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Kettenregel – Vergiftetes Wachstum

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Martin Wabnik
Kettenregel – Vergiftetes Wachstum
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Kettenregel – Vergiftetes Wachstum

Eine Funktion B(t) beschreibt ein vergiftetes Wachstum, wenn B(t) eine Differentialgleichung der Form B'(t)=(g-st)B(t) erfüllt. Bei dieser Aufgabe ist eine Funktionenschar der Form B(t)=B(0)egt-0,5st² gegeben. Die Funktionen dieser Funktionenschar hängen von B(0), g und s ab. g bezeichnet dabei die Geburtenrate und s bezeichnet die Sterberate vor der Vergiftung. B(0) ist der Anfangswert. Es ist zu zeigen, dass jeder Funktion dieser Funktionenschar eine Differentialgleichung der Form B'(t)=(g-st)B(t) erfüllt. Bildet man die Ableitung beider Seiten der Gleichung B(t)=B(0)egt-0,5st², erhält man eine Differentialgleichung der angegebenen Form. Damit ist gezeigt, dass jede Funktion dieser Funktionenschar ein vergiftetes Wachstum beschreibt. Im Film wird noch besprochen, wie du diese Informationen sinnvoll einordnen kannst.

Transkript Kettenregel – Vergiftetes Wachstum

Hallo, wir machen vergiftetes Wachstum und es geht darum hier zu zeigen, dass B(t), was so definiert ist, ein vergiftetes Wachstum beschreibt. Ich erklär ganz kurz, wie es geht. Für die Leute von der ganz schnellen Truppe: Um zu zeigen, dass B(t) ein vergiftetes Wachstum beschreibt, müssen wir zeigen, dass B(t) diese Differenzialgleichung erfüllt und das macht man, indem man das ganze hier ableitet. Auf der Seite wird dann das herauskommen. Damit ist die Aufgabe erledigt. So, nun die ausführlichere Erklärung: Wir haben B(t),  sieht aus wie eine Funktion, ist aber keine, denn es ist eine Funktionenschar. "t" ist die Funktionsvariable, B(0) ist der Anfangswert, den wir hier nicht kennen. Von "0", da noch keine Zeit vergangen ist, also am Anfang der Messung, am Anfang dieses Prozesses haben wir einen Funktionswert, den kennen wir noch nicht und deshalb ist das hier ein Parameter. B(t) hängt also von diesem Parameter ab. "g" und "s" sind auch noch Variablen, Parameter, für die wir hier Zahlen Einsetzen können. Wenn wir hier für B(0), "g" und "s" jeweils eine Zahl einsetzen, bekommen wir eine konkrete Funktion. Deshalb, wie das hier definiert ist, ist das ganze eine Funktionenschar. "g" bedeutet Geburtenrate. Warum diese Geburtenrate ausgerechnet hier steht, will ich hier gar nicht weiter erklären, es soll hier nur um die Aufgabe gehen. Es gibt Vieles zu verstehen im Zusammenhang mit vergiftetem Wachstum, soll aber nicht Thema dieses Films sein. "s" ist die Sterberate. Da sind Schulbücher manchmal etwas ungenau in der Bezeichnung, da wird auch schon mal gesagt, dass bei vergiftetem Wachstum die Sterberate zunimmt, wir sagen also: "s" ist die Sterberate, bevor vergiftet wird. "s" ist nur eine einzige Zahl, die ändert sich nicht und heißt hier Sterberate. Dann, wenn vergiftet wird, erhöht sich natürlich das "gestorben werden" in diesem Prozess, d. h. die Sterberate steigt an und oft sagt man dann, dass s×t die Sterberate ist. Wie das genau zusammenhängt, wie gesagt, ist wo anders noch ein Thema. Dann habe ich am Anfang schon gesagt, wenn wir zeigen sollen, dass B(t), oder jede Funktion dieser Funktionenschar B(t) ein vergiftetes Wachstum beschreibt, müssen wir zeigen, dass jede Funktion diese Differenzialgleichung erfüllt. Da werden viele sagen: "Moment, das hatten wir noch gar nicht, Differenzialgleichungen!" Ja, das ist richtig, machst du auch nicht in der Schule, da kannst du zur Universität gehen, da gibt es dicke Bücher über Differenzialgleichungen, da kannst du das lesen, macht viel