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Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln

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Mathematik Digital
Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln

In diesem Video lernst du, wie man Brüche mit einer ganzen Zahlen multipliziert und wie man ganze Zahlen mit einem Bruch dividiert. Das erarbeiten wir uns mit Hilfe von zwei einfachen Merkregeln. Nach der ersten Merkregel werden wir eine interessante Beobachtung notieren. In dem Video helfen dir Beispiele, die wir Schritt für Schritt durchrechnen werden. Sieh selbst!

Transkript Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln

Merkregeln zur Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen

Tim und Lisa haben Pizza bestellt. Und hier ist sie auch schon. Was das mit der Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen zu tun hat, zeigen wir dir in diesem Video.

Zuerst lernst du die Multiplikation von ganzen Zahlen mit Brüchen. Dann wollen wir untersuchen, was bei der Multiplikation von ganzen Zahlen mit Brüchen, die kleiner als 1 sind, zu beobachten ist. Und dann lernst du noch die Division von ganzen Zahlen durch Brüche kennen. Am Ende fassen wir alles zusammen. Aber schön der Reihe nach.

Erstmal will Lisa eine Pizza in 8 gleiche Teile teilen, also in Achtel-Stücke. Sie meint, sie könne locker 3 Teile -also drei Achtel- aufessen. Tim antwortet, er könne sicher die doppelte Menge auf einmal verdrücken. Was ist die doppelte Menge von drei Achtel? Das sind zwei mal 3 Achtel. Wenn wir zwei mal Dreiachtel-Stücke nehmen, sind das natürlich sechs Achtel. 2 mal 3 Achtel sind also 6 Achtel. Was ist passiert? Es wurde der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Nenner blieb gleich.

Wir formulieren die erste Merkregel: Man multipliziert eine ganze Zahl mit einem Bruch, indem man den Zähler des Bruchs mit der ganzen Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt.

Lisa fällt Folgendes auf: Der Bruch - also 3 Achtel - ist kleiner als 1. Das Ergebnis - also 6 Achtel - ist dann kleiner als die Ausgangszahl. In diesem Fall: 6 Achtel ist kleiner als zwei. Warum ist das so? Nehmen wir die Rechnung 3 mal 1. Das Ergebnis ist natürlich 3. Wir ersetzen die 1 durch eine Zahl, die kleiner ist als 1. Ersetzen wir die 1 etwa durch ein Halb - also der Hälfte -, müssen wir auch die andere Seite der Gleichung durch zwei teilen. Die Hälfte von 3 ist 1,5. 3 mal ein Halb sind also 1,5.

Selbstverständlich ist das Ergebnis - also 1,5 - kleiner als die Ausgangszahl - in diesem Fall 3; wir haben die drei ja durch zwei dividiert. Die Beobachtung lautet also: Multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch, der kleiner als 1 ist, ist das Ergebnis kleiner als die Ausgangszahl.

Für die Division von ganzen Zahlen durch Brüche müssen wir einen neuen Begriff einführen, den Kehrwert. Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, wenn man Zähler und Nenner miteinander vertauscht.

Also: Der Kehrwert von zwei Drittel ist 3 Halbe. Der Kehrwert von ein Viertel ist 4 durch 1, also vier. Ist der Nenner eine Eins, kann man sich den Bruchstrich und den Nenner sparen.

Zurück zur Pizza. Lisa will beide Pizzen erstmal in Viertelstücke teilen. Wie viele Pizzastücke erhält sie? Die Rechnung lautet also 2 geteilt durch ein Viertel. Wie man leicht sehen kann, muss das Ergebnis 8 lauten. Denn es passen 8 Viertelstücke in die zwei Pizzen. Was ist passiert? Offensichtlich wurde die 2 mit dem Kehrwert von ein Viertel -also 4- multipliziert. 2 mal 4 sind 8.

Hier die zweite Merkregel: Man dividiert eine ganze Zahl durch einen Bruch, indem man die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert.

