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Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion

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Steve Taube
Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion

Hallo und Herzlich Willkommen! In diesem Video siehst du, wie die Scheitelform und die Normalform einer quadratischen Funktion aussehen. Die Normalform besitzt die Funktionsgleichung f ( x ) = ax² + bx + c. Die Scheitelpunktform hingegen besitzt die Funktionsgleichung f ( x ) = a ( x – d ) ² + e. Wir zeigen dir, wie du die Normalform in die Scheitelpunktsform umwandelst und umgekehrt. Am Anfang wird noch einmal kurz wiederholt, welche Veränderungen eine Parabel gegenüber der Normalparabel erfahren kann ( Verschiebung, Spiegelung, Streckung, Stauchung ). In diesem Zusammenhang zeigen wir dir, wie du diese Veränderungen an den Parametern der Scheitelform ablesen kannst.

KomplettWissen Gymnasium. Mathematik 5.-8. Klasse, Auflage: 1. Klett Lerntraining GmbH: 2010.

Transkript Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion

Hallo, in diesem Video wollen wir über Quadratische Funktionen sprechen, und zwar genauer, was die Normalform einer Quadratischen Funktion ist, was die Scheitelform ist und wie man von der einen zu der anderen Form kommt und umgekehrt. Kommen wir also zuerst zur Normalform. Wiederholen wir noch einmal kurz, was wir schon über die Graphen von Quadratischen Funktionen wissen. Die heißen Parabeln, und was wir hier sehen, ist der Graph der Funktion y=x². Das ist die Normalparabel. So eine Parabel kann nach oben geöffnet sein und sie kann nach unten geöffnet sein. Sie kann verschoben sein und zusätzlich auch noch gestaucht oder gestreckt. Wie diese Spiegelung, Stauchung oder Streckung und Verschiebung genau aussieht, dafür sorgen die Zahlen vor den x-Potenzen in der Funktionsgleichung, die heißen auch Parameter. Und in der Normalform werden die meistens mit a, b und c bezeichnet. Leider kann man aber in der Normalform an diesen Parametern nicht genau ablesen, wie der Graph aussieht. Nehmen wir beispielsweise einmal die Funktion y=2x²-4x-2. Dann ist also a=2, b=-4,c=-2. Der Graph dieser Funktion sieht so aus, und man kann aber nicht direkt aus den Parametern ablesen, wie es zu diesem Graphen kommt. Bei der Scheitelform sieht das schon ganz anders aus. Die Scheitelform der Funktion sieht allgemein so aus. y=a(x-d)²+e. Als Beispiel nehmen wir hier mal 2(x-1)²-4. Dann ist also a=2, d=1 und e=-4. Und das Gute daran ist jetzt, dass man an den Parametern gleich den Scheitelpunkt des Graphen ablesen kann. Der hat nämlich die Koordinaten d, e, beziehungsweise 1, -4. Das heißt, das d sagt uns, um wie viele Einheiten die Normalparabel entlang der x-Achse verschoben wurde, und das e sagt uns, um wie viele Einheiten gegenüber der Normalparabel der Graph entlang der y-Achse verschoben wurde. Das a sagt uns, mit welchem Faktor der Graph gestreckt oder gestaucht wurde. Wenn das a negativ ist, dann wurde er gespiegelt. In unserem Fall ist hier also mit dem Faktor 2 gestreckt worden. Als Nächstes schauen, wir uns jetzt an, wie man rechnerisch von der Scheitelform zur Normalform kommt. Dazu nehmen wir uns unser Beispiel von gerade und auf der rechten Seite die allgemeine Scheitelform. Im ersten Schritt berechnen wir den Klammerausdruck mithilfe der binomischen Formel. Dann ist also y=2 mal - jetzt die Binomische Formel anwenden - x²-2x+1, das lassen wir in der Klammern und -4 bleibt stehen. Auf der rechten Seite ist das y = a - das bleibt stehen - mal x²-2dx+d², Klammer zu, +e. Danach wird jetzt einfach die Klammer aufgelöst, das heißt wir multiplizieren 2 mit jedem Summanden aus der Klammer, das gibt dann 2x²-4x+2-4 und auf der rechten Seite ax²-2adx+ad²+e. Und jetzt brauchen wir links nur noch die 2 und die -4 zusammenfassen und dann sind wir schon bei der Normalform. Und auch rechts haben wir schon die Normalform, denn wir haben ja eine Summe von x-Potenzen und die x-Potenzen sind x² und x und eine absolute Zahl. Also könne wir denen genau die Parameter a, b, c zuordnen. Das a der Normalform ist auch das a der Scheitelform, deswegen haben wir