Spaß, aber in der Schule wird das nicht gemacht, das Thema ist auch wirklich zu umfangreich dafür. Hier ist das allerdings so gemeint, dass du einfach nur einen Eindruck bekommen sollst von Differenzialgleichungen und du musst jetzt nicht die ganze Differenzialgleichungstheorie verstanden haben, um diese Aufgabe zu bearbeiten. Es ist nur ein kleiner Eindruck, ein eher winziger Eindruck, der hier von dieser ganzen Theorie gezeigt wird, also mehr ein Funken nur, aber dieser Funke springt dann auf dich über und entfacht das große Feuer der Differenzialgleichungstheorie in deinem Herzen. Also das ist hier zumindest gemeint, pädagogisch didaktisch. Das ist eine Differenzialgleichung! Was ist eine Differenzialgleichung? Ja, das ist eine Gleichung, in der eine Funktion und die Ableitung der Funktion vorkommt, oder auch die zweite Ableitung oder die dritte Ableitung, oder auch nur die erste Ableitung und die zweite Ableitung. Ich will das gar nicht hier im Großen und Ganzen und Allgemeinen definieren, was eine Differenzialgleichung ist, wir können aber sagen, wenn eine Funktion drin vorkommt und deren Ableitung drin vorkommt, dann handelt es sich um eine Differenzialgleichung. Eine Besonderheit bei den Differenzialgleichungen ist, im Vergleich zu den Gleichungen, die du bisher kanntest, dass eine Lösung einer solchen Gleichung nicht eine Zahl ist, die man für die Variable einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird, sondern es ist eine Funktion, die man hier z. B. für B(t) einsetzen kann, damit die Gleichung richtig wird. Meistens sind es mehrere Funktionen, die man einsetzen kann, möchte ich hier aber auch nicht weiter erläutern, wie das zustande kommt, dass es oft mehrere sind. Für uns reicht es hier zu sehen, dass wir hier eine Gleichung vor uns haben, in der die Funktion B(t), bzw. die Funktionenschar B(t) vorkommt und die Ableitung der Funktionenschar. Wir müssen jetzt zeigen, dass diese Funktionenschar diese Gleichung erfüllt, denn eine Funktion B(t) beschreibt vergiftetes Wachstum, wenn diese Funktion diese Differenzialgleichung erfüllt. Also müssen wir zeigen, dass Funktionen dieser Funktionenschar diese Differenzialgleichung erfüllen. Das macht man durch Umformen der Gleichung, dieser Gleichung hier. Umformen heißt im Zusammenhang mit Differenzialgleichungen oft ableiten bzw. integrieren. Hier müssen wir ableiten. Wenn man B(t) ableitet, entsteht B'(t) und dann sehen wir hier, wir haben hier einen Faktor stehen, B(0) ist einfach nur eine Zahl. Wir haben eine e-Funktion, das ist eine verkettete Funktion und deshalb können wir hier erst mal die Kettenregel anwenden. Wir brauchen also die Ableitung der inneren Funktion. Da haben wir zunächst g×t abzuleiten. "g" ist ja ein Parameter, also eine konstante Zahl, hier werden wir uns eine konkrete Funktion vorstellen und abgeleitet ist das dann einfach "g". Dann haben wir noch -0,5×s×t². Die Funktionsvariable ist ja hier "t", wir müssen also dann einfach 0,5×s×2×t hinschreiben und weil 0,5×2=1 ist, haben wir hier einfach nur -s×t. Ja, das habe ich hier mit der Potenzregel gemacht, glaube ich muss ich hier nicht weiter erklären. Dann brauchen wir noch die äußere Funktion. Nach der Kettenregel, nicht wahr? Dann haben wir hier B(0), die Konstante und e hoch, Exponent bleibt ja beim Exponenten gleich, also kann man hier schreiben eg×t-0,5×s×t². So, jetzt kann man also bemerken, dass B(0)×eg×t-0,5×s×t²=B(t) ist. Das steht ja hier. Das ist g-s×t, das steht da und deshalb sind wir jetzt fertig. Ja, man brauchte nur ableiten, um zu zeigen, dass jede Funktion dieser Funktionenschar diese Differenzialgleichung erfüllt. Ja das war es dazu, viel Spaß damit! Tschüss!  

Kettenregel – Vergiftetes Wachstum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kettenregel – Vergiftetes Wachstum kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bedeutung der einzelnen Terme.

    Tipps

    Bei komplizierteren Funktionen ergibt es manchmal Sinn, die Parameter gemäß des Anfangsbuchstabens ihrer Bedeutung zu benennen. Dies gilt auch für die Parameter $g$ und $s$.

    $t$ steht häufig für die Zeit. Was bedeutet dann $t=0$?

    Lösung

    Die Funktionsschar $B(t)$ stellt vergiftetes Wachstum dar.

    Es handelt sich hier um eine Schar, da mehrere Werte nicht bekannt sind und je nach Aufgabenstellung eingesetzt werden können. Einen solchen Wert nennt man Parameter im Gegensatz zu der Funktionsvariablen $t$, welche für die vergangene Zeit steht.

    Somit ist dann $B(0)$ der Bestand zum Zeitpunkt $0$, also der Anfangswert.

    Die beiden übrigen Parameter stehen für

    • $g$ die Geburtsrate und
    • $s$ die Sterberate.

  • Bestimme die Ableitung der Funktion $B(t)=B(0)\cdot e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2}$.

    Tipps

    Die innere Funktion ist $g\cdot t-0,5s\cdot t^2$.

    Eine Funktion, welche die Differentialgleichung $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$ erfüllt, stellt vergiftetes Wachstum dar.

    Die Ableitung von $e^{f(x)}$ ist $e^{f(x)}\cdot f'(x)$.

    Lösung

    Eine Funktion $B(t)$, welche die Differentialgleichung

    $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$

    erfüllt, beschreibt vergiftetes Wachstum.

    Wenn nun die Funktion $B(t)$ (genauer: die Funktionenschar) bereits bekannt ist, muss man diese ableiten und schauen, ob die obige Gleichung erfüllt ist. Hierfür wird die Kettenregel verwendet:

    $\begin{align*} B'(t)&=B(0)\cdot \left(e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2}\right)'\\ &=B(0)\cdot e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2}\cdot (g-s\cdot t)\\ &=(g-s\cdot t)\cdot B(0)\cdot e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2} \end{align*}$

    Die letzten beiden Faktoren sind gerade $B(t)$, somit gilt

    $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$.

  • Wende die Kettenregel an, um die Funktion $f(x)=e^{2x^2+1}$ abzuleiten.

    Tipps

    Die Kettenregel ist hier in ihrer allgemeinen Form abgebildet.

    In Worten formuliert lautet die Kettenregel: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Kettenregel.

    Die innere Funktion ist $y=x^2+2$ und die äußere $y^4$.

    Lösung

    Man verwendet die Kettenregel zum Ableiten von verketteten Funktionen. Eine solche kann im Allgemeinen so dargestellt werden:

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

    Um diese Regel anzuwenden, muss man sich zunächst klarmachen, welche der Funktionen die äußere und welche die innere ist.

    Die innere Funktion ist $2x^2+1$ und deren Ableitung $4x$.

    Wie kann man die innere Funktion erkennen? Die innere Funktion einer Funktionskette ist jene, welche beim Berechnen eines konkreten Funktionswertes zuerst berücksichtigt wird. In einer komplizierten Funktion können natürlich auch mehrere Ketten auftreten.

    Da die Ableitung von $e^{y}$ gerade $e^{y}$ selbst ist, erhält man insgesamt die Ableitung

    $f'(x)=4x\cdot e^{2x^2+2}$.