Nochmal in einem Beispiel ganz langsam: Was ergibt 4 geteilt durch 2 Drittel. Laut Merkregel 2 schreiben wir 4 - dann mal, und dann den Kehrwert. Der Kehrwert von zwei Drittel ist drei Halbe. Also 4 mal 3 Halbe. Jetzt haben wir eine Multiplikation - da verwenden wir einfach Merkregel 1. Also 4 mal 3 ergibt 12, der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis lautet: 12 Halbe. 12 geteilt durch 2 ist 6.

Wir halten fest, was wir gelernt haben: Man multipliziert eine ganze Zahl mit einem Bruch, indem man den Zähler des Bruchs mit der ganzen Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt. Multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch, der kleiner als 1 ist, ist das Ergebnis kleiner als die Ausgangszahl. Man dividiert eine ganze Zahl durch einen Bruch, indem man die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert.

Und was ist mit Tim und Lisa? Die haben beschlossen, dass sie jeweils etwa zwei Drittel einer Pizza werden essen können. Wieviele Leute können zwei Drittel von 2 Pizzen essen? Also 2 geteilt durch zwei Drittel.

Merkregel 2 macht daraus 2 mal 3 Halbe. Nach Merkregel 1 erhalten wir sechs Halbe, denn 2 mal drei ist 6 und der Nenner bleibt unverändert. 6 Halbe sind nichts anderes als 3 Ganze. In 2 Pizzen stecken also drei Zweidrittelstücke. Das passt gut, denn hier kommt Tims kleiner Bruder um die Ecke. Und der ist auch hungrig. Jetzt kann jeder von den dreien jeweils zwei Drittel Pizza essen. Guten Appetit!

50 Kommentare

50 Kommentare
  1. Echt Gut Erklärt 👍🏼
    Hat mir sehr geholfen

    Von Luna , vor 9 Monaten
  2. Team Digital ist besser.

    Von Eric Z., vor 10 Monaten
  3. Alles super, habe sehr viel verstanden. Hoffe es hilft für die Mathearbeit 😬👍🏼

    Von Saskiagoerge, vor 10 Monaten
  4. Deutschland gut, alles gut

    Von Japdr, vor 11 Monaten
  5. echt krasses Video hat mir gar nichts gebracht leider

    Von Benjaminbijan73, vor 11 Monaten
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Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Multiplikation und Division von ganzen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Merkregeln.

    Tipps

    Zweimal drei Halbe sind das Gleiche wie drei Halbe plus drei Halbe:

    $2\cdot \frac32=\frac32+\frac32=\frac62=3$.

    Wenn man zum Beispiel drei Pizzen durch drei dividiert, also mit $\frac13$ multipliziert, erhält man sicher weniger als drei Pizzen.

    Lösung

    Wie werden ganze Zahlen mit Brüchen multipliziert?

    Man multipliziert eine ganze Zahl mit einem Bruch, indem man den Zähler des Bruchs mit der ganzen Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt.

    Was passiert, wenn man ganze Zahlen mit Brüchen kleiner als $1$ multipliziert?

    Multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch, der kleiner als $1$ ist, ist das Ergebnis kleiner als die Ausgangszahl.

    Wie kann man eine ganze Zahl durch einen Bruch dividieren?

    Man dividiert eine ganze Zahl durch einen Bruch, indem man die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

  • Berechne das jeweilige Ergebnis.

    Tipps

    Verwende die Merkregel für das Multiplizieren von ganzen Zahlen mit Brüchen: Der Nenner wird mit der ganzen Zahl multipliziert und der Nenner bleibt unverändert.

    Wird eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert, der kleiner ist als $1$, so bleibt das Ergebnis kleiner als die Ausgangszahl.

    Eine ganze Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man die Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

    Es ist zum Beispiel $3:\frac12=3\cdot \frac21=6$.

    Lösung

    Die Aufgabe $\frac38\cdot 2$ entspricht der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch. Dabei wird der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert und der Nenner bleibt unverändert:

    $\frac38\cdot 2=\frac{3\cdot 2}8=\frac68$.

