Natürliche Zahlen durch Brüche teilen

Natürliche Zahlen durch Brüche teilen Übung

• Gib die Definition der Kehrwertregel an.

  Tipps

  Es gilt:

  • $3:\dfrac 7{10}=\dfrac{30}{7}$

  $\dfrac{30}{7}$ von $\dfrac 7{10}$ passen in die $3$.

  Lösung

  Möchtest du durch einen Bruch dividieren, so multiplizierst du mit dessen Kehrwert. Es ist:

  • $1:\dfrac 23=\dfrac 32$

  Doch wie können wir eine solche Aufgabe interpretieren. Bis jetzt haben wir uns immer gefragt, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Nun stellen wir uns folgende Frage:

  • Wie viele Teile des Divisors passen in den Dividenden?

  Für das obige Beispiel bedeutet das: Wie viele Teile von $\dfrac 23$ passen in die $1$?

  Es passen $\dfrac 32$ von $\dfrac23$ in die $1$. Das überprüfen wir nun:

  Die Hälfte von $\dfrac 23$ ist $\dfrac 13$. Das Dreifache von $\dfrac 13$ ist $1$. Also passen genau $\dfrac 32$ von $\dfrac 23$ in die $1$.

• Bestimme die Quotienten.

  Tipps

  Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst.

  $\frac 51$ sind zum Beispiel fünf Ganze, also $5$.

  Der Kehrwert von $\frac ab$ ist $\frac ba$.

  Du multiplizierst eine ganze Zahl mit einem Bruch, indem du die Zahl mit dem Zähler multiplizierst und den Nenner beibehältst.

  Lösung

  Wir dividieren durch einen Bruch, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Der Kehrwert eines Bruches $\frac ab$ ist $\frac ba$. Wir multiplizieren eine ganze Zahl mit einem Bruch, indem wir die Zahl mit dem Zähler multiplizieren und den Nenner beibehalten.

  So erhalten wir die folgenden Quotienten:

  • $1:\dfrac 13=1\cdot\dfrac 31=\dfrac 31=3$
  • $1:\dfrac 23=1\cdot\dfrac 32=\dfrac 32$
  • $1:\dfrac 7{10}=1\cdot\dfrac {10}7=\dfrac {10}7$
  • $3:\dfrac 7{10}=1\cdot\dfrac {10}{7}=\dfrac {30}7$

• Ermittle die Ergebnisse der Divisionen und kürze das Ergebnis soweit wie möglich.

  Tipps

  Multipliziere den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $9:\dfrac 65=9\cdot \dfrac 56=\dfrac {9\cdot 5}{6}=\dfrac{\not 3\cdot 3\cdot 5}{\not 3\cdot 2}=\dfrac 52$

  Denke daran, dass du am Ende kürzen kannst, zum Beispiel:

  • $\dfrac{\not 3\cdot 5\cdot 4}{\not 3\cdot 2}=\dfrac{5\cdot 4}{2}$

  Lösung

  Wir lösen die Aufgaben, indem wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren. Während der Multiplikation können wir, wenn möglich, kürzen. Wir erhalten folgende Zuordnungen:

  Quotient: $~\dfrac 92$

  • $3:\dfrac 23=3\cdot \dfrac 32=\dfrac{3\cdot 3}{2}=\dfrac 92$
  • $1:\dfrac 29=1\cdot \dfrac 92=\dfrac{1\cdot 9}{2}=\dfrac 92$
  • $12:\dfrac 83=3\cdot \dfrac 32=\dfrac{3\cdot 3}{2}=\dfrac 92$

  Quotient: $~\dfrac 83$

  • $12:\dfrac 92=12\cdot \dfrac 29=\dfrac{12\cdot 2}{9}=\dfrac{\not 3\cdot 4\cdot 2}{\not 3\cdot 3}=\dfrac 83$
  • $2:\dfrac 34=2\cdot \dfrac 43=\dfrac{2\cdot 4}{3}=\dfrac 83$

  Quotient: $~\dfrac {16}5$

  • $2:\dfrac 58=2\cdot \dfrac 85=\dfrac{2\cdot 8}{5}=\dfrac {16}5$
  • $4:\dfrac 54=12\cdot \dfrac 29=\dfrac{12\cdot 2}{9}=\dfrac{\not 3\cdot 4\cdot 2}{\not 3\cdot 3}=\dfrac 83$
  • $8:\dfrac 52=8\cdot \dfrac 25=\dfrac{8\cdot 2}{5}=\dfrac {16}5$
  • $20:\dfrac {25}4=20\cdot \dfrac 4{25}=\dfrac{20\cdot 4}{25}=\dfrac{\not 5\cdot 4\cdot 4}{\not 5\cdot 5}=\dfrac {16}5$

• Erschließe die jeweiligen Quotienten.

