Kettenregel – Einführung

Kettenregel – Einführung Übung

• Gib die Kettenregel zur Ableitung verketteter Funktionen an.

  Tipps

  Du musst für die Kettenregel die innere und die äußere Funktion identifizieren.

  Beispiel:

  $f(x) = e^{3x^2 - 1}$

  $f^\prime(x) = e^{3x^2 - 1} \cdot 6x$

  Lösung

  Mithilfe der Kettenregel können wir die Ableitung von verketteten Funktionen bilden.

  Eine verkettete Funktion besteht aus einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion, die auf des Ergebnis der inneren Funktion angewendet wird.

  Betrachten wir zum Beispiel die Funktion $f(x) = e^{3x^2 - 1}$:

  • Zunächst wird die Variable quadriert, mit $3$ multipliziert und $1$ subtrahiert.
  • Das Ergebnis wird dann als Exponent in die natürliche Exponentialfunktion $e^x$ eingesetzt.

  Die zuerst angewendete Funktion ist die innere Funktion $v(x) = 3x^2 - 1$. Die folgende Funktionsvorschrift $u(x) = e^x$ ist die äußere Funktion der Verkettung.

  Die Ableitung wird dann nach der Kettenregel gebildet:
  $\color{#669900}{f(x) = u(v(x)) \quad \Rightarrow \quad f^\prime(x) = u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)}$

  In Worten:
  $\color{#669900}{\text{Äußere Ableitung mal innere Ableitung}}$

  In unserem Beispiel gilt:
  $\begin{array}{lllll} u(x) &= e^x &\quad& v(x) &= 3x^2 - 1 \\ u^\prime(x) &= e^x &\quad& v^\prime(x) &= 6x \end{array}$

  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = e^{3x^2 - 1} \cdot 6x$

  Die Bezeichnungen obere und untere Funktion werden bei verketteten Funktionen nicht verwendet.

• Ermittle die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

  Tipps

  Eine verkettete Funktion besteht aus einer inneren und einer äußeren Funktion.

  Beispiel: $f(x) = (x + 4)^2$ ist eine verkettete Funktion. Sie besteht aus der inneren Funktion $v(x) = x + 4$ und aus der äußeren Funktion

  $u(x) = x^2$.

  Bei einer verketteten Funktion werden die Funktionsvorschriften der inneren und äußeren Funktion nacheinander ausgeführt. Dabei nimmt die äußere Funktion als Argument das Ergebnis der inneren Funktion.

  Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$.

  Lösung

  Um die Ableitung der Funktion $f(x) = e^{x^2 - 1}$ zu bestimmen, benötigen wir die Kettenregel.

  Wir betrachten den Funktionsterm genauer, um die innere und äußere Funktion zu identifizieren:
  Hier wird eine Zahl zuerst quadriert und um $1$ gemindert. Anschließend wird sie in die natürliche Exponentialfunktion eingesetzt. Damit definieren wir die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$:

  $u(x) = e^x$

  $v(x) = x^2 - 1$

  Wir bestimmen ihre Ableitungen:

  $u'(x) = e^x$

  $v'(x) = 2x$

  Hinweis: Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$.

  Die Formel für die Kettenregel lautet allgemein für eine Funktion $f(x) = u(v(x))$:

  $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Darin setzen wir $u, v, u'$ und $v'$ ein und erhalten:

  $f'(x) = e^{x^2 - 1} \cdot 2x = 2xe^{x^2 - 1}$

• Berechne die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

  Tipps

  Für die trigonometrischen Funktionen gilt:

  • $\left(\sin(x)\right)^\prime = \cos(x)$
  • $\left(\cos(x)\right)^\prime = -\sin(x)$

  Die allgemeine Formel der Kettenregel für eine Funktion $f(x) = u(v(x))$ lautet:

  $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Beispiel: $f(x) = \sin(x^2)$

  Die innere Funktion lautet: $v(x) = x^2$ mit der Ableitung $v'(x) = 2x$

  Die äußere Funktion lautet: $u(x) = \sin(x)$ mit der Ableitung
  $u'(x) = \cos(x)$

  Zusammengesetzt erhalten wir:

