Kettenregel – Beispiele (1)
Beschreibung Kettenregel – Beispiele (1)
Die Kettenregel wird typischerweise auf bestimmte Funktionstypen angewendet. In diesem Video schauen wir uns drei Beispiele an: Eine Funktion, deren Funktionsterm die Potenz einer Summe ist und zwei Exponentialfunktionen (e-Funktionen). Wir werden auch eine Methode erarbeiten, mit der man sehen kann, was die innere und was die äußere Funktion ist.
Kettenregel – Beispiele (1) Übung
-
Bestimme mit Hilfe der Kettenregel die erste Ableitung der Funktion.
TippsFür die Funktion $f(x)=u(v(x))$ lautet die Kettenregel:
- $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$
Sieh dir folgendes Beispiel an: $~f(x)=2(x+1)^2$
- $v(x)=x+1$
- $u(v)=2v^2$
Denke an die Potenzregel für das Ableiten:
$\bigl(x^n\bigr)'=n\cdot x^{n-1}$
LösungDie verkettete Funktion $f$ ist in der Form $f(x)=u(v(x))$ gegeben. Wir können die Funktion wie folgt in eine innere und äußere Funktion zerlegen:
- $v(x)=\frac 12-x^2$
- $u(v)=\frac 18v^7$
Mit Hilfe der Potenzregel $\bigl(x^n\bigr)'=n\cdot x^{n-1}$ erhalten wir:
- $v'(x)=-2x$
- $u'(v)=\frac 78v^6$
Wir erhalten hier also:
- $f'(x)=-2x\cdot \frac 78 \left(\frac{1}{2}-x^2 \right)^6=-\frac{7x}{4}\cdot \left(\frac 12-x^2\right)^6$
-
Gib jeweils die erste Ableitung der Funktionen an.
TippsBestimme zunächst die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(v)$. Beachte, dass die Variable der Funktion $u$ nicht $x$ ist, sondern $v$.
Die Ableitung der Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ ist $f'(x)=e^x$.
Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten. Es gilt:
- $f(x)=c\cdot g(x)\quad\rightarrow\quad f'(x)=c\cdot g'(x)$
LösungUm die folgenden beiden verketteten Funktionen abzuleiten, nutzen wir die Kettenregel. Diese lautet für eine Funktion der Form $f(x)=u(v(x))$ wie folgt:
- $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$
- Potenzregel: $\quad f(x)=x^n \quad\rightarrow\quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
- Faktorregel: $\quad f(x)=c\cdot g(x)\quad\rightarrow\quad f'(x)=c\cdot g'(x)$
- Ableitung der Exponentialfunktion: $\quad f(x)=e^x \quad\rightarrow\quad f'(x)=e^x$
Beispiel 1: $~f(x) = 3e^{2x-7}$
Zunächst legen wir die innere und äußere Funktion fest:
$\begin{array}{lll} v(x) &=& 2x-7 \\ u(v) &=& 3e^v \\ \end{array}$
Diese leiten wir nun jeweils ab:
$\begin{array}{lll} v'(x) &=& 2 \\ u'(v) &=& 3e^v \\ \end{array}$
Wir fassen die einzelnen Glieder zu $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$ zusammen: $~f'(x) = 6e^{2x-7} $
Beispiel 2: $~g(x) = \frac 23 e^{-x^2+1}$
Zunächst legen wir die innere und äußere Funktion fest:
$\begin{array}{lll} \\ v(x) &=& -x^2+1 \\ u(v) &=& \frac 23e ^v \\ \end{array}$
Diese leiten wir nun jeweils ab:
$\begin{array}{lll} \\ v'(x) &=& -2x \\ u'(v) &=& \frac 23e^v \\ \end{array}$
Wir fassen die einzelnen Glieder zu $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$ zusammen: $~g'(x) = -\frac 43xe^{-x^2+1}$
-
Ermittle jeweils die erste Ableitung der Funktionen.
TippsVerwende die Kettenregel. Diese lautet wie folgt:
- $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
Gehe wie folgt vor:
- Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
- Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
- Zwischenergebnisse in die Kettenregel einsetzen.
- Wenn möglich den Term vereinfachen.
LösungWir gehen nun wie folgt vor:
- Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
- Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
- Zwischenergebnisse in die Kettenregel $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$ einsetzen.
- Wenn möglich den Term vereinfachen.