  Tipps

  Die Kehrwertregel gilt auch dann, wenn der Dividend ebenfalls ein Bruch ist.

  Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Dazu rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

  Lösung

  Wir dividieren einen Bruch durch einen zweiten Bruch, indem wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren.

  Bei der Multiplikation zweier Brüche rechnen wir Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

  So erhalten wir die folgenden Lösungen:

  • $\dfrac 12:\dfrac 13=\dfrac 12\cdot \dfrac 31=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 1}=\dfrac 32$

  • $\dfrac 25:\dfrac 13=\dfrac 25\cdot \dfrac 31=\dfrac{2\cdot 3}{5\cdot 1}=\dfrac 65$

  • $\dfrac 35:\dfrac 14=\dfrac 35\cdot \dfrac 41=\dfrac{3\cdot 4}{5\cdot 1}=\dfrac {12}5$

  • $\dfrac 19:\dfrac 13=\dfrac 19\cdot \dfrac 31=\dfrac{1\cdot 3}{9\cdot 1}=\dfrac{1\cdot \not 3}{\not 3 \cdot 3\cdot 1}=\dfrac 13$

• Gib die Kehrwerte der Brüche an.

  Tipps

  Du bildest den Kehrwert eines Bruches, indem du den Zähler und den Nenner vertauschst.

  Wenn du einen Bruch mit dem Kehrwert multiplizierst, erhältst du $1$. Das kannst du als Probe nutzen:

  $\dfrac34\cdot \dfrac43 =\dfrac{3\cdot4}{4\cdot3}=1$

  Lösung

  Wir bilden den Kehrwert eines Bruches, indem wir den Zähler und den Nenner vertauschen. Der Kehrwert eines Bruches $\frac ab$ ist also $\frac ba$. Für die hier betrachteten Brüche erhalten wir also:

  $\begin{array}{cccccccccc} \\ \dfrac 23 &\rightarrow& \dfrac 32 &&&&& \dfrac 13 &\rightarrow& \dfrac 31 \\ \\ \\ \dfrac 7{10} &\rightarrow& \dfrac {10}7 &&&&& \dfrac 32 &\rightarrow& \dfrac 23 \end{array}$

• Bestimme die Ergebnisse.

  Tipps

  Multipliziere jeweils mit dem Kehrwert des zweiten und dritten Bruches.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $\dfrac 12:\dfrac 15:\dfrac 13=\dfrac 12\cdot \dfrac 51:\dfrac 13=\dfrac 52:\dfrac 13=\dfrac 52\cdot \dfrac 31=\dfrac 56$

  Lösung

  Wir rechnen von links nach rechts. Zuerst multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Das Produkt multiplizieren wir dann mit dem Kehrwert des dritten Bruches. Damit erhalten wir die folgenden Lösungen:

  • $\dfrac 23:\dfrac 25:\dfrac 12=\dfrac 23\cdot \dfrac 52:\dfrac 12=\dfrac {10}{6}:\dfrac 12=\dfrac {10}{6}\cdot \dfrac 21=\dfrac {20}{6}=\dfrac{10}{3}$

  • $\dfrac 13:\dfrac 32:\dfrac 15=\dfrac 13\cdot \dfrac 23:\dfrac 15=\dfrac 29:\dfrac 15=\dfrac 29\cdot \dfrac 51=\dfrac {10}9$

  • $\dfrac 57:\dfrac 13:\dfrac 34=\dfrac 57\cdot \dfrac 31:\dfrac 34=\dfrac {15}7:\dfrac 34=\dfrac {15}7\cdot \dfrac 43=\dfrac {60}{21}=\dfrac{20}7$

  • $\dfrac 35:\dfrac 14:\dfrac 12=\dfrac 35\cdot \dfrac 41:\dfrac 12=\dfrac {12}{5}:\dfrac 12=\dfrac {12}5\cdot \dfrac 21=\dfrac {24}5$