da auch den gleichen Namen gewählt. Das b von der Normalform entspricht -2ad von der Scheitelform und das c von der Normalform entspricht ad2+e von er Scheitelform. Wir haben also jetzt zwei Gleichungen, die uns sozusagen die Beziehungen zwischen den Parametern der Scheitelform und den Parametern der Normalform genau angeben. Und das werden wir uns jetzt auch zunutze machen, wenn wir von der Normalform in die Scheitelform umrechnen. Wir behalten einmal die beiden Gleichungen im Kopf und wir behalten die Normalform unserer Beispielfunktion. Dann wissen wir also schon, dass das a=2, b=-4 und c=-2, und was wir jetzt suchen, ist das d und das e von der Scheitelform. Erst einmal stellen wir die erste Gleichung um, denn wir suchen ja d, also stellen wir sie nach d um, dann teilen wir durch - 2 und durch a und erhalten -b/(2a)=d. Und da können wir jetzt a und b einsetzen, b ist ja -4 und a ist 2. Da ergibt sich -(-4)((2×2)=1. Dann ist d also gleich 1. Die zweite Gleichung brauchen wir, um e zu bestimmen. Erst einmal stellen wir die erste Gleichung um, denn wir suchen ja d, also stellen wir sie nach d um, dann teilen wir durch - 2 und durch a und erhalten -b/(2a)=d. Dann ist also e=c-ad², und da setzen wir jetzt ein für c -2, für a 2 und für d 1. Und dann erhalten wir e=-4. Und jetzt haben wir die Parameter für unsere Scheitelform und die lautet dann y=2(x-2)-4, also genau unsere Scheitelform, die wir eigentlich eben schon hatten, von der wir ausgegangen sind. Jetzt möchte ich euch noch einen anderen Weg zeigen, wie man auf das e kommt. Vielleicht möchte man sich nicht so viele Formeln merken. Also wenn man das d einmal hat, dann braucht man eigentlich nur den Funktionswert d in der Funktion von y auszurechnen, also das d in y einsetzen. Wir berechnen also y(1)=2×1²-4×1-2. Ich habe also unten in der Funktionsgleichung für x 1 eingesetzt, und da erhalte ich auch -4. Und da finde ich, dass das ein bisschen komfortabler, weil man sich eben die zweite Formel nicht merken muss. Es gibt auch noch eine dritte Möglichkeit, das d und das e zu bestimmen, das ist die Quadratische Ergänzung, aber die wird vielleicht einmal in einem anderen Video behandelt. Jetzt machen wir die ganze Prozedur noch einmal mit einem Beispiel. Wir haben eine Scheitelform gegeben, nämlich y=½(x-6)²+4. Da wissen wir also schon einmal, dass d=6, e=4 und a=½. Jetzt lösen wir zuerst die Klammer auf mit der binomischen Formel. Dann multiplizieren wir ½ mit dem, was in der Klammer steht und fassen dann noch die Zahlen hinten zusammen, da ergibt sich ½x²-6x+22. Und da können wir b und c ablesen. b=-6 und c=22. Jetzt noch einmal ein umgekehrtes Beispiel. Wir holen uns wieder unsere beiden Formeln her und nehmen als Normalform y=4x²-4x+7. Dann ist also a=4, b=-4 und c=7. Diesmal lasse ich einmal die Formel so stehen, wie sie ist, und setze einfach ein. Also b=-4 und das ist -4=-2×4×d. Dann ist also -4=-8×d, und daraus ergibt sich d= ½. Das schreiben wir uns schon einmal auf, und dann setzen wir in die Gleichung alles ein, was wir schon haben c ist 7, a ist ½ und e kennen wir noch nicht und dann kommen wir auf 7=4×¼+e, also 7=1+e und damit ist e=6. Jetzt will ich noch mal den zweiten Weg zeigen. Wenn wir also d schon ausgerechnet haben und das in y einsetzen, um e herauszubekommen. Wir berechnen also y(¼)=4×(½)²-4×½ +7 und, wer hätte es gedacht, da kommt auch 6 heraus. So, dann fassen wir noch mal alles zusammen. Die Normalform sieht also allgemein so aus y=ax²+bx+c, die Scheitelform aht die Gestalt y=a(x-d)²+e. Und das a ist das gleiche a wie bei der Normalform. Um von der Scheitelform auf die Normalform zu kommen, muss man im Prinzip nur die Klammer ausmultiplizieren. Um von der Normalform auf die Scheitelform zu kommen, kann man eine Formel benutzen: b=-2ad oder nach d umgestellt d=c/(-2a) und danach kann man, um e zu bestimmern, entweder eine zweite Formel benutzen, nämlic e= c-ad² oder man setzt das d einfach als x-Wert ind die Funktion y ein, und das, was herauskommt, ist dann e, oder man macht eine quadratische Ergänzung, auf die ich hier jetzt nicht näher eingegangen bin. Das war's, wir hören uns im nächsten Video.  

