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Natürliche Zahlen durch Brüche teilen

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Martin Wabnik
Natürliche Zahlen durch Brüche teilen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Natürliche Zahlen durch Brüche teilen

Wenn wir z.B. 8 durch 2 teilen, fragen wir uns, wie oft 2 in 8 hinein passt. Wenn wir aber z.B. 1 geteilt durch 2/3 rechnen wollen, funktioniert das nicht so gut. Wir können uns aber überlegen, welche Teile von 2/3 wie oft in 1 passen. Und dann kommen wir auf die vernünftige Lösung: 3/2. Das bedeutet: Drei Hälften von zwei Dritteln passen in 1. Wie wir durch Brüche teilen, ist ein der Kehrwertregel beschrieben: Wir teilen durch einen Bruch, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Im Video kannst du an noch weiteren Beispielen sehen, warum wir mit der Kehrwertregel immer zu richtigen Ergebnissen kommen.

Transkript Natürliche Zahlen durch Brüche teilen

Hallo. Wenn du weißt, wie du natürliche Zahlen mit Brüchen multiplizieren kannst, dann können wir uns jetzt einmal ansehen, wie wir natürliche Zahlen durch Brüche teilen können. Also, wenn wir teilen, zum Beispiel 8:2, überlegen wir uns, wie oft passt die 2 in die 8 hinein? Das ist vier mal. Und das Ergebnis von 8/2=4. Wenn wir Zahlen durch Brüche teilen, ist das eigentlich genauso. Wenn wir zum Beispiel 1/(1/3) rechnen, fragen wir uns, wie oft passt 1/3 und 1 hinein? Also: 1/(1/3) ist unsere Aufgabe. Und da können wir uns fragen: Wie oft passt 1/3 in 1 hinein? Naja, das ist dreimal. Und das kann man auch schreiben, als 3/1. Normalerweise schreibt man 3 nicht als 3/1, aber das brauchen wir gleich noch. Wie man durch Brüche teilt, kann man ganz kurz beschreiben. Und zwar mit der Kehrwertregel. Die Kehrwertregel lautet: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Wenn wir das auf die Aufgabe von gerade anwenden, sieht das so aus: Wir hatten also 1/(1/3). Und laut Kehrwertregel hätten wir jetzt auch 1 mal den Kehrwert von 1/3 rechnen können, also mal 3 Ganze. 1×(3/1) = 3/1. Und das ist 3. Und das, ja, wussten wir hier auch schon. Wir sehen also, die Kehrwertregel bringt das Ergebnis, was wir sowieso schon erwartet haben. So und jetzt kommt es: Was ist 1/(2/3)? Um das zu rechnen, müssen wir das Teilen quasi neu erfinden. Wir haben also 1/(2/3). Und laut Kehrwertregel können wir das rechnen, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Also rechnen 1×(3/2). Das ist gleich 3/2. So und was könnte dieses Ergebnis denn sinnvollerweise bedeuten? Es könnte bedeuten, dass drei Hälften von 2/3 in 1 passen. Da ergibt sich die Frage: Ist das denn irgendwie logisch? Nun, wir können uns das so überlegen: Wir überlegen uns, was ist denn eine Hälfte von 2/3? Naja, das ist 1/3. Wie oft passt 1/3 in 1 hinein? Das sind dreimal. Das wussten wir schon. Also passen insgesamt drei Hälften von 2/3 in 1 hinein. Die Frage ist also nicht mehr, wie oft passt das hier in das hinein? Sondern die Frage ist jetzt, wenn wir durch Brüche teilen, welche Teile hiervon passen wie oft da hinein? Und das kann man auch an anderen Aufgaben sehen. Wir können zum Beispiel rechnen 1/(7/10). Laut Kehrwertregel rechnen wir dann 1×(10/7). Und das ist gleich 10/7. Wir können uns jetzt überlegen: Was ist denn 1/7 von 7/10? 1/7 von 7/10 ist 1/10. Wie oft passt 1/10 in 1 hinein? Das ist zehnmal. Also passen 10/7 von 7/10 in eins hinein. Wir hatten jetzt vorne immer die 1 stehen. Das geht aber auch mit anderen Zahlen. Zum Beispiel können wir rechnen: 3/(7/10). Und laut Kehrwertregel rechnen wir dann: 3×(10/7). Und das sind 30/7. Und die Frage ist wieder: Ist das denn ein sinnvolles Ergebnis? Ja, denn wir können uns überlegen, was ist denn 1/7 von 7/10? Das ist 1/10. Wie oft passt 1/10 in 3 hinein? Naja, wir wissen, dass 1/10 zehnmal in Eins passt, also passt 1/10 dreißig mal in 3. Weil ja 3 dreimal größer ist als 1. Also, passen 30/7 von 7/10 in 3 hinein. So, dann sind wir hier fertig. Wir haben gesehen, wie man durch Brüche teilen kann. Wir haben auch die Kehrwertregel gesehen. Ja, und für das Verständnis dieses Teils haben wir da uns ganz neu nochmal überlegt, was das Teilen durch Brüche eigentlich ist. Das wars dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