    Da die ganze Zahl $2$ mit einem Bruch $\frac38 <1$ multipliziert wird, ist das Ergebnis kleiner als $2$:

    $\frac 38\cdot 2=\frac68<2$.

    Wenn man die ganze Zahl $4$ durch den Bruch $\frac23$ dividieren soll, kann man auch mit dem Kehrwert $\frac32$ multiplizieren und erhält

    $4:\frac23=4\cdot \frac32=\frac{12}2=6$.

  • Erkläre die Division durch einen Bruch.

    Tipps

    Eine ganze Zahl wird durch einen Bruch geteilt, indem man die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

    Eine ganze Zahl wird mit einem Bruch multipliziert, indem man den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert und den Nenner beibehält.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wird jeweils eine ganze Zahl durch einen Bruch geteilt, indem man die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Dabei wird der Zähler des Kehrwertes mit der ganzen Zahl multipliziert und der Nenner beibehalten.

    • $5:\frac27=5\cdot \frac 72=\frac{35}2=17,5$
    • $3:\frac34=3\cdot \frac43=4$
    • $2:\frac53=2\cdot \frac35=\frac65=1,2$
    • $6:\frac35=6\cdot \frac53=10$

  • Berechne das Ergebnis der Aufgabe.

    Tipps

    Eine ganze Zahl wird mit einem Bruch multipliziert, indem man den Zähler des Bruches mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruchs bleibt dabei unverändert.

    Das Ergebnis der Multiplikation kann zu einer ganzen Zahl gekürzt werden.

    Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

    Lösung

    Bei der obigen Aufgabe $6\cdot \frac23 :\frac 47$ wird zunächst das Produkt

    $6\cdot \frac23$

    berechnet. Hierfür wird der Zähler des Bruches mit der ganzen Zahl multipliziert und dann gekürzt zu:

    $\frac{12}3=4$.

    Diese Zahl wird durch den Bruch $\frac47$ dividiert, indem mit dessen Kehrwert multipliziert wird:

    $4:\frac47=4\cdot \frac74=\frac{28}4=7$.

    Dies ist das Ergebnis der obigen Rechenaufgabe.

  • Beschreibe, was der Kehrwert eines Bruches ist.

    Tipps

    Der Kehrwert von $\frac45$ ist zum Beispiel $\frac54$.

    Wenn im Nenner die $1$ steht, kann diese weggelassen werden.

    Lösung

    Der Kehrwert eines Bruches entsteht, wenn man Zähler und Nenner eines Bruches vertauscht.

    So ist zum Beispiel der Kehrwert von $\frac23$ gleich $\frac32$.

    Der Kehrwert von $\frac14$ ist gleich $\frac41=4$. Wenn im Nenner eine $1$ steht, kann man diese weglassen.

  • Ermittle das Ergebnis der Rechnung.

    Tipps

    Beachte, dass von links nach rechts gerechnet wird.

    Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

    Zwei Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden.

    Lösung

    Es soll die folgende Aufgabe berechnet werden: $4:\frac34\cdot \frac98$.

    Wenn man die ganze Zahl $4$ durch den Bruch $\frac34$ dividieren muss, kann man mit dem Kehrwert dieses Bruches multiplizieren:

    $4\cdot \frac43=\frac{16}3$.

    Nun kann man mit dem verbleibenden Bruch $\frac 98$ multiplizieren, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert:

    $\frac{16}3\cdot \frac89=\frac{16\cdot 9}{3\cdot 8}$.

    Durch Kürzen gelangt man zu dem Ergebnis

    $\frac{2\cdot 3}1=6$.

    Man hätte auch $4$ mit dem Produkt des Kehrwertes von $\frac34$ sowie $\frac98$

    $\frac43\cdot \frac98=\frac32$

    multiplizieren können. Dieser Bruch ist größer als $1$ und somit ist das Ergebnis der Multiplikation dieses Bruches mit $4$ auch größer als $4$.

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