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. Verstehe ich nicht :((((

    Von Pablo G., vor 10 Monaten
  2. Hallo Fatiha,
    ich gebe dir die Links zu 3 Videos, in denen die dritte Möglichkeit erklärt wird (die quadratische Ergänzung). Für mein Video wäre es zu viel gewesen, da die quadratische Ergänzung nicht so leicht zu verstehen ist und selber schon wichtig genug, um daraus ein Video zu machen. Also hier sind die Links:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/quadratische-ergaenzung-2

    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/quadratische-ergaenzung-erklaerung-1

    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/quadratische-ergaenzung-erklaerung-2

    Viel Erfolg!
    Steve

    Von Steve Taube, vor 12 Monaten
  3. die 3.möglichkeit wäre interessant gewissen:(

    Von Fatiha Elmansouri, vor 12 Monaten
  4. OK

    Von Luis W., vor etwa einem Jahr
  5. Viel zu schnell! Muss nebenher noch umdenken!

    Von Fastreader, vor mehr als 4 Jahren
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Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Parameter $a$, $b$ sowie $c$ in der Normalform an.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung in Normalform hat die Form $y=ax^2+bx+c$.

    Achte auf die Vorzeichen. In der allgemeinen Form steht immer ein „$+$“ zwischen den einzelnen Summanden.

    Wenn in der Funktionsgleichung ein „$-$“ steht, musst du dieses beachten.

    Schau dir ein Beispiel an. Gegeben sei die Funktionsgleichung $y=3x^2-4x-7$.

    In ausführlicher Schreibweise lautet die Gleichung $y = 3x^2 +(-4x) + (-7)$.

    • Der Faktor vor dem $x^2$ ist hier $3$. Also gilt $a=3$.
    • Der Faktor vor dem $x$ ist $-4$. Also ist $b=-4$.
    • Der Term ohne $x$ ist $-7$. Also ist $c=-7$.
    Lösung

    Ganz allgemein lautet eine quadratische Funktion in Normalform $y=ax^2+bx+c$.

    Dabei nennen wir die Variablen $a$,$b$ und $c$ Parameter.

    Wir schauen uns dies an zwei Beispielen an.

    Beispiel 1: $y=2x^2-4x-2$

    Ausführlicher lautet diese Gleichung $y = 2x^2 + (-4x) + (-2)$. Daraus folgen diese Parameter:

    • $a=2$
    • $b=-4$
    • $c=-2$
    Beispiel 2: $y=4x^2+4x+7$

    • $a=4$
    • $b=4$
    • $c=7$
  • Bestimme die Scheitelform der quadratischen Funktion.

    Tipps

    Achte bei den Parametern auf die Vorzeichen.

    Wenn der Streckfaktor $a=\frac12$ sowie der Scheitelpunkt $S(2|3)$ gegeben sind, lautet die Scheitelform $y=\frac12(x-2)^2+3$.