  $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$

  Lösung

  Gesucht ist die Ableitung der Funktion $f(x) = \cos(3x + 2)$. Da es sich um eine Verkettung von Funktionen handelt, benötigen wir die Kettenregel:

  $(u(v(x)))^\prime = u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)$

  Wir identifizieren zuerst die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$:

  $u(x) = \cos(x)$

  $v(x) = 3x + 2$

  Wir bestimmen ihre Ableitungen:

  $u'(x) = - \sin(x)$

  $v'(x) = 3$

  Wir setzen in die Formel der Kettenregel ein und erhalten:

  $f'(x) = -\sin(3x+2) \cdot 3 = -3\sin(3x + 2)$

• Bestimme die Ableitungen der verketteten Funktionen.

  Tipps

  Besondere Ableitungen:

  • $(\sin(x))^\prime = \cos(x)$
  • $(\cos(x))^\prime = -\sin(x)$
  • $\left(e^x\right)^\prime = e^x$
  • $(\ln(x))^\prime = \dfrac{1}{x}$

  Die Ableitung der verketteten $\ln$-Funktion bilden wir folgendermaßen:

  Für eine Funktion $g(x) = \ln(v(x))$ gilt:

  $g'(x) = \dfrac{v'(x)}{v(x)}$

  Lösung

  Wir definieren zuerst die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$, leiten diese ab und wenden dann die Kettenregel an.

  Funktion 1: $f(x) = \ln(x^2 + 1)$

  Es gilt: $u(x) = \ln(x)$ und $v(x) = x^2 + 1$ mit den Ableitungen:

  $u'(x) = \dfrac{1}{x}$

  $v'(x) = 2x$

  Zusammengesetzt erhalten wir:

  $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+1}$

  Funktion 2: $f(x) = 5e^{2x^3+1}$

  Es gilt: $u(x) = 5e^x$ und $v(x) = 2x^3 + 1$ mit den Ableitungen:

  $u'(x) = 5e^x$

  $v'(x) = 6x^2$

  Das ergibt:

  $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 5e^{2x^3 + 1} \cdot 6x^2 = 30x^2 \cdot x^{2x^3 + 1}$

  Funktion 3: $f(x) = \sin(x^2)$

  Es gilt $u(x) = \sin(x)$ und $v(x) = x^2$ mit

  $u'(x) = \cos(x)$

  $v'(x) = 2x$

  Und damit:

  $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cdot \cos(x^2)$

  Funktion 4: $f(x) = e^{\sin(x)}$

  Es gilt $u(x) = e^x$ und $v(x) = \sin(x)$ mit

  $u'(x) = e^x$

  $v'(x) = \cos(x)$

  Damit erhalten wir:

  $f'(x) =u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)$

• Benenne die innere und die äußere Funktion.

  Tipps

  Überlege, welcher Teil der Funktion zuerst ausgeführt werden muss.

  Beispiel: $f(x) = \color{cyan}{8(}\color{lightgreen}{3x + 9}\color{cyan}{)^3}$

  Hier muss zuerst das Innere der Klammer ausgewertet werden, also $3x + 9$. Anschließend wird das Ergebnis hoch $3$ genommen und mit $8$ multipliziert. Wir haben also:

  $u(x) = 8x^3$ als die äußere Funktion und

  $v(x) = 3x + 9$ als die innere Funktion.

  Lösung

  Wir überlegen uns, welcher Teil der Funktion zuerst ausgewertet werden muss.

  Funktion 1: $f(x) = \color{lightskyblue}{\sin(}\color{greenyellow}{x^2}\color{lightskyblue}{)}$

  Hier nehmen wir eine Funktion $x$ und setzen sie in die Sinus-Funktion ein, damit ist:

  $u(x) = \sin(x)$ die äußere Funktion und

  $v(x) = x^2$ die innere Funktion.

  Funktion 2: $f(x) = \color{lightskyblue}{(}\color{greenyellow}{2x - 3}\color{lightskyblue}{)^2}$

  Hier wird eine Zahl verdoppelt und um $3$ gemindert. Anschließend wird sie quadriert. Damit ergibt sich

  $u(x) = x^2$ als die äußere Funktion, da sie als Letztes ausgeführt wird und

  $v(x) = 2x - 3$ als die innere Funktion.

  Funktion 3: $f(x) = \color{lightskyblue}{5(}\color{greenyellow}{3x^2 + 1}\color{lightskyblue}{)^4}$

  Das Quadrat einer Zahl wird mit $3$ multipliziert und um $1$ erhöht. Danach wird sie hoch $4$ genommen und mit $5$ multipliziert. Also ist:

  $u(x) = 5x^4$ die äußere Funktion und

  $v(x) = 3x^2 + 1$ die innere Funktion.

  Funktion 4: $f(x) = \color{lightskyblue}{e}^\color{greenyellow}{5x^3 - 1}$

  Wir nehmen eine Zahl hoch $3$, multiplizieren sie mit $5$ und mindern sie um $1$. Anschließend setzen wir sie in die Exponentialfunktion ein. Damit erhalten wir:

  $u(x) = e^x$ als die äußere Funktion und

  $v(x) = 5x^3 - 1$ als die innere Funktion.

• Werte die Ableitungen der Funktionen an den gegebenen Stellen aus.

  Tipps

  Bestimme die Ableitung mit der Kettenregel und setze die gegebenen Werte für $x$ ein.

  Achte darauf auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden.

  Die Kettenregel für die natürliche Exponentialfunktion lautet:

  $\left(e^{f(x)}\right)' = f'(x) \cdot e^{f(x)}$

  Beispiel: Für $g(x) = e^{2x}$ lautet die Ableitung $g'(x) = 2e^{2x}$

  Konstante Summanden fallen beim Ableiten weg.

  Beispiel: Für $f(x) = x^2 + 3$ erhalten wir die Ableitung $f'(x) = 2x$

  Lösung

  Wir wenden die Formel für die Ableitung für die verkettete Funktion an.
  Kettenregel: $f(x) = u(v(x)) \quad \Rightarrow \quad f^\prime(x) = u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)$

  
  

  Wir bestimmen zunächst die Ableitung und setzen dann die gegebenen Werte für $x$ ein:

  Erste Funktion: $f(x) = \dfrac{1}{3}\ln(x^3-7)$
  $\begin{array}{lllll} u(x) &= \dfrac{1}{3}\ln(x) &\quad& v(x) &= x^3 - 7 \\ u^\prime(x) &= \dfrac{1}{3x} &\quad& v^\prime(x) &= 3x^2 \end{array}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = \dfrac{1}{3 \cdot (x^3 - 7)} \cdot 3x^2 = \dfrac{x^2}{x^3 - 7}$

  Wir erhalten:

  • $f^\prime(-4) = \dfrac{(-4)^2}{(-4)^3 - 7} \approx \color{#669900}{-0,\!23}$
  • $f^\prime(0) = \dfrac{0^2}{0^3 - 7} = \color{#669900}{0}$
  • $f^\prime(2) = \dfrac{2^2}{2^3 - 7} = \color{#669900}{4}$

  
  

  Zweite Funktion: $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$
  $\begin{array}{lllll} u(x) &= \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} &\quad& v(x) &= x^2 + 3 \\ u^\prime(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} &\quad& v^\prime(x) &= 2x \end{array}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}$

  Wir erhalten:

  • $f^\prime(-4) = \dfrac{-4}{\sqrt{(-4)^2 + 3}} \approx \color{#669900}{-0,\!92}$
  • $f^\prime(0) = \dfrac{0}{\sqrt{0^2 + 3}} = \color{#669900}{0}$
  • $f^\prime(2) = \dfrac{2}{\sqrt{2^2 + 3}} \approx \color{#669900}{0,\!75}$

  
  

  Dritte Funktion: $f(x) = e^{1-2x}$
  $\begin{array}{lllll} u(x) &= e^x &\quad& v(x) &= 1 - 2x \\ u^\prime(x) &= e^x &\quad& v^\prime(x) &= -2 \end{array}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = e^{1 - 2x} \cdot (-2) = -2e^{1 - 2x}$

  Wir erhalten:

  • $f^\prime(-4) = -2e^{1 - 2\cdot(-4)} \approx \color{#669900}{-16\,206,\!17}$
  • $f^\prime(0) = -2e^{1 - 2\cdot0} \approx \color{#669900}{-5,\!44}$
  • $f^\prime(2) = -2e^{1 - 2\cdot2} \approx \color{#669900}{-0,\!10}$