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Parabeln – Symmetrieachsen

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Parabeln – Symmetrieachsen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Parabeln – Symmetrieachsen

Was benötigst du zum Bestimmen von Symmetrieachsen quadratischer Funktionen? Sicherlich musst du wissen, was man unter einer Symmetrieachse einer quadratischen Funktion versteht und wie der Graph einer quadratischen Funktion aussieht. Mithilfe eines Koordinatensystems und einer Parabel wird dir erklärt, dass eine Symmetrieachse eine Gerade ist, die durch den Scheitelpunkt einer Parabel geht und parallel zur y- Achse verläuft. Im Video wird dir erklärt, wie man den Scheitelpunkt bestimmt und aus dessen Lage eine Aussage über die Symmetrieachse der Parabel treffen kann. Viel Spaß!

Parabeln – Symmetrieachsen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parabeln – Symmetrieachsen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Definition zur Symmetrieachse.

    Tipps

    Ist die Symmetrieachse senkrecht, also parallel zur y-Achse oder ist sie waagerecht, also parallel zur x-Achse?

    Kann eine Funktion symmetrisch zu einer Parallelen zur x-Achse sein?

    Schau dir in dem Bild oben bei jeder Parabel den linken und rechten Ast an.

    Wo treffen diese beiden Äste aufeinander?

    Lösung

    Parabeln sehen nicht nur symmetrisch aus, sie sind es auch. Genauer gesagt: Parabel sind achsensymmetrisch.

    Du kannst dir verschiedene Parabeln in ein Koordinatensystem zeichnen. Alle werden achsensymmetrisch sein.

    Nun stellt sich die Frage, ob die Symmetrieachse eine bestimmte Lage hat. So kommen wir zur Definition der Symmetrieachse bei Parabeln. Die Symmetrieachse ist eine Gerade, die senkrecht im Koordinatensystem liegt. Die Symmetrieachse ist damit parallel zur y-Achse und verläuft durch den Scheitelpunkt der Parabel.

  • Gib die Lage der Symmetrieachse an.

    Tipps

    Die Definition einer Funktion lautet: Jeder Zahl aus einer Menge wird eindeutig eine Zahl aus einer anderen Menge zugeordnet.

    Wenn die Symmetrieachse einer Funktion parallel zur x-Achse oder parallel zur y-Achse verlaufen würde, wäre diese Definition dann noch erfüllt?

    Für die Lage der Symmetrieachse benötigst du den Scheitelpunkt.

    Da die Funktion in Scheitelpunktform gegeben ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

    Lösung

    Parabeln sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse einer Parabel verläuft

    • senkrecht, also parallel zur y-Achse und
    • durch den Scheitelpunkt der Parabel.
    Also benötigst du nur den Scheitelpunkt der Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=(x-3)^2+2$. Da diese in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du den Scheitelpunkt $S(3|2)$ ablesen.

    1. Die Symmetrieachse verläuft nicht durch irgendeinen Punkt der Parabel, sondern durch den Scheitelpunkt.
    2. Der Scheitelpunkt ist nicht $S(-3|2)$, sondern $S(3|2)$. Achte unbedingt auf das Vorzeichen der x-Koordinate.
    3. Diese Aussage ist richtig.
    4. Die Symmetrieachse kann nicht parallel zur x-Achse verlaufen. Das widerspricht der Eindeutigkeit, die zwingend notwendig ist für eine Funktion. Was heißt das? Einem $x$ darf nicht mehr als ein $y=f(x)$ zugeordnet sein. Stell dir eine um 90° gedrehte Parabel im Koordinatensystem vor. Die Symmetrieachse wäre dann parallel zur x-Achse. Die Eindeutigkeit ist dann aber nicht mehr erfüllt und wir erhalten so nie eine Funktion nach der Definition.
  • Ordne der Parabel die Symmetrieachse zu.

    Tipps

    Beachte beim Scheitelpunkt das Vorzeichen der x-Koordinate.

    $f(x)=a(x+d)^2~+~e$ hat den Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

    Für den Verlauf der Symmetrieachse musst du den Scheitelpunkt kennen.

    Die relative Lage zur y-Achse bzw. x-Achse ist immer gleich.

    In dem Bild oben entspricht die blaue Gerade der Symmetrieachse. Sie verläuft durch den Scheitelpunkt $(-1|-3)$.

    Die erste binomische Formel lautet: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Lösung

    Die allgemeine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung in Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2~+~e$ besitzt den Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

    Beachte das Vorzeichen bei der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

    Die Symmetrieachse verläuft

    • parallel zur y-Achse und
    • durch den Scheitelpunkt $S(-d|e)$.
    Die Parallelität zur y-Achse gilt immer unabhängig vom Scheitelpunkt. Die Symmetrieachse ist nie parallel zur x-Achse.

    Jetzt musst du nur noch die Scheitelpunkte der Funktionen bestimmen und erhältst die gesuchte Symmetrieachse:

    • Die Funktion $f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2+3$ besitzt den Scheitelpunkt $S(1|3)$.
    • Die Funktion $f(x)=2x^2+3=2(x+0)^2+3$ besitzt den Scheitelpunkt $S(0|3)$. Dieser liegt auf der y-Achse. Und somit ist die y-Achse die Symmetrieachse.
    • Die Funktion $f(x)=2(x-1)^2+0$ hat den Scheitelpunkt $S(1|0)$.
    • Die Funktion $f(x)=x^2~+~2x~+~1=(x+1)^2$ besitzt nach dem Anwenden der 1. binomischen Formel den Scheitelpunkt $S(-1|0)$.