    Beachte, dass $d$ nicht $-2$, sondern $2$ ist. Außerdem ist $e=3$.

    Lösung

    Hier siehst du eine Umformung von der Normalform in die Scheitelform. In der Scheitelform kannst du den Scheitelpunkt einer Funktion ablesen. Dies ist hilfreich, um den Graphen einer Funktion schnell zeichnen zu können. Umgekehrt lässt sich die Funktionsgleichung in Scheitelform aus einem gegebenen Graphen oft schneller aufstellen.

    Gegeben sei die Funktionsgleichung $y=4x^2-4x+7$.

    Es ist $a=4$, $b=-4$ und $c=7$.

    Berechnung von $d$

    Verwende die Formel $b=-2ad$ und setze die bekannten Parameter ein:

    • $-4=-2\cdot 4\cdot d=-8\cdot d$
    • Dividiere durch $-8$. So erhältst du $d=\frac{-4}{-8}=\frac12$.
    Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um $e$ zu bestimmen. Hier lernst du zwei Varianten kennen.

    Einsetzen in die Formel $c=ad^2+e$

    • $7=4\cdot \left(\frac12\right)^2+e=4\cdot \frac14+e=1+e$
    • Subtraktion von $1$ auf beiden Seiten der Gleichung führt zu $e=6$.
    Einsetzen von $d$ in die Funktionsgleichung

    $e=4\cdot\left(\frac12\right)^2-4\cdot \frac12+7=4\cdot \frac14-2+7=1-2+7=6$

    Beide Wege führen also zum gleichen Wert für $e$.

    Zuletzt kannst du die Scheitelform aufschreiben. Diese lautet:

    $y=4\left(x-\frac12\right)^2+6$.

  • Bestimme zu der jeweiligen quadratischen Funktion in Scheitelform den Scheitelpunkt.

    Tipps

    Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes kannst du mit Vorzeichen übernehmen.

    Bei der $x$-Koordinate musst du das Vorzeichen vertauschen.

    Schau dir ein Beispiel an. Die Funktionsgleichung lautet $y=3(x+2)^2+2$.

    Der Scheitelpunkt ist $S(-2|2)$.

    Lösung

    Eine quadratische Funktion in Scheitelform ist gegeben durch $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

    Du siehst: Bei der $y$-Koordinate kannst du den Wert von $e$ einfach übernehmen. Bei der $x$-Koordinate musst du besser aufpassen. In der Scheitelform steht $-d$ und im Scheitelpunkt steht $d$.

    Der Streckfaktor $a$ hat keinen Einfluss auf den Scheitelpunkt.

    Hier siehst du die Lösungen der Aufgabe:

    • $y=3(x-1)^2+3$: Der Scheitelpunkt ist $S(1|3)$.
    • $y=-2(x+1)^2+3$: Der Scheitelpunkt ist $S(-1|3)$.
    • $y=\frac12(x-1)^2-3$: Der Scheitelpunkt ist $S(1|-3)$.
    • $y=-0,7(x+1)^2-3$: Der Scheitelpunkt ist $S(-1|-3)$.
  • Leite die Scheitelform der quadratischen Funktion her.

    Tipps

    In diesem Beispiel ist $a=3$, $b=6$ und $c=-7$.

    Beachte, dass das Quadrieren einer negativen Zahl zu einem positiven Ergebnis führt.

    Wenn der Scheitelpunkt $S(3|3)$ gegeben ist, lautet die Scheitelform $y=a(x-3)^2+3$.

    Lösung

    Du sollst die Scheitelform zu der quadratischen Gleichung in Normalform $y=3x^2+6x-7$ bestimmen.

    Zunächst einmal ist hier $a=3$, $b=6$ sowie $c=-7$.

    Du startest mit der Berechnung von $d$. Hierfür verwendest du die Formel $b=-2ad$. Setze die bekannten Werte für $a$ und $b$ in diese Formel ein. So erhältst du $6=-2\cdot 3 \cdot d=-6\cdot d$. Dividiere auf beiden Seiten durch $6$ und du kommst zur Lösung von $d$:

    $d=-1$.

    Ersetze in $y=3x^2+6x-7$ die Variable $x$ durch $d=-1$ und $y$ durch $e$. Somit ist $e=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)-7=3-6-7=-10$.

