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Parabeln und Geraden – Schnittpunkt mit der y-Achse

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Parabeln und Geraden – Schnittpunkt mit der y-Achse
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Parabeln und Geraden – Schnittpunkt mit der y-Achse

Du kannst den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der y-Achse ausrechnen, indem du in der Funktionsgleichung für x 0 einsetzt. Im Video wird das an einer linearen und an einer quadratischen Funktion gezeigt. Außerdem siehst die Skizzen zweier Beispielaufgaben, in denen nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse gefragt. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass die im Zusammenhang mit linearen Funktionen häufig gestellte Frage nach dem y-Achsen-Abschnitt dadurch beantwortet werden kann, indem man die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse nennt.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. gut

    Von Nagat A., vor 5 Monaten
  2. Ok

    Von Luis W., vor 9 Monaten
  3. ich bin ehrlich diese Videos helfen mir nicht

    Von Simranjeet K., vor mehr als 2 Jahren
  4. Wie in so einer Zaubershow xD

    Von Nicky 2, vor fast 3 Jahren
  5. lol

    Von Heilshorn, vor mehr als 3 Jahren
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Parabeln und Geraden – Schnittpunkt mit der y-Achse Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parabeln und Geraden – Schnittpunkt mit der y-Achse kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Aussagen zum Schnittpunkt mit der y-Achse richtig sind.

    Tipps

    Wie lautet ein beliebiger Punkt auf der x-Achse? Suche dir einen Punkt im Bild aus und nenne die Koordinaten.

    Wie lautet ein beliebiger Punkt auf der y-Achse?

    Lösung

    Du kannst den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der y-Achse ausrechnen, indem du in die Funktionsgleichung für x die Zahl 0 einsetzt.

    y = 0 entspricht den Schnittpunkten mit der x-Achse, diese nennt man auch Nullstellen. Zur Bestimmung von Nullstellen muss die Gleichung y = 0 nach x aufgelöst werden. Dies geschieht bei linearen Funktionen durch Umformungen und bei quadratischen Funktionen beispielsweise mit der p-q-Formel.

    Eine Funktion kann durchaus mehrere Nullstellen haben, allerdings immer nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse.

  • Berechne den Schnittpunkt der quadratischen Funktion mit der y-Achse.

    Tipps

    Wie war das nochmal? Musst du $x=0$ einsetzen oder musst du die Gleichung $y=0$ nach $x$ auflösen?

    Wenn ein Faktor Null ist, so ist das Produkt auch Null.

    Lösung

    Jeder Punkt auf der y-Achse hat als x-Koordinate die Null. Wenn du also den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse berechnen möchtest, setzt du einfach $x = 0$ in die Funktion ein und berechnest so die y-Koordinate.

    In dieser Aufgabe erhalten wir die y-Koordinate durch die folgende Rechnung:

    $y=\sqrt{2}\cdot 0^2~-~\frac{1}{3}\cdot 0~+~5=5$.

    Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet also $\text{P}(0|5)$.

  • Ordne den Funktionen ihren Schnittpunkt mit der y-Achse zu.

    Tipps

    Mehrere Funktionen können den gleichen Schnittpunkt mit der y-Achse haben. Berechne für jede Funktion den Schnittpunkt mit der y-Achse und ordne sie anschließend diesem Punkt zu.

    Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse?

    Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

    Lösung

    Du kannst den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der y-Achse berechnen, indem du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt. Wir berechnen also für jede Funktion den Schnittpunkt mit der y-Achse und ordnen sie dementsprechend den gegebenen Punkten zu.

