Kettenregel – Beispiele (1)

Kettenregel – Beispiele (1) Übung

• Bestimme mit Hilfe der Kettenregel die erste Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Für die Funktion $f(x)=u(v(x))$ lautet die Kettenregel:

  • $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $~f(x)=2(x+1)^2$

  • $v(x)=x+1$
  • $u(v)=2v^2$

  Denke an die Potenzregel für das Ableiten:

  $\bigl(x^n\bigr)'=n\cdot x^{n-1}$

  Lösung

  Die verkettete Funktion $f$ ist in der Form $f(x)=u(v(x))$ gegeben. Wir können die Funktion wie folgt in eine innere und äußere Funktion zerlegen:

  • $v(x)=\frac 12-x^2$

  • $u(v)=\frac 18v^7$

  Mit Hilfe der Potenzregel $\bigl(x^n\bigr)'=n\cdot x^{n-1}$ erhalten wir:

  • $v'(x)=-2x$

  • $u'(v)=\frac 78v^6$

  Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt nun: $~f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$

  Wir erhalten hier also:

  • $f'(x)=-2x\cdot \frac 78 \left(\frac{1}{2}-x^2 \right)^6=-\frac{7x}{4}\cdot \left(\frac 12-x^2\right)^6$

• Gib jeweils die erste Ableitung der Funktionen an.

  Tipps

  Bestimme zunächst die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(v)$. Beachte, dass die Variable der Funktion $u$ nicht $x$ ist, sondern $v$.

  Die Ableitung der Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ ist $f'(x)=e^x$.

  Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten. Es gilt:

  • $f(x)=c\cdot g(x)\quad\rightarrow\quad f'(x)=c\cdot g'(x)$

  Lösung

  Um die folgenden beiden verketteten Funktionen abzuleiten, nutzen wir die Kettenregel. Diese lautet für eine Funktion der Form $f(x)=u(v(x))$ wie folgt:

  • $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$

  Um die innere und äußere Funktion abzuleiten, benötigen wir noch weitere Regeln.

  • Potenzregel: $\quad f(x)=x^n \quad\rightarrow\quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
  • Faktorregel: $\quad f(x)=c\cdot g(x)\quad\rightarrow\quad f'(x)=c\cdot g'(x)$
  • Ableitung der Exponentialfunktion: $\quad f(x)=e^x \quad\rightarrow\quad f'(x)=e^x$

  Damit können wir die Funktionen nun wie folgt ableiten:

  Beispiel 1: $~f(x) = 3e^{2x-7}$

  Zunächst legen wir die innere und äußere Funktion fest:

  $\begin{array}{lll} v(x) &=& 2x-7 \\ u(v) &=& 3e^v \\ \end{array}$

  Diese leiten wir nun jeweils ab:

  $\begin{array}{lll} v'(x) &=& 2 \\ u'(v) &=& 3e^v \\ \end{array}$

  Wir fassen die einzelnen Glieder zu $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$ zusammen: $~f'(x) = 6e^{2x-7} $

  Beispiel 2: $~g(x) = \frac 23 e^{-x^2+1}$

  Zunächst legen wir die innere und äußere Funktion fest:

  $\begin{array}{lll} \\ v(x) &=& -x^2+1 \\ u(v) &=& \frac 23e ^v \\ \end{array}$

  Diese leiten wir nun jeweils ab:

  $\begin{array}{lll} \\ v'(x) &=& -2x \\ u'(v) &=& \frac 23e^v \\ \end{array}$

  Wir fassen die einzelnen Glieder zu $f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$ zusammen: $~g'(x) = -\frac 43xe^{-x^2+1}$

• Ermittle jeweils die erste Ableitung der Funktionen.

  Tipps

  Verwende die Kettenregel. Diese lautet wie folgt:

  • $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$

  Gehe wie folgt vor:

  1. Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
  2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
  3. Zwischenergebnisse in die Kettenregel einsetzen.
  4. Wenn möglich den Term vereinfachen.