    Nun hast du den Scheitelpunkt $S(-1|-10)$ gefunden. Du kannst die Scheitelform aufstellen:

    $y=3(x+1)^2-10$.

    Beachte, dass hier in der Klammer $+1$ steht. Die allgemeine Darstellung der Scheitelform lautet $y = a(x-d)^2 +e$. Da hier $d=-1$ ist führt das in der Klammer zu $x-(-1)$, was gleich $x+1$ ist.

  • Bestimme die Form der jeweiligen quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Aus der Scheitelform kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen.

    Der Scheitelpunkt der Funktionen ist $(d|e)$ bzw. $(1|-4)$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um zwei häufig genutzte Formen, in denen dir quadratische Funktionen begegnen können.

    Die Normalform lautet $y=ax^2+bx+c$ mit den Parametern $a$, $b$ sowie $c$. Dabei ist $a$ der sogenannte Streckungsfaktor.

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. An dem Streckungsfaktor $a$ kannst du erkennen, ob die Parabel nach oben ($a>0$) oder nach unten ($a<0$) geöffnet ist. Des Weiteren kannst du erkennen, ob sie gestreckt oder gestaucht ist:

    • $|a|>1$: Die Parabel ist gestreckt.
    • $0<|a|<1$: Die Parabel ist gestaucht.
    Die Parameter $b$ und $c$ sagen dir, ob der Graph der Funktion verschoben ist.

    Die Scheitelform lautet $y=a(x-d)^2+e$. Der Name verrät dir, dass du bei dieser Form den Scheitelpunkt der Funktion sofort ablesen kannst. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $(d|e)$.

    Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel ist der tiefste Punkt der Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist es entsprechend der höchste Punkt.

    Das $a$ in beiden Formen ist derselbe Wert.

    Schauen wir uns nun ein Beispiel an:

    $y=2x^2-4x-2$.

    Diese Funktion liegt in Normalform vor. Wir können erkennen, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Den Scheitelpunkt können wir hier aber nicht direkt ablesen.

    Die Scheitelform derselben Funktion lautet $2(x-1)^2-4$. Der Scheitelpunkt ist $S(1|-4)$.

    Übrigens: Wenn du in diesem Beispiel die zweite binomische Formel anwendest und ausmultiplizierst, kannst du erkennen, dass es sich um dieselbe Funktion handelt.

    Du erhältst $y=2(x-1)^2-4=2(x^2-2x+1)-4=2x^2-4x+2-4=2x^2-4x-2$. Das ist die obige Gleichung in Normalform.

  • Ermittle den Scheitelpunkt und gib die Scheitelform an.

    Tipps

    Verwende die Formel $b=-2ad$. Damit kannst du $d$ berechnen.

    Da der Scheitelpunkt allgemein die Form $(d|e)$ hat, kannst du $d$ und $e$ für $x$ bzw. $y$ in die Funktionsgleichung einsetzen und $e$ ausrechnen.

    Die Scheitelform lautet $y=a(x-d)^2+e$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du die Umformung einer Funktionsgleichung von der Normalform zur Scheitelform selbstständig durchführen.

    Dazu berechnest du zuerst $d$ und anschließend $e$. So erhältst du den Scheitelpunkt. Anschließend stellst du die Scheitelform auf.

    Wir schauen uns das Beispiel $y=-0,5x^2-3x-4$ an.

    Es ist $a=-0,5$, $b=-3$ und $c=-4$.

    Berechnung von $d$

    Verwende die Formel $b=-2ad$ und setze die bekannten Parameter ein:

    $-3=-2\cdot (-0,5)\cdot d=d$.

    Einsetzen von $d=-3$ in die Funktionsgleichung

    Da der Scheitelpunkt die Koordinaten $(d|e)$ hat, ersetzt du $x$ durch den Wert von $d$ und $y$ durch $e$:

    $e=-0,5\cdot\left(-3\right)^2-3\cdot(-3)-4=-4,5+9-4=0,5$.

    Nun kennst du den Scheitelpunkt $S(-3|0,5)$ und kannst damit die Scheitelform angeben:

    $y=-0,5(x+3)^2+0,5$.

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