24 Kommentare

24 Kommentare
  1. Sehr hilfreich

    Von Federico , vor 8 Tagen
  2. Ab nach Köln😊

    Von Sandra H., vor 8 Monaten
  3. Sie haben mir sehr geholfen

    Von Itslearning Nutzer 2535 408678, vor 10 Monaten
  4. Will der typ flexen oder was mit der Stadt

    Von Buv Wietzel, vor 10 Monaten
  5. Umständlich erklärt, für Kind nicht verständlich. Kehrwertregel (aus :2/3 wird *3/2 ) reicht völlig und verwirrt Kinder nicht.

    Von Jan-Niklas S., vor etwa einem Jahr
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Natürliche Zahlen durch Brüche teilen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Natürliche Zahlen durch Brüche teilen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition der Kehrwertregel an.

    Tipps

    Es gilt:

    • $3:\dfrac 7{10}=\dfrac{30}{7}$

    $\dfrac{30}{7}$ von $\dfrac 7{10}$ passen in die $3$.

    Lösung

    Möchtest du durch einen Bruch dividieren, so multiplizierst du mit dessen Kehrwert. Es ist:

    • $1:\dfrac 23=\dfrac 32$
    Doch wie können wir eine solche Aufgabe interpretieren. Bis jetzt haben wir uns immer gefragt, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Nun stellen wir uns folgende Frage:

    • Wie viele Teile des Divisors passen in den Dividenden?
    Für das obige Beispiel bedeutet das: Wie viele Teile von $\dfrac 23$ passen in die $1$?

    Es passen $\dfrac 32$ von $\dfrac23$ in die $1$. Das überprüfen wir nun:

    Die Hälfte von $\dfrac 23$ ist $\dfrac 13$. Das Dreifache von $\dfrac 13$ ist $1$. Also passen genau $\dfrac 32$ von $\dfrac 23$ in die $1$.

  • Bestimme die Quotienten.

    Tipps

    Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst.

    $\frac 51$ sind zum Beispiel fünf Ganze, also $5$.

    Der Kehrwert von $\frac ab$ ist $\frac ba$.

    Du multiplizierst eine ganze Zahl mit einem Bruch, indem du die Zahl mit dem Zähler multiplizierst und den Nenner beibehältst.

    Lösung

    Wir dividieren durch einen Bruch, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Der Kehrwert eines Bruches $\frac ab$ ist $\frac ba$. Wir multiplizieren eine ganze Zahl mit einem Bruch, indem wir die Zahl mit dem Zähler multiplizieren und den Nenner beibehalten.

    So erhalten wir die folgenden Quotienten:

    • $1:\dfrac 13=1\cdot\dfrac 31=\dfrac 31=3$
    • $1:\dfrac 23=1\cdot\dfrac 32=\dfrac 32$
    • $1:\dfrac 7{10}=1\cdot\dfrac {10}7=\dfrac {10}7$
    • $3:\dfrac 7{10}=1\cdot\dfrac {10}{7}=\dfrac {30}7$
  • Ermittle die Ergebnisse der Divisionen und kürze das Ergebnis soweit wie möglich.

    Tipps

    Multipliziere den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    • $9:\dfrac 65=9\cdot \dfrac 56=\dfrac {9\cdot 5}{6}=\dfrac{\not 3\cdot 3\cdot 5}{\not 3\cdot 2}=\dfrac 52$

    Denke daran, dass du am Ende kürzen kannst, zum Beispiel:

    • $\dfrac{\not 3\cdot 5\cdot 4}{\not 3\cdot 2}=\dfrac{5\cdot 4}{2}$
    Lösung

    Wir lösen die Aufgaben, indem wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren. Während der Multiplikation können wir, wenn möglich, kürzen. Wir erhalten folgende Zuordnungen:

    Quotient: $~\dfrac 92$

    • $3:\dfrac 23=3\cdot \dfrac 32=\dfrac{3\cdot 3}{2}=\dfrac 92$
    • $1:\dfrac 29=1\cdot \dfrac 92=\dfrac{1\cdot 9}{2}=\dfrac 92$
    • $12:\dfrac 83=3\cdot \dfrac 32=\dfrac{3\cdot 3}{2}=\dfrac 92$
    Quotient: $~\dfrac 83$

    • $12:\dfrac 92=12\cdot \dfrac 29=\dfrac{12\cdot 2}{9}=\dfrac{\not 3\cdot 4\cdot 2}{\not 3\cdot 3}=\dfrac 83$
    • $2:\dfrac 34=2\cdot \dfrac 43=\dfrac{2\cdot 4}{3}=\dfrac 83$
    Quotient: $~\dfrac {16}5$

