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Parabeln und Geraden – Schnittpunkte von Graphen

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Parabeln und Geraden – Schnittpunkte von Graphen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Parabeln und Geraden – Schnittpunkte von Graphen

Wie kann man die Schnittpunkte zweier Graphen bestimmen? Zuerstsetzt du die Funktionsterme beider Funktionen gleich. Im zweiten Schritt wird die Gleichung nach x umgeformt. Wenn du richtig gerechnet hast, dann bekommst du am Ende die Schnittstellen der Graphen. An dieser Stelle bist du jedoch noch nicht fertig! Du musst am Ende noch deine Schnittstellen in eine der gegebenen Funktionen einsetzen, damit du den zugehörigen Funktionswert erhältst. Nun bist du im Besitz der Schnittpunkte.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Nettes Video :) Ich werde alle Aufgaben zum Üben nachrechnen!

    Von Zoe & Violeta, vor 6 Monaten
  2. Hallo Nour Mohammed04,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback. Falls du noch inhaltliche Fragen haben solltest, kannst du dich gerne an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor etwa einem Jahr
  3. schwaches Video. Beim nächsten mal bitte mit allen Rechenwegen

    Von Nour Mohammed04, vor etwa einem Jahr
  4. Hauptsache goldene Rolex😂 trotzdem sehr hilfreich

    Von Dr K Pflug, vor mehr als 2 Jahren
  5. war sehr hilfreich

    Von Deleted User 614176, vor fast 3 Jahren
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Parabeln und Geraden – Schnittpunkte von Graphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parabeln und Geraden – Schnittpunkte von Graphen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie viele Schnittpunkte die Graphen haben können.

    Tipps

    Zum Berechnen von Schnittstellen (x-Werte der Schnittpunkte) setzt du die jeweils rechten Seiten der Funktionsgleichungen gleich.

    Bei 2 linearen Funktionen erhältst du so eine lineare Gleichung.

    Sowohl bei einer linearen und einer quadratischen Funktion als auch bei zwei quadratischen Gleichungen, erhältst du so eine quadratische Gleichung.

    Wie viele gemeinsame Punkte, Schnittpunkte, haben die blaue Gerade und die rote Parabel?

    Verschiebe die blaue Gerade parallel.

    Welche weiteren Fälle kannst du erkennen?

    Lösung

    Betrachtet werden die Schnittpunkte der Funktionsgraphen zweier linearer Funktionen, also zweier Geraden:

    • Zwei Geraden können parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
    • Zwei Geraden können sich aber auch schneiden. Dann haben sie einen Schnittpunkt.
    Der Graph einer linearen und einer quadratische Funktion, also einer Geraden und einer Parabel, können sich so schneiden:

    • Die Gerade kann keine gemeinsamen Schnittpunkte mit der Parabel haben.
    • Die Gerade kann die Parabel berühren. Dann haben die Funktionen einen Schnittpunkt.
    • Die Gerade kann die Parabel zweimal schneiden. Dann haben die Graphen zwei gemeinsame Schnittpunkte.
    Die Funktionsgraphen von zwei quadratischen Funktionen, also 2 Parabeln, können sich so schneiden:

    • Wenn eine Parabel zum Beispiel für alle x unterhalb der x-Achse liegt und die andere für alle x oberhalb der x-Achse liegt, dann haben die Parabeln keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Hier in dem Bild kannst du das an der blauen und roten Parabel erkennen.
    • Die Parabeln können einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben oder sich in einem Punkt schneiden. Beide Male haben die Parabeln einen gemeinsamen Schnittpunkt. Den gemeinsamen Scheitelpunkt kannst du bei der roten und der grünen Parabel erkennen.
    • Die Parabeln können sich auch in zwei Punkten schneiden, wie zum Beispiel die rote und die violette Parabel.
  • Beschreibe die einzelnen Schritte zur Bestimmung eines Schnittpunktes.

    Tipps

    Ein Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionen. Das bedeutet, dass sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinate übereinstimmen.

    Beim Gleichsetzen zweier linearer Funktionsgleichungen erhältst du eine lineare Gleichung.

    Lösung

    Das Vorgehen zur Berechnung von Schnittpunkten ist immer gleich.

    1. Setze die Funktionsgleichungen bzw. Funktionsterme gleich.
    2. Löse die entstandene Gleichung nach $x$ auf.
    3. Setze dieses $x$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, um $y$ zu erhalten. Du kannst selbst entscheiden, welche der beiden Funktionsgleichungen du wählst. Bei beiden Varianten sollte das gleiche $y$ das Ergebnis sein.
    In diesem Beispiel gehen wir so vor:

    1. Funktionsgleichungen gleichsetzen:$\frac{1}{3}x+1=x-2$

    2. Nach $x$ auflösen:

    $\begin{align*} \frac{1}{3}x+1&=x-2~|~-\frac{1}{3}x &|& +2\\ 3&=\frac{2}{3}x &|& \cdot\frac{3}{2}\\ \frac{9}{2}&=x \end{align*}$

    3. $x$ einsetzen: $x=\frac{9}{2}=4,5$ in $y=x-2$ eingesetzt ergibt $y=4,5-2=2,5$, also den Schnittpunkt $(4,5|2,5)$. Natürlich hättest du $x$ auch in die andere Funktionsgleichung einsetzen können, nur wäre dort die Rechnung etwas umfangreicher gewesen.

  • Untersuche die beiden Parabeln auf Schnittpunkte.

    Tipps

    Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich.

    Löse die resultierende quadratische Gleichung.

    Diese lautet in Normalform $x^2-4x+3=0$.

    Um die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ zu lösen, kannst du die p-q-Formel anwenden: $x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2-q}$

    Lösung

    Das Vorgehen zur Berechnung von Schnittpunkten ist immer gleich.

    • Setze die Funktionsgleichungen gleich.
    • Löse die entstandene Gleichung nach $x$ auf.
    • Setze dieses $x$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, um $y$ zu erhalten. Du kannst entscheiden, welche der beiden Funktionsgleichungen du nimmst, es kommt jedes Mal das gleiche $y$ heraus.
    In diesem Beispiel:
    • Setze die Funktionsgleichungen gleich: $1,5x^2-6x+6=-0,5x^2+2x$.
    • Löse die quadratische Gleichung
    $\begin{align*} 1,5x^2-6x+6&=-0,5x^2+2x &|& +0,5x^2-2x\\ 2x^2-8x+6&=0 &|& :2\\ x^2-4x+3&=0 \end{align*}$

    Um diese quadratische Gleichung zu lösen, kannst du die p-q-Formel anwenden:

    $\begin{align*} x_{1,2}&=-\frac{-4}{2}±\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3} \\ &=2±1\\ x_1&=2+1=3\\ x_2&=2-1=1 \end{align*}$

    Beide $x$-Werte kannst du nun in eine der beiden quadratischen Funktionsgleichungen einsetzen:

    $y_1=-0,5\cdot3^2+2\cdot3=-4,5+6=1,5$ und

    $y_2=-0,5\cdot1^2+2\cdot1=-0,5+2=1,5$.

    Die beiden Parabeln haben also 2 Schnittpunkte und diese sind $(3|1,5)$ und $(1|1,5)$.

  • Entscheide, welches der beiden Institute für Paul günstiger ist.

    Tipps

    Die beiden Kostenfunktionen sind lineare Funktionen.

    Berechne den Schnittpunkt dieser beiden Funktionen.

    Im Schnittpunkt sind die Kosten identisch.

    Links und rechts davon unterscheiden sich die Kosten.

    Lösung

    Da die Grundgebühren von Institut B niedriger sind als die von A, wird bis zu einer gewissen Anzahl an Stunden Institut B günstiger sein.

    Wie kannst du die Anzahl der Stunden bestimmen, ab der Institut A günstiger ist?

    Im Schnittpunkt der beiden zu den Funktionsgleichungen gehörenden Geraden bezahlt Paul für die gleiche Anzahl Stunden bei Institut A genauso viel wie bei Institut B. Bei dieser Anzahl an Stunden ist es egal, wofür Paul sich entscheidet.

    Bei weniger Stunden ist Institut B günstiger, bei mehr Stunden Institut A.

    Die beiden linearen Funktionen lauten $y=40+15x$ für Institut A und $y=20+20x$ bei Institut B.

    • Setze die beiden Funktionen gleich: $40+15x=20+20x$.
    • Löse diese Gleichung nach $x$ auf.
    $\begin{align*} 40+15x&=20+20x &|& -15x-20\\ 20&=5x &|& :5\\ 4&=x \end{align*}$.

