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Minimum, Maximum, Spannweite und Median 10:23 min

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Transkript Minimum, Maximum, Spannweite und Median

Herzlich willkommen zu diesem Statistik-Video. Es heißt: „Grundlagen der Statistik - Minimum, Maximum, Spannweite, Median‟. Du kannst bereits mit großen Zahlen rechnen und sie der Größe nach ordnen. Nachher kannst du mit einigen Begriffen der Statistik arbeiten und ihre Bedeutung erklären. Der Film besteht aus zwei Abschnitten. Erstens: Ich erkläre die Begriffe. Und zweitens: Wir üben an Beispielen. Erstens: Ich erkläre die Begriffe. Schauen wir uns einmal die Noten in Chemie von einigen Schülern an. Fidibus hat die Noten eins, zwei, zwei, drei, vier, fünf, fünf. Das Minimum ist die kleinste Zahl, also die Eins. Das Maximum ist die größte Zahl, hier haben wir zwei davon, wir nehmen eine Fünf. Maximum minus Minimum ergibt die Spannweite: 5-1=4. Vier ist somit die Spannweite. Die drei ist der mittlere Zahlenwert. Diesen bezeichnet man als Median. Er hat auch den Namen „Zentralwert“. Welche Zensuren hat Lukus? Zwei, zwei, drei, vier, vier, fünf. Das Minimum des Datensatzes ist zwei, das Maximum ist fünf. Der Median ist der mittlere Wert. Aber welchen nehmen wir? Wir haben zwei davon. In einem solchen Fall bilden wir die Summe der beiden Werte. Wir teilen sie durch zwei, das ist der Mittelwert von beiden, Genauer gesprochen das „arithmetische Mittel“. Es beträgt 3,5. Tragen wir nun den Median ein, 3,5. Das Minimum ist die Zwei, das Maximum ist die Fünf. Das ist die Spannweite. Welche Zensuren hat Ira? Zwei und zwei und zwei, aber da werd' ich doch, zwei und zwei, na hol's mich doch, zwei und zwei, alles nur Zweien. Wie sollen wir hier vorgehen? Ganz normal, der Median ist der mittlere Wert, also zwei. Das Minimum ist zwei und das Maximum ist zwei. Also erhalten wir 2-2=0, das ist die Spannweite. Was bedeuten nun eigentlich Median und Spannweite? Schauen wir uns den Median an. Der Wert von Ira ist geringer als der von Fidibus und der von Fidibus kleiner als der von Lukus. Daraus folgt: Ira lernt am besten. Bei der Spannweite hat Fidibus den größten Wert, dann kommt Lukus und Ira ist auf der dritten Stelle. Daraus folgt: Die Streuung der Zensuren ist bei Fidibus am größten, das heißt manchmal lernt er gut und manchmal schlecht. Zweitens: Wir üben an Beispielen. Erinnern wir uns an Olympia 2012, der 200-Meter-Lauf der Frauen. Die Zeiten gebe ich in Sekunden an. Die Siegerin lief 21,88, die anderen Läuferinnen entsprechend langsamer. Die letzte Sprinterin hatte eine Zeit von 22,87. Den Median muss ich wieder aus den beiden mittleren Werten bestimmen. Ich berechne wieder das arithmetische Mittel. Ich trage ein: 22,385. Aus Minimum und Maximum bestimme ich nun die Spannweite. 0,99 ist die Spannweite. Das Minimum ist viel größer als die Spannweite, das bedeutet die Streuung der Daten ist nur gering. Interessant ist es auch, aus Minimum und Maximum das arithmetische Mittel zu bestimmen. Wir erhalten 22,38. Dieser Wert stimmt fast mit dem Median überein. Der Median liegt fast genau in der Mitte, die Laufzeiten sind somit gleichmäßig verteilt. Und wieder die Olympiade 2012, diesmal der 100-Meter-Lauf der Männer. Der Sieger lief 9,63, die anderen Läufer entsprechend langsamer. Der letzte Läufer hatte eine Zeit von 11,99. Wir bestimmen den Median aus den beiden mittleren Werten. Das ist einfach. Das arithmetische Mittel ist 9,84. Aus Minimum und Maximum berechnen wir die Spannweite. 2,36. Das Minimum ist zwar größer als die Spannweite, aber nicht so groß wie im vorigen Beispiel. Wir haben einen Ausreißer bei 11,99 und wieder berechnen wir aus Minimum und Maximum das arithmetische Mittel. 10,81. Der Median ist deutlich kleiner als das arithmetische Mittel aus Minimum und Maximum. Der Median liegt weit ab von der Mitte. Das ist das Ergebnis des Ausreißers. Das letzte Beispiel. Wie schwer sind Metalle? Wir vergleichen das, indem wir die Anzahl an Kilogramm in einem Kubikmeter angeben. Das leichteste Metall hat einen Wert von 500, die übrigen sind entsprechend schwerer. Der höchste Wert ist 22600. Wer es wissen möchte: Das leichteste Metall, das es gibt, ist Lithium. Das zweitschwerste, was es gibt, ist Iridium. Der Median ist 8900, der mittlere Wert. Minimum und Maximum haben wir bereits genannt. Daraus können wir die Spannweite berechnen. Sie beträgt 22100. Das Minimum ist hier viel kleiner als die Spannweite, wir haben hier eine große Streuung der Daten. Wir wollen wieder das arithmetische Mittel aus Maximum und Minimum berechnen. 11550, dieser Wert unterscheidet sich deutlich vom Median. Folglich liegt der Median nicht genau zwischen Minimum und Maximum, denn 8900 ist kleiner als 11550. Folglich sind die meisten Metalle nicht sehr schwer und der Witz ist noch daran, das könnt ihr mir glauben, das stimmt sogar! Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg, tschüss!