    • $2:\dfrac 58=2\cdot \dfrac 85=\dfrac{2\cdot 8}{5}=\dfrac {16}5$
    • $4:\dfrac 54=12\cdot \dfrac 29=\dfrac{12\cdot 2}{9}=\dfrac{\not 3\cdot 4\cdot 2}{\not 3\cdot 3}=\dfrac 83$
    • $8:\dfrac 52=8\cdot \dfrac 25=\dfrac{8\cdot 2}{5}=\dfrac {16}5$
    • $20:\dfrac {25}4=20\cdot \dfrac 4{25}=\dfrac{20\cdot 4}{25}=\dfrac{\not 5\cdot 4\cdot 4}{\not 5\cdot 5}=\dfrac {16}5$
  • Erschließe die jeweiligen Quotienten.

    Tipps

    Die Kehrwertregel gilt auch dann, wenn der Dividend ebenfalls ein Bruch ist.

    Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Dazu rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

    Lösung

    Wir dividieren einen Bruch durch einen zweiten Bruch, indem wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren.

    Bei der Multiplikation zweier Brüche rechnen wir Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

    So erhalten wir die folgenden Lösungen:

    • $\dfrac 12:\dfrac 13=\dfrac 12\cdot \dfrac 31=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 1}=\dfrac 32$
    • $\dfrac 25:\dfrac 13=\dfrac 25\cdot \dfrac 31=\dfrac{2\cdot 3}{5\cdot 1}=\dfrac 65$
    • $\dfrac 35:\dfrac 14=\dfrac 35\cdot \dfrac 41=\dfrac{3\cdot 4}{5\cdot 1}=\dfrac {12}5$
    • $\dfrac 19:\dfrac 13=\dfrac 19\cdot \dfrac 31=\dfrac{1\cdot 3}{9\cdot 1}=\dfrac{1\cdot \not 3}{\not 3 \cdot 3\cdot 1}=\dfrac 13$
  • Gib die Kehrwerte der Brüche an.

    Tipps

    Du bildest den Kehrwert eines Bruches, indem du den Zähler und den Nenner vertauschst.

    Wenn du einen Bruch mit dem Kehrwert multiplizierst, erhältst du $1$. Das kannst du als Probe nutzen:

    $\dfrac34\cdot \dfrac43 =\dfrac{3\cdot4}{4\cdot3}=1$

    Lösung

    Wir bilden den Kehrwert eines Bruches, indem wir den Zähler und den Nenner vertauschen. Der Kehrwert eines Bruches $\frac ab$ ist also $\frac ba$. Für die hier betrachteten Brüche erhalten wir also:

    $\begin{array}{cccccccccc} \\ \dfrac 23 &\rightarrow& \dfrac 32 &&&&& \dfrac 13 &\rightarrow& \dfrac 31 \\ \\ \\ \dfrac 7{10} &\rightarrow& \dfrac {10}7 &&&&& \dfrac 32 &\rightarrow& \dfrac 23 \end{array}$

  • Bestimme die Ergebnisse.

    Tipps

    Multipliziere jeweils mit dem Kehrwert des zweiten und dritten Bruches.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    • $\dfrac 12:\dfrac 15:\dfrac 13=\dfrac 12\cdot \dfrac 51:\dfrac 13=\dfrac 52:\dfrac 13=\dfrac 52\cdot \dfrac 31=\dfrac 56$
    Lösung

    Wir rechnen von links nach rechts. Zuerst multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Das Produkt multiplizieren wir dann mit dem Kehrwert des dritten Bruches. Damit erhalten wir die folgenden Lösungen:

    • $\dfrac 23:\dfrac 25:\dfrac 12=\dfrac 23\cdot \dfrac 52:\dfrac 12=\dfrac {10}{6}:\dfrac 12=\dfrac {10}{6}\cdot \dfrac 21=\dfrac {20}{6}=\dfrac{10}{3}$
    • $\dfrac 13:\dfrac 32:\dfrac 15=\dfrac 13\cdot \dfrac 23:\dfrac 15=\dfrac 29:\dfrac 15=\dfrac 29\cdot \dfrac 51=\dfrac {10}9$
    • $\dfrac 57:\dfrac 13:\dfrac 34=\dfrac 57\cdot \dfrac 31:\dfrac 34=\dfrac {15}7:\dfrac 34=\dfrac {15}7\cdot \dfrac 43=\dfrac {60}{21}=\dfrac{20}7$
    • $\dfrac 35:\dfrac 14:\dfrac 12=\dfrac 35\cdot \dfrac 41:\dfrac 12=\dfrac {12}{5}:\dfrac 12=\dfrac {12}5\cdot \dfrac 21=\dfrac {24}5$
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