  Lösung

  Wir gehen nun wie folgt vor:

  1. Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
  2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
  3. Zwischenergebnisse in die Kettenregel $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$ einsetzen.
  4. Wenn möglich den Term vereinfachen.

  Damit erhalten wir die folgenden Ableitungen:

  Beispiel 1: $~f(x)=\frac 13e^{x^3+2}$

  • $v(x)=x^3+2$; $\quad v'(x)=3x^2$
  • $u(v)=\frac 13e^v$; $\quad u'(v)=\frac 13e^v$

  Damit lautet die Ableitung wie folgt:

  • $f'(x)=3x^2\cdot \frac 13e^{x^3+2}=x^2\cdot e^{x^3+2}$

  Beispiel 2: $~f(x)=e^{x+2}$

  • $v(x)=x+2$; $\quad v'(x)=1$
  • $u(v)=e^v$; $\quad u'(v)=e^v$

  Damit lautet die Ableitung wie folgt:

  • $f'(x)=1\cdot e^{x+2}=e^{x+2}$

  Beispiel 3: $~f(x)=2e^{\frac 12x+2}$

  • $v(x)=\frac 12x+2$; $\quad v'(x)=\frac 12$
  • $u(v)=2e^v$; $\quad u'(v)=2e^v$

  Damit lautet die Ableitung wie folgt:

  • $f'(x)=e^{\frac 12x+2}=e^{\frac 12(x+4)}$

  Beispiel 4: $~f(x)=\frac 12e^{x^2-x}$

  • $v(x)=x^2-x$; $\quad v'(x)=2x-1$
  • $u(v)=\frac 12e^v$; $\quad u'(v)=\frac 12e^v$

  Damit lautet die Ableitung wie folgt:

  • $f'(x)=(2x-1)\cdot \frac 12e^{x^2-x}=(x-\frac 12)e^{x^2-x}$

• Erschließe jeweils die erste Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.

  Tipps

  Hier siehst du, wie du die trigonometrischen Funktionen $\sin(x)$, $-\sin(x)$, $\cos(x)$ und $-\cos(x)$ ableiten kannst.

  Betrachte die Funktion $f(x)=\cos (2x+1)$. Hier ist $\cos (\qquad)$ die äußere und $2x+1$ die innere Funktion.

  Lösung

  Wir gehen nun wie folgt vor:

  1. Äußere Funktion $u$ und innere Funktion $v$ identifizieren.
  2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen berechnen.
  3. Zwischenergebnisse in die Kettenregel $\left( u(v(x))\right)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$ einsetzen.
  4. Wenn möglich den Term vereinfachen.

  Damit erhalten wir die folgenden Ableitungen:

  Beispiel 1: $~f(x)=\cos(x^2+1)$

  • $v(x)=x^2+1$; $\quad v'(x)=2x$
  • $u(v)=\cos (v)$; $\quad u'(v)=-\sin(v)$

  Damit lautet die Ableitung wie folgt:

  • $f'(x)=2x\cdot (-\sin(x^2+1))=-2x\cdot \sin(x^2+1)$

  Beispiel 2: $~g(x)=-\frac 12\cos(x^2+1)$

  • $v(x)=x^2+1$; $\quad v'(x)=2x$
  • $u(v)=-\frac 12\cos (v)$; $\quad u'(v)=\frac 12\sin(v)$

  Damit lautet die Ableitung wie folgt:

  • $g'(x)=2x\cdot \frac 12\sin(x^2+1)=x\cdot \sin(x^2+1)$

  Beispiel 3: $~h(x)=\cos(-x^2+1)$

  • $v(x)=-x^2+1$; $\quad v'(x)=-2x$
  • $u(v)=\cos (v)$; $\quad u'(v)=-\sin(v)$

  Damit lautet die Ableitung wie folgt:

  • $h'(x)=-2x\cdot (-\sin(-x^2+1))=2x\cdot \sin(-x^2+1)$

• Gib mögliche Formulierungen für die Ableitungsregel für verkettete Funktionen an.

  Tipps

  Für die innere und äußere Funktion kann man jeden