15 Kommentare
  1. Gutes video hat mir sehr geholfen dabei hab ich das viedeo nicht ganz angeguckt da das video so verständlich war das ich es sofort kapiert hatte

    Von Henry G., vor 6 Monaten
  2. Sehr gut verständlich

    Von Tragewicht, vor 6 Monaten
  3. Mein Lehrer hat gesagt das es Minimum,Maximum,Spannweite und auch sogar noch den Modalwert den sie garnicht genannt haben gibt. Von Median hat er garnichts gesagt

    Von Aidan G., vor 7 Monaten
  4. 👍

    Von Paul H., vor 8 Monaten
  5. sehr nachvollziehbar erklärt, vielen Dank!

    Von B J Niesel, vor fast 2 Jahren
  1. super mach weiter so::::)))))

    Von Lionel G., vor fast 2 Jahren
  2. cool

    Von Jens B., vor etwa 2 Jahren
  3. Echt sehr gutes Video! War sehr hilfreich! :)

    Von Deleted User 405612, vor etwa 3 Jahren
  4. tolles video hat mir sehr geholfen. :D

    Von Fred D., vor mehr als 3 Jahren
  5. Echt hilfreiches Video, toll!!!

    Von Sdagc, vor mehr als 3 Jahren
  6. Sehr gut erklärtes Video, danke! :)

    Von Schoki 1, vor mehr als 4 Jahren
  7. danke
    war sehr gut

    Von Aatefi616, vor mehr als 4 Jahren
  8. wirklich sehr gut erklärt
    Vielen Dank

    Von Lars S., vor etwa 5 Jahren
  9. Dankeschön.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 6 Jahren
  10. Versprecher, richtig: Iridium ist das schwerste Metall. Für die ganz Genauen: Eigentlich ist es Osmium.

    Von André Otto, vor mehr als 6 Jahren
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Minimum, Maximum, Spannweite und Median Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Minimum, Maximum, Spannweite und Median kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärungen der Begriffe.

    Tipps

    Das Minimum bei Fidibus' Noten ist die $1$ und das Maximum die $5$.

    Die Spannweite ist positiv.

    Der Median wird auch als Zentralwert bezeichnet.

    Bei Fidibus ist die $3$ der Median.

    Lösung

    Am Beispiel von Fidibus' Schulnoten kannst du die folgenden Begriffe lernen:

    • Das Minimum ist die kleinste Zahl. Hier ist das die $1$.
    • Das Maximum ist die größte Zahl. Hier kommt zweimal die $5$ als größte Zahl vor. Das Maximum ist die $5$.
    • Die Spannweite wird berechnet als Differenz von Maximum und Minimum. Du erhältst hier $5-1=4$. Die Spannweite gibt an, wie sehr die Noten bei Fidibus streuen.
    • Der Median ist der mittlere Zahlenwert. Er liegt in der Mitte der geordneten Daten. Wenn die Anzahl der Daten gerade ist, musst du das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte bestimmen.
  • Beschreibe, wie das arithmetische Mittel zweier Zahlen bestimmt wird.

    Tipps

    Das arithmetische Mittel zweier Zahlen liegt genau in der Mitte dieser Zahlen.

    Das arithmetische Mittel der Zahlen $4$ und $7$ wird wie folgt berechnet:

    $\frac{4+7}2=\frac{11}2=5,5$.

    Lösung

    Für das arithmetische Mittel zweier Zahlen addierst du diese Zahlen und dividierst die Summe durch $2$.

    Das kannst du hier einmal an einem Beispiel sehen: Das arithmetische Mittel von $3$ und $4$ ist $\frac{3+4}2=\frac72=3,5$.

    Wie sieht das eigentlich aus, wenn die beiden Zahlen übereinstimmen? Das arithmetische Mittel von $5$ und $5$ ist $\frac{5+5}2=\frac{10}2=5$. Das arithmetische Mittel zweier gleicher Zahlen ist also die Zahl selbst.