  • Ermittle den Funktionsterm $B(t)$, welcher die Differentialgleichung $B'(t)=(13-12t)\cdot B(t)$ erfüllt.

    Tipps

    Du musst die jeweilige Funktion ableiten und prüfen, ob sie die Differentialgleichung erfüllt.

    Beachte, dass der Faktor $B(0)$ nach der Faktorregel beim Ableiten immer erhalten bleibt.

    In diesem Beispiel ist $g=13$ und $s=12$.

    Lösung

    Wenn man von dem Beispiel des vergifteten Wachstums

    $B(t)=B(0)\cdot e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2}$

    ausgeht, welche die Differentialgleichung

    $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$

    erfüllt, kann man hier erkennen, dass

    • $g=13$ und
    • $s=12$ ist.
    Diese beiden Parameter können in der obigen Gleichung für $B(t)$ eingesetzt werden:

    $B(t)=B(0)\cdot e^{13t-0,5\cdot12t^2}=B(0)\cdot e^{13t-6t^2}$

    Die Reihenfolge im Exponenten kann auch vertauscht werden

    $B(t)=B(0)\cdot e^{-6t^2+13t}$

    Für $B(0)$ können verschiedene Werte eingesetzt werden, für jeden dieser Werte wird die Differentialgleichung erfüllt, zum Beispiel $B(0)=42$ oder $B(0)=13$.

  • Gib an, wie man nachweisen kann, dass $B(t)$ die Differentialgleichung $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$ erfüllt.

    Tipps

    Differenzieren und Ableiten sind zwei Begriffe für denselben Vorgang.

    $B(t)$ ist gegeben und es soll gezeigt werden, dass $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$ gilt.

    $f'(t)$ ist die Ableitung von $f(t)$

    Lösung

    Dies ist eine Differentialgleichung. Die Lösung einer solchen Gleichung ist eine Funktion oder eine Funktionsschar.

    Die Lösung einer solchen Differentialgleichung ist recht kompliziert.

    Wenn jedoch eine Funktion $B(t)$ vorgegeben ist und nachgewiesen werden soll, dass diese Funktion diese Differentialgleichung erfüllt, so muss man die gegebene Funktion $B(t)$ differenzieren. Differenzieren bedeutet Ableiten.

  • Untersuche, für welches $t$ der höchste Wert erreicht wird.

    Tipps

    Allgemein ist

    $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$,

    mit der Geburtsrate $g$ und der Sterberate $s$.

    Diese Gleichung wird gelöst durch

    $B(t)=B(0)\cdot e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2}$.

    Um ein Extremum zu bestimmen, muss man

    • notwendig $B'(t)=0$ lösen und
    • zusätzlich hinreichend die so erhaltene(n) Lösung(en) in die zweite Ableitung einsetzen.
    Auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden.

    Lösung

    Allgemein wird $B'(t)=(g-s\cdot t)\cdot B(t)$ durch $B(t)=B(0)\cdot e^{g\cdot t-0,5s\cdot t^2}$ gelöst.

    Hier ist

    • $g=5$ und
    • $s=2$
    Zusätzlich ist der Bestand für $t=0$, also $B(0)=20$ bekannt.

    Damit kann die Funktion $B(t)=20\cdot e^{5 t- t^2}$ angegeben werden.

    Um die Extrema dieser Funktion zu bestimmen, muss die Gleichung $B'(t)=0$ gelöst werden.

    $\begin{align*} (5-2t)\cdot 20\cdot e^{5 t- t^2}&=0&|&:20;~~:e^{5 t- t^2}(\neq 0)\\ 5-2t&=0&|&+2t\\ 5&=2t&|&:2\\ 2,5&=t \end{align*}$

    Die Funktion $B(t)$ besitzt ein Maximum; auf den Nachweis des hinreichenden Kriteriums darf hier verzichtet werden.

    Um den Funktionswert zu erhalten, muss $t=2,5$ in $B(t)$ eingesetzt werden:

    $B(2,5)=20\cdot e^{5 \cdot 2,5- 2,5^2}=10360,256...\approx 10360,3$

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