oben verschoben, wenn gilt $e>0$ und nach unten, wenn gilt $e<0$.

  • Leite ab, welche Parameter bei der Sinusfunktion verändert wurden.

    Tipps

    Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\cdot \sin \left[ b \cdot \left( x-d \right) \right] +e$.

    • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
    • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer .
    • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
    • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

    Hier kannst du den Graphen der normalen Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ erkennen.

    Der Funktionsgraph wurde jeweils mit zwei Parametern verändert. Suche markante Punkte der Funktionsgraphen und ermittle, wie diese im Gegensatz zu der normalen Sinusfunktion durch die Parameter verändert wurden.

    Lösung

    Wir untersuchen die einzelnen Funktionsgraphen und die Veränderung der Parameter auf die normale Sinusfunktion.

    Der erste Graph wurde nach oben verschoben und die Amplitude wurde verändert. Also wurden die Parameter $a$ und $e$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=2\cdot \sin(x) +2$.

    Der zweite Graph wurde nach oben und nach links verschoben. Somit wurden die Parameter $d$ und $e$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)= \sin(x+\frac14 \pi) +1$.

    Der dritte Graph wurde nach unten verschoben und die Amplitude ist verkleinert worden. Somit wurden die Parameter $a$ und $e$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=\frac12 \sin(x) -1$.

    Der vierte Graph wurde nach links verschoben und hat eine größere Amplitude. Somit wurden die Parameter $a$ und $d$ verändert. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=3\cdot \sin(x+\frac12 \pi)$.

    Der fünfte Graph wurde in $x$-Richtung gestreckt und nach rechts verschoben. Somit waren die Parameter $b$ und $d$ beteiligt. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=\sin \left[ \frac12 \left(x-\pi \right) \right]$.

  • Bestimme, welche Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion verändert wurden.

    Tipps

    Hier kannst du die allgemeine Sinusfunktion ohne Koordinatengitter erkennen.

    Rufe dir wieder die einzelnen Veränderungen der Parameter ins Gedächtnis.

    • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
    • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
    • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
    • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

    Versuche zu erkennen, wie der Graph verändert wurde. So kannst du erkennen, welcher Parameter zum Einsatz gekommen ist.

    Suche anschließend das Diagramm, dass auch einen ähnlich veränderten Graphen hat.

    Schaue dir bei jedem Graphen die Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte an. Sind diese verschoben worden? Wenn ja, wohin?

    Lösung

    Wir suchen immer die Paare, bei denen der gleiche Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion $f(x)=a\cdot \sin \left[ b \cdot \left( x-d \right) \right] +e$ verändert worden ist.

    Es wurde der Parameter $a$ bei den Graphen verändert, die einmal ihren Hochpunkt bei $x=\frac14$ und einmal bei $x=4$ haben. Ein Graph wurde in $y$-Richtung gestreckt und der andere gestaucht.

    Das Paar mit der Veränderung des Parameters $b$ bestand aus den Graphen, die eine kürzere bzw. längere Periodenlänge besitzen. So ist einmal eine Periodenlänge erst bei $x=3\pi$ abgeschlossen und einmal wurde bei $x= \pi$ schon eine und eine halbe Periode durchlaufen. Der eine Graph wurde in $x$-Richtung gestaucht und der andere gestreckt.

    Die Graphen, die mit dem Parameter $e$ verändert wurden, sind einmal nach oben um $0{,}5$ und einmal unten um $1{,}5$ verschoben wurden. Die Periodenlänge und die Amplitude wurden dabei nicht verändert.

    Die Graphen, die mit dem Parameter $d$ verändert wurden, sind nach links bzw. rechts auf der $x$-Achse verschoben worden. Auch hier wurden die Periodenlänge und die Amplitude nicht verändert.

  • Ermittle die richtigen Funktionsgleichungen der Graphen.

    Tipps

    Die allgemeine Sinusfunktion lautet $f(x)=a\sin[b\cdot(x-d)]+e$.

    • Der Parameter $a$ verändert die Amplitude.
    • Der Parameter $b$ verändert die Periodendauer.
    • Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung.
    • Der Parameter $e$ verschiebt den Graphen in $y$-Richtung.

    Versuche zu erkennen, welcher Parameter den Graphen verändert hat. Sind die Amplituden in ihrer Größe verändert oder hat der Parameter $a$ die Funktionswerte verändert?

    Schaue dir bei jedem Graphen die Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte an. Sind diese verschoben worden? Wenn ja, wohin?

    Lösung

    Wir betrachten besonders die markanten Punkte der Graphen und schließen dann auf die entsprechende Verschiebung der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$.

    Der erste Graph schwingt zwischen $y=3$ und $y=-3$. Hier wurde der Graph der Sinusfunktion in $y$-Richtung um $3$ Einheiten gestreckt. Damit ist der Parameter $a=3$ gegeben; wir ordnen die Funktionsgleichung $f(x)=3\cdot \sin(x)$ zu.

    Bei dem zweiten Graphen wurde die Periodenlänge verändert. Der Graph beschreibt zwischen $x=0$ und $x= \frac 1 2 \pi$ eine komplette Periode, anstatt wie sonst zwischen $x=0$ und $x=2\pi$. Das entspricht einer vierfachen Stauchung entlang der $x$-Achse. Damit ist $b=4$ ermittelt. Die Gleichung lautet dazu also $f(x)=\sin(4\cdot x)$.

    Bei dem dritten Funktionsgraphen ist eine Verschiebung der Sinusfunktion um $\frac 1 4 \pi$ nach rechts zu erkennen. Damit erhalten wir die Funktionsgleichung$f(x)=\sin(x-\frac 1 4 \pi)$

    Die letzte Funktionsgleichung ist am einfachsten. Hier wurde die Sinusfunktion um genau $2$ Einheiten nach unten verschoben. Damit erhalten wir die $f(x)=\sin(x)-2$.