  • Bestimme Minimum, Maximum, Spannweite und Median von Lukus' Schulnoten.

    Tipps

    Das Minimum ist der kleinste und das Maximum der größte Wert.

    Verwende:

    Spannweite $=$ Maximum $-$ Minimum.

    • Ist die Anzahl der Daten ungerade, dann liegt der Median genau in der Mitte der geordneten Daten.
    • Ist die Anzahl gerade, dann liegt der Median in der Mitte der beiden mittleren Werte der geordneten Daten.

    Schau dir ein Beispiel für einen Datensatz mit einer geraden Anzahl an Daten an: $2~4~4~5~6~7$

    • Die beiden mittleren Werte sind $4$ und $5$.
    • Der Median ist $\frac{4+5}2=\frac92=4,5$.
    Lösung

    Hier siehst du die Schulnoten von Lukus.

    • Das Minimum ist die kleinste Zahl, also die $2$.
    • Das Maximum ist die größte Zahl, also die $5$.
    • Die Spannweite ist die Differenz von Maximum und Minimum. Also erhältst du für Lukus' Schulnoten eine Spannweite von $5-2=3$.
    • Da Lukus $sechs$ Noten hat, also eine gerade Anzahl, musst du den Median als arithmetisches Mittel der beiden mittleren Noten der geordneten Daten, also $3$ und $4$, berechnen. Hierfür addierst du die beiden Noten und dividierst die Summe durch $2$. So erhältst du $\frac{3+4}2=\frac72=3,5$.
  • Leite die Spannweite und den Median her.

    Tipps

    Schreibe alle Daten auf. Notiere dabei mehrfach auftretende Werte auch ebenso oft.

    Du musst die Daten dann sortieren.

    Der kleinste Wert ist $225$.

    Lösung

    Die Spannweite ist ein Streuungsparameter. Sie lässt Rückschlüsse darüber zu, wie stark die Daten streuen.

    Der Median ist ein Lageparameter. Er gibt an, in welchem Bereich sich die Daten bewegen.

    Um diese beiden Größen zu bestimmen, musst du zunächst die Daten komplett aufschreiben und sortieren. Die sortierten Daten kannst du der Abbildung entnehmen.

    • Das Minimum ist $225$ und das Maximum ist $272$.
    • So erhältst du die Spannweite $272-225=47$.
    • Das bedeutet, dass die Streuung der Daten $47$ Sekunden beträgt. Dieser Wert entspricht einer recht großen Streuung.
    • Der Median ist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte $252$ sowie $252$. Da die Werte übereinstimmen, ist der Median ebenfalls $252$.
  • Berechne jeweils das arithmetische Mittel zweier Zahlen.

    Tipps

    Für das arithmetische Mittel addierst du die beiden Zahlen und dividierst die Summe durch $2$.

    Schau dir das folgende Beispiel an:

    Das arithmetische Mittel von $17$ und $23$ ist $\frac{17+23}2=\frac{40}2=20$.

    Das arithmetische Mittel zweier identischer Zahlen ist diese Zahl selbst.

    Lösung

    Manchmal musst du den Median eines Datensatzes als arithmetisches Mittel zweier Datenwerte ermitteln. Das ist dann der Fall, wenn die Anzahl der Daten gerade ist.

    Das arithmetische Mittel ist die Hälfte der Summe der beiden Zahlen:

    • $\frac{12+16}2=\frac{28}2=14$
    • $\frac{11+22}2=\frac{33}2=16,5$
    • $\frac{13+25}2=\frac{38}2=19$
    • $\frac{21+21}2=\frac{42}2=21$
  • Ermittle Minimum, Maximum, Median und Spannweite.

    Tipps

    Subtrahiere von dem Maximum das Minimum. So erhältst du die Spannweite.

    Es gibt insgesamt $12$ Gäste auf der Feier. Du musst für den Median also das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte bestimmen.

    Die beiden mittleren Werte sind $27$ und $32$.

    Das arithmetische Mittel zweier Zahlen ist die Hälfte der Summe dieser Zahlen.

    Lösung

    Da Paul die Altersangaben der Gäste bereits sortiert hat, kannst du Minimum und Maximum direkt ablesen:

    • Minimum: $14$
    • Maximum: $72$
    Bildest du die Differenz dieser beiden Werte, so erhältst du eine Spannweite von $72-14=58$. Da diese recht groß ist, kannst du feststellen, dass die Altersangaben der Gäste auf der Familienfeier stark streuen.

    Bleibt noch der Median: Da die Anzahl der Gäste, und damit der Daten, gerade ist, musst du das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte bilden. Diese sind hier $27$ und $32$.

    So erhältst du den Median $\frac{27+32}2=\frac{59}2=29,5$.