    Bei 4 Unterrichtsstunden zahlt Paul in beiden Instituten gleich viel. Wie viel bezahlt er? Dafür setzen wir $x=4$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein: $y=20 ~€+4\cdot20~€=100~€$.

    Die Nachhilfestunden sind bei weniger als 4 Unterrichtsstunden bei Institut B günstiger und bei mehr als 4 Unterrichtsstunden bei Institut A günstiger.

  • Beschreibe die verschiedenen Lagen zweier Parabeln zueinander.

    Tipps

    Schau dir das Bild oben an. Welche Fälle für gemeinsame Schnittpunkte bei Parabeln kannst du erkennen?

    Wenn 2 Parabeln den gleichen Scheitelpunkt $S(d|e)$ haben, dann lauten die Funktionsgleichungen

    $y=a(x-d)^2+e$ sowie $y=b(x-d)^2+e$, $a\neq b$

    Das heißt, die Parabeln unterscheiden sich zum Beispiel in der Öffnung voneinander.

    Lösung

    Zwei Parabeln können ...

    • ... höchstens 2 Schnittpunkte haben. Sie müssen aber keinen Schnittpunkt haben. Das kannst du hier in dem Bild an der violetten und roten Parabel erkennen.
    • ... den gleichen Scheitelpunkt $S(d|e)$ haben. Dann lauten die Funktionsgleichungen $y=a(x-d)^2+e$ sowie $y=b(x-d)^2+e$, $a \neq b$. Die Parabeln unterscheiden sich zum Beispiel in der Öffnung. Somit berühren sie sich bei gleicher oder entgegengesetzter Öffnung im Scheitelpunkt und haben damit einen gemeinsamen Schnittpunkt.
    Es gibt drei Möglichkeiten, wie sich zwei Parabeln schneiden können:
    • 0 Schnittpunkte: Dies kannst du hier im Bild erkennen. Die rote und grüne oder die rote und violette Parabel haben keine gemeinsamen Schnittpunkte.
    • 1 Schnittpunkt: Entweder gibt es einen Berührungspunkt, wie zum Beispiel den Scheitelpunkt, oder einen Schnittpunkt bei parallel entlang der x-Achse verschobenen Parabeln.
    • 2 Schnittpunkte: Siehe hier im Bild die grüne und violette Parabel. Im Bild ganz oben schneiden sich die violette und rote Parabel zweimal und haben damit zwei gemeinsame Schnittpunkte.

  • Bestimme die Länge des Uferweges.

    Tipps

    Du musst zunächst die beiden Schnittpunkte der Parabel und der Geraden berechnen.

    Nach dem Gleichsetzen der Funktionsgleichungen solltest du die folgende quadratische Gleichung $x^2-2x-3=0$ erhalten.

    Um die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ zu lösen, kannst du die p-q-Formel anwenden: $x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2-q}$

    Die Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte $P(p_1|p_2)$ und $Q(q_1|q_2)$ lautet

    $d=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe musst du zunächst die beiden Schnittpunkte berechnen. Diese sind die Begrenzungspunkte der zu asphaltierenden Strecke. Die Länge dieser Strecke entspricht gerade dem Abstand der beiden Schnittpunkte.

    Setze die Funktionsgleichungen gleich und löse die daraus resultierende quadratische Gleichung nach $x$ auf.

    $\begin{align*} -\frac{1}{2}x^2+2x&=x-1,5 &|& -x+1,5\\ -\frac{1}{2}x^2+x+1,5&=0 &|& \cdot(-2)\\ x^2-2x-3&=0. \end{align*}$

    Nun kannst du die p-q-Formel anwenden:

    $\begin{align*} x_{1,2}&=-\frac{-2}{2}+\sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-3)}\\ x_1&=1+2=3\\ x_2&=1-2=-1. \end{align*}$

    Jetzt kannst du die $x$-Koordinaten in die lineare Funktionsgleichung (oder quadratische Funktionsgleichung) einsetzen:

    $y_1=3-1,5=1,5$ und $y_2=-1-1,5=-2,5$.

    Die beiden gesuchten Schnittpunkte sind also $(3|1,5)$ und $(-1|-2,5)$.

    Die Länge der Strecke berechnest du mit der Abstandsformel:

    $d=\sqrt{(3-(-1))^2+(1,5-(-2,5))^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\approx 5,66$ [km].

    Antwort: Der asphaltierte Uferweg ist ungefähr 5,66 km lang.

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