Beispiel 1: $~f(x)=\frac 13e^{x^3+2}$
- $v(x)=x^3+2$; $\quad v'(x)=3x^2$
- $u(v)=\frac 13e^v$; $\quad u'(v)=\frac 13e^v$
- $f'(x)=3x^2\cdot \frac 13e^{x^3+2}=x^2\cdot e^{x^3+2}$
- $v(x)=x+2$; $\quad v'(x)=1$
- $u(v)=e^v$; $\quad u'(v)=e^v$
- $f'(x)=1\cdot e^{x+2}=e^{x+2}$
- $v(x)=\frac 12x+2$; $\quad v'(x)=\frac 12$
- $u(v)=2e^v$; $\quad u'(v)=2e^v$
- $f'(x)=e^{\frac 12x+2}=e^{\frac 12(x+4)}$
- $v(x)=x^2-x$; $\quad v'(x)=2x-1$
- $u(v)=\frac 12e^v$; $\quad u'(v)=\frac 12e^v$
- $f'(x)=(2x-1)\cdot \frac 12e^{x^2-x}=(x-\frac 12)e^{x^2-x}$
-
Erschließe jeweils die erste Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.
TippsHier siehst du, wie du die trigonometrischen Funktionen $\sin(x)$, $-\sin(x)$, $\cos(x)$ und $-\cos(x)$ ableiten kannst.
Betrachte die Funktion $f(x)=\cos (2x+1)$. Hier ist $\cos (\qquad)$ die äußere und $2x+1$ die innere Funktion.
LösungWir gehen nun wie folgt vor:
- Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
- Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
- Zwischenergebnisse in die Kettenregel $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$ einsetzen.
- Wenn möglich den Term vereinfachen.
Beispiel 1: $~f(x)=\cos(x^2+1)$
- $v(x)=x^2+1$; $\quad v'(x)=2x$
- $u(v)=\cos (v)$; $\quad u'(v)=-\sin(v)$
- $f'(x)=2x\cdot (-\sin(x^2+1))=-2x\cdot \sin(x^2+1)$
- $v(x)=x^2+1$; $\quad v'(x)=2x$
- $u(v)=-\frac 12\cos (v)$; $\quad u'(v)=\frac 12\sin(v)$
- $g'(x)=2x\cdot \frac 12\sin(x^2+1)=x\cdot \sin(x^2+1)$
- $v(x)=-x^2+1$; $\quad v'(x)=-2x$
- $u(v)=\cos (v)$; $\quad u'(v)=-\sin(v)$
- $h'(x)=-2x\cdot (-\sin(-x^2+1))=2x\cdot \sin(-x^2+1)$
-
Gib mögliche Formulierungen für die Ableitungsregel für verkettete Funktionen an.
TippsFür die innere und äußere Funktion kann man jeden Buchstaben als Bezeichnung verwenden. Diese müssen also nicht zwingend mit $u$ oder $v$ bezeichnet werden.
Ist $f$ die äußere und $g$ die innere Funktion, so gilt für die Ableitung: $~g'(x)\cdot f'(g(x))$
Eine Multiplikation ist kommutativ. Das bedeutet, dass du Faktoren vertauschen darfst.
LösungFür die innere und äußere Funktion kann man jeden Buchstaben als Bezeichnung verwenden. Diese müssen also nicht zwingend mit $u$ oder $v$ bezeichnet werden.
Grundsätzlich gilt bei der Kettenregel: innere Ableitung $\cdot$ äußere Ableitung. Zudem ist eine Multiplikation kommutativ, sodass man die Faktoren in der Kettenregel auch vertauschen darf.
Damit sind die folgenden Ausdrücke für die Kettenregel korrekt:
- $(a(b(x)))'=b'(x)\cdot a'(b(x))$
- $(u(v(x)))'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
- $(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
-
Wende die Kettenregel an, um die erste Ableitung der Funktionenschar $h_a$ herzuleiten.
TippsDer Scharparameter $a$ wird beim Ableiten wie eine Zahl behandelt.
Beim Ableiten wird ein konstanter Term null.
LösungDer Scharparameter $a$ ist eine Zahl. Die Funktion $h_a$ setzt sich wie folgt zusammen:
- $h_a(x)=\underbrace{-4\cos(a)}_{\text{konstanter} \\ \text{Term}}-\underbrace{\sin(2ax^{4a})}_{\text{verkettete}\\ \text{Funktion}}$
- $v(x)=2ax^{4a}$; $\quad v'(x)=4a\cdot 2ax^{4a-1}=8a^2x^{4a-1}$
- $u(v)=-\sin(v)$; $\quad u'(v)=-\cos(v)$
- $h_a'(x)=8a^2x^{4a-1}\cdot (-\cos(2ax^{4a}))=-8a^2x^{4a-1}\cdot \cos(2ax^{4a})$