    1. $\text{P}(0|3)$
    • $y=-~4 \cdot 0~+~3=3$
    • $y=3-7\cdot 0^2=3$
    2. $\text{Q}(0|-2)$
    • $y=-2$ – dies ist eine konstante Funktion. Egal, was du für $x$ einsetzt, es kommt immer $-2$ heraus, denn die Gerade verläuft parallel zur x-Achse durch den Punkt $\text{Q}(0|-2)$.
    • $y= 8 \cdot 0^2~-~2=-2$
    • $y=-\frac{1}{2}(0-2)^2=-\frac{1}{2} \cdot 4=-2$
    3. $\text{R}(0|0)$
    • $y=7\cdot 0=0$
    • $y=0^2=0$
    • $y=-0^2~+~5\cdot 0=0$
    Der Punkt $\text{R}(0|0)$ entspricht dem Koordinatenursprung. Er wird auch mit O für Origin (engl. für Ursprung) bezeichnet. Geraden wie z.B. $y=7x$, die durch den Ursprung gehen, werden auch als Ursprungsgeraden bezeichnet.

  • Prüfe, ob Paul Recht hat.

    Tipps

    Was ist gegeben und was ist gesucht?

    Eine lineare Funktion hat immer die Form $y=mx~+~n$, dabei ist $m$ die Steigung und $n$ der y-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Dieser Sachverhalt kann durch eine lineare Funktion der Form $y=mx~+~n$ beschrieben werden. Gegeben sind die zwei Punkte $\text{P}(5|115)$ und $\text{Q}(8|160)$. Auf die Angabe von Einheiten wird in der Rechnung verzichtet.

    Die Steigung $m$ entspricht den Kosten für eine Unterrichtsstunde und wird berechnet durch $m=\frac{160-115}{8-5}=15$.

    Nun setzen wir $m=15$ und den Punkt $\text{Q}(8|160)$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein und lösen diese nach $n$ auf.

    $\begin{align*} 160&=8\cdot15+n &|& -120 \\ 40&=n \end{align*}$

    Die lineare Funktion ist also $y=15x+40$.

    Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhältst du, indem du $x=0$ in der Funktionsgleichung einsetzt. $x=0$ heißt 0 Stunden Unterricht und die entsprechenden Kosten sind gerade die Grundgebühr.

    $y=15\cdot 0 + 40=40$.

    Wie du siehst, entspricht diese y-Koordinate genau dem berechneten $n$, denn dieses stellt immer den y-Achsenabschnitt der Geraden dar.

    Paul hatte also unrecht, denn er zahlt 40€ Grundgebühr jeden Monat.

  • Gib die Fehler bei der Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-Achse an.

    Tipps

    Nicht nur in der Rechnung sind Fehler.

    Wie lautet ein beliebiger Punkt auf der y-Achse?

    Die Multiplikation mit 0 ergibt 0.

    Liegt der Punkt $\text{Q}(3|0)$ auf der x- oder auf der y-Achse?

    Lösung

    In dieser Aufgabe ist eine lineare Funktion gegeben, welche eine Gerade als Graphen hat. Wir berechnen die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse, indem wir $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzen und erhalten:

    $y=-\frac{17}{25}\cdot 0~+~2=2$.

    Die Gerade schneidet die y-Achse also im Punkt $\text{P}(0|2)$.

  • Ermittle die Funktionsgleichung, deren Graph durch den Punkt $\text{P}(0|-1)$ verläuft.

    Tipps

    Um den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der y-Achse zu berechnen, musst du $x=0$ in der Funktionsgleichung einsetzen.

    Durch die Addition der Null ändert sich die Summe nicht.

    Setze den gegebenen Punkt in die Gleichung ein und forme nach dem gesuchten Parameter um.

    Lösung

    In dieser Aufgabe ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bereits gegeben und der Parameter $a$ der quadratischen Funktion gesucht.

    Um diesen Parameter zu berechnen, setzen wir den gegebenen Punkt $\text{P}(0|-1)$ in die Funktion ein und lösen diese nach $a$ auf:

    $\begin{align*} -1&=a(0+1)^2~-~3 \\ -1&=a-3 &|& +3 \\ 2&=a \end{align*}$

    Die Funktionsgleichung lautet also $y=2(x+1)^2~-~3$. Diese Parabel schneidet die y-Achse im Punkt $\text{P}(0|-1)$.

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