  • Erläutere den Zusammenhang zwischen Scheitelpunkt und Symmetrieachse einer Parabel.

    Tipps

    Hat jede quadratische Funktion einen Scheitelpunkt?

    Wo liegt der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=x^2$?

    Wie verläuft die Symmetrieachse der Funktion $f(x)=3x^2-2$.

    Du kannst die oben gezeigte Parabel um eine Längeneinheit in positiver x-Achsen-Richtung verschieben.

    Wie verläuft dann die Symmetrieachse?

    Lösung

    Die zwei Scheitelpunktformen lauten $f(x)=a(x+d)^2+e$ und $f(x)=a(x-d)^2+e$

    Jede quadratische Funktion kann in Scheitelpunktform geschrieben werden. Somit hat auch jede quadratische Funktion einen Scheitelpunkt, durch den auch die Symmetrieachse verläuft.

    Alle Funktionen der Form $f(x)=ax^2+e$ haben ihren Scheitelpunkt in $S(0|e)$. Wie auch immer $e$ aussieht, dieser Scheitelpunkt liegt auf der y-Achse und somit ist die y-Achse gerade die Symmetrieachse.

    • Alle Scheitelpunkte der Form $S(2|e)$ liegen auf der gleichen zur y-Achse parallelen Geraden. Die x-Koordinate ist hier als Beispiel $2$.
    • Alle Scheitelpunkte der Form $S(d|3)$ liegen auf der gleichen zur x-Achse parallelen Geraden. Die y-Koordinate ist hier als Beispiel $3$.
    Also unterscheiden sich Parabeln, deren Scheitelpunkt sich auf der gleichen Symmetrieachse befindet in $e$. Da $a$ in der Scheitelpunktform keinen Einfluss auf den Scheitelpunkt hat, kann auch $a$ variieren.

    Die beiden Scheitelpunkte $S_1(1|3)$ und $S_2(1|5)$ sind verschieden. Sie liegen auf einer Geraden, die zur y-Achse parallel verläuft. Also können Funktionen mit verschiedenen Scheitelpunkten eine gemeinsame Symmetrieachse besitzen.

  • Bestimme die Symmetrieachse.

    Tipps

    Welcher Punkt muss auf jedem Fall auf der Symmetrieachse liegen?

    Wenn die Symmetrieachse parallel zu einer Koordinatenachse verläuft, kann sie dann schräg im Koordinatensystem liegen?

    Zu welcher Achse verläuft die Symmetrieachse parallel?

    Lösung

    Parabeln sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft

    • senkrecht, also parallel zur y-Achse und
    • durch den Scheitelpunkt der Parabel.
    Also benötigst du nur den Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=-2(x+1)^2-3$. Da diese in Scheitelpunktform angegeben ist, lautet der Scheitelpunkt $S(-1|-3)$.

    • Die blaue Gerade ist tatsächlich die gesuchte Symmetrieachse.
    • Die grüne Gerade verläuft zwar parallel zur y-Achse, jedoch nicht durch Scheitelpunkt, sondern durch einen anderen Punkt der Parabel.
    • Die violette Gerade verläuft zwar durch den Scheitelpunkt, allerdings parallel zur x-Achse.
    • Die gelbe Gerade liegt schräg im Koordinatensystem. Die Symmetrieachse sollte senkrecht zur x-Achse bzw. parallel zur y-Achse sein. Immerhin verläuft sie durch den Scheitelpunkt.
  • Berechne den Scheitelpunkt der Parabel.

    Tipps

    Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist die Hälfte von $b$ geteilt durch $a$ mit umgekehrtem Vorzeichen.

    Diese Zahl taucht in der Rechnung auf.

    Bei der quadratischen Ergänzung wird geschickt 0 addiert, indem eine Zahl addiert und gleich wieder subtrahiert wird.

    Diese Zahl ist gerade so zu wählen, dass eine binomische Formel anwendbar ist.

    Lösung

    Um die Lage der Symmetrieachse zu bestimmen, benötigst du den Scheitelpunkt der Parabel, denn die Symmetrieachse verläuft

    • parallel zur y-Achse und
    • durch den Scheitelpunkt der Parabel.
    In der folgenden Rechnung wird
    1. $a=3$ ausgeklammert,
    2. der Term in der Klammer so ergänzt, dass eine binomische Formel dort steht. Dies nennt man quadratische Ergänzung.
    3. die 1. binomische Formel angewendet und zuletzt
    4. die Klammer ausmultipliziert.
    $\begin{align*} f(x) & =3~x^2~+~6x~+~5 \\ & =3(x^2~+~2x)~+~5 \\ & =3(x^2~+~2x~+~1^2~-~1^2)~+~5 \\ & =3((x+1)^2~-~1)~+~5 \\ & =3(x+1)^2~-~3~+~5 \\ & =3(x+1)^2~+~2 \end{align*}$

    Der Scheitelpunkt lautet also $S(-1|2)$.

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