30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Kettenregel – Beispiele (1)

Bewertung

Ø 4.3 / 3 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Kettenregel – Beispiele (1)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Kettenregel – Beispiele (1)

Die Kettenregel wird typischerweise auf bestimmte Funktionstypen angewendet. In diesem Video schauen wir uns drei Beispiele an: Eine Funktion, deren Funktionsterm die Potenz einer Summe ist und zwei Exponentialfunktionen (e-Funktionen). Wir werden auch eine Methode erarbeiten, mit der man sehen kann, was die innere und was die äußere Funktion ist.

Kettenregel – Beispiele (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kettenregel – Beispiele (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme mit Hilfe der Kettenregel die erste Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Für die Funktion $f(x)=u(v(x))$ lautet die Kettenregel:

    • $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$

    Sieh dir folgendes Beispiel an: $~f(x)=2(x+1)^2$

    • $v(x)=x+1$
    • $u(v)=2v^2$

    Denke an die Potenzregel für das Ableiten:

    $\bigl(x^n\bigr)'=n\cdot x^{n-1}$

    Lösung

    Die verkettete Funktion $f$ ist in der Form $f(x)=u(v(x))$ gegeben. Wir können die Funktion wie folgt in eine innere und äußere Funktion zerlegen:

    • $v(x)=\frac 12-x^2$
    • $u(v)=\frac 18v^7$

    Mit Hilfe der Potenzregel $\bigl(x^n\bigr)'=n\cdot x^{n-1}$ erhalten wir:

    • $v'(x)=-2x$
    • $u'(v)=\frac 78v^6$
    Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt nun: $~f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$

    Wir erhalten hier also:

    • $f'(x)=-2x\cdot \frac 78 \left(\frac{1}{2}-x^2 \right)^6=-\frac{7x}{4}\cdot \left(\frac 12-x^2\right)^6$
  • Gib jeweils die erste Ableitung der Funktionen an.

    Tipps

    Bestimme zunächst die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(v)$. Beachte, dass die Variable der Funktion $u$ nicht $x$ ist, sondern $v$.

    Die Ableitung der Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ ist $f'(x)=e^x$.

    Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten. Es gilt:

    • $f(x)=c\cdot g(x)\quad\rightarrow\quad f'(x)=c\cdot g'(x)$
    Lösung

    Um die folgenden beiden verketteten Funktionen abzuleiten, nutzen wir die Kettenregel. Diese lautet für eine Funktion der Form $f(x)=u(v(x))$ wie folgt:

    • $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    Um die innere und äußere Funktion abzuleiten, benötigen wir noch weitere Regeln.

    • Potenzregel: $\quad f(x)=x^n \quad\rightarrow\quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
    • Faktorregel: $\quad f(x)=c\cdot g(x)\quad\rightarrow\quad f'(x)=c\cdot g'(x)$
    • Ableitung der Exponentialfunktion: $\quad f(x)=e^x \quad\rightarrow\quad f'(x)=e^x$
    Damit können wir die Funktionen nun wie folgt ableiten:

    Beispiel 1: $~f(x) = 3e^{2x-7}$

    Zunächst legen wir die innere und äußere Funktion fest:

    $\begin{array}{lll} v(x) &=& 2x-7 \\ u(v) &=& 3e^v \\ \end{array}$

    Diese leiten wir nun jeweils ab:

    $\begin{array}{lll} v'(x) &=& 2 \\ u'(v) &=& 3e^v \\ \end{array}$

    Wir fassen die einzelnen Glieder zu $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$ zusammen: $~f'(x) = 6e^{2x-7} $

    Beispiel 2: $~g(x) = \frac 23 e^{-x^2+1}$

    Zunächst legen wir die innere und äußere Funktion fest:

    $\begin{array}{lll} \\ v(x) &=& -x^2+1 \\ u(v) &=& \frac 23e ^v \\ \end{array}$

    Diese leiten wir nun jeweils ab:

    $\begin{array}{lll} \\ v'(x) &=& -2x \\ u'(v) &=& \frac 23e^v \\ \end{array}$

    Wir fassen die einzelnen Glieder zu $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$ zusammen: $~g'(x) = -\frac 43xe^{-x^2+1}$

  • Ermittle jeweils die erste Ableitung der Funktionen.

    Tipps

    Verwende die Kettenregel. Diese lautet wie folgt:

    • $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$

    Gehe wie folgt vor:

    1. Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
    2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
    3. Zwischenergebnisse in die Kettenregel einsetzen.
    4. Wenn möglich den Term vereinfachen.
    Lösung

    Wir gehen nun wie folgt vor:

    1. Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
    2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
    3. Zwischenergebnisse in die Kettenregel $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$ einsetzen.
    4. Wenn möglich den Term vereinfachen.
    Damit erhalten wir die folgenden Ableitungen:

    Beispiel 1: $~f(x)=\frac 13e^{x^3+2}$

    • $v(x)=x^3+2$; $\quad v'(x)=3x^2$
    • $u(v)=\frac 13e^v$; $\quad u'(v)=\frac 13e^v$
    Damit lautet die Ableitung wie folgt:

    • $f'(x)=3x^2\cdot \frac 13e^{x^3+2}=x^2\cdot e^{x^3+2}$
    Beispiel 2: $~f(x)=e^{x+2}$

    • $v(x)=x+2$; $\quad v'(x)=1$
    • $u(v)=e^v$; $\quad u'(v)=e^v$
    Damit lautet die Ableitung wie folgt:

    • $f'(x)=1\cdot e^{x+2}=e^{x+2}$
    Beispiel 3: $~f(x)=2e^{\frac 12x+2}$

    • $v(x)=\frac 12x+2$; $\quad v'(x)=\frac 12$
    • $u(v)=2e^v$; $\quad u'(v)=2e^v$
    Damit lautet die Ableitung wie folgt:

    • $f'(x)=e^{\frac 12x+2}=e^{\frac 12(x+4)}$
    Beispiel 4: $~f(x)=\frac 12e^{x^2-x}$

    • $v(x)=x^2-x$; $\quad v'(x)=2x-1$
    • $u(v)=\frac 12e^v$; $\quad u'(v)=\frac 12e^v$
    Damit lautet die Ableitung wie folgt:

    • $f'(x)=(2x-1)\cdot \frac 12e^{x^2-x}=(x-\frac 12)e^{x^2-x}$
  • Erschließe jeweils die erste Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.

    Tipps

    Hier siehst du, wie du die trigonometrischen Funktionen $\sin(x)$, $-\sin(x)$, $\cos(x)$ und $-\cos(x)$ ableiten kannst.

    Betrachte die Funktion $f(x)=\cos (2x+1)$. Hier ist $\cos (\qquad)$ die äußere und $2x+1$ die innere Funktion.

    Lösung

    Wir gehen nun wie folgt vor:

    1. Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
    2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
    3. Zwischenergebnisse in die Kettenregel $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$ einsetzen.
    4. Wenn möglich den Term vereinfachen.
    Damit erhalten wir die folgenden Ableitungen:

    Beispiel 1: $~f(x)=\cos(x^2+1)$

    • $v(x)=x^2+1$; $\quad v'(x)=2x$
    • $u(v)=\cos (v)$; $\quad u'(v)=-\sin(v)$
    Damit lautet die Ableitung wie folgt:

    • $f'(x)=2x\cdot (-\sin(x^2+1))=-2x\cdot \sin(x^2+1)$
    Beispiel 2: $~g(x)=-\frac 12\cos(x^2+1)$

    • $v(x)=x^2+1$; $\quad v'(x)=2x$
    • $u(v)=-\frac 12\cos (v)$; $\quad u'(v)=\frac 12\sin(v)$
    Damit lautet die Ableitung wie folgt:

    • $g'(x)=2x\cdot \frac 12\sin(x^2+1)=x\cdot \sin(x^2+1)$
    Beispiel 3: $~h(x)=\cos(-x^2+1)$

    • $v(x)=-x^2+1$; $\quad v'(x)=-2x$
    • $u(v)=\cos (v)$; $\quad u'(v)=-\sin(v)$
    Damit lautet die Ableitung wie folgt:

    • $h'(x)=-2x\cdot (-\sin(-x^2+1))=2x\cdot \sin(-x^2+1)$
  • Gib mögliche Formulierungen für die Ableitungsregel für verkettete Funktionen an.

    Tipps

    Für die innere und äußere Funktion kann man jeden Buchstaben als Bezeichnung verwenden. Diese müssen also nicht zwingend mit $u$ oder $v$ bezeichnet werden.

    Ist $f$ die äußere und $g$ die innere Funktion, so gilt für die Ableitung: $~g'(x)\cdot f'(g(x))$

    Eine Multiplikation ist kommutativ. Das bedeutet, dass du Faktoren vertauschen darfst.

    Lösung

    Für die innere und äußere Funktion kann man jeden Buchstaben als Bezeichnung verwenden. Diese müssen also nicht zwingend mit $u$ oder $v$ bezeichnet werden.

    Grundsätzlich gilt bei der Kettenregel: innere Ableitung $\cdot$ äußere Ableitung. Zudem ist eine Multiplikation kommutativ, sodass man die Faktoren in der Kettenregel auch vertauschen darf.

    Damit sind die folgenden Ausdrücke für die Kettenregel korrekt:

    • $(a(b(x)))'=b'(x)\cdot a'(b(x))$
    • $(u(v(x)))'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    • $(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
  • Wende die Kettenregel an, um die erste Ableitung der Funktionenschar $h_a$ herzuleiten.

    Tipps

    Der Scharparameter $a$ wird beim Ableiten wie eine Zahl behandelt.

    Beim Ableiten wird ein konstanter Term null.

    Lösung

    Der Scharparameter $a$ ist eine Zahl. Die Funktion $h_a$ setzt sich wie folgt zusammen:

    • $h_a(x)=\underbrace{-4\cos(a)}_{\text{konstanter} \\ \text{Term}}-\underbrace{\sin(2ax^{4a})}_{\text{verkettete}\\ \text{Funktion}}$
    Beim Ableiten hebt sich der konstante Term auf. Die verkettete Funktion können wir wie folgt in innere Funktion $v$ und äußere Funktion $u$ aufteilen.

    • $v(x)=2ax^{4a}$; $\quad v'(x)=4a\cdot 2ax^{4a-1}=8a^2x^{4a-1}$
    • $u(v)=-\sin(v)$; $\quad u'(v)=-\cos(v)$
    Damit ergibt sich folgende Ableitung:

    • $h_a'(x)=8a^2x^{4a-1}\cdot (-\cos(2ax^{4a}))=-8a^2x^{4a-1}\cdot \cos(2ax^{4a})$
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.842

Lernvideos

44.348

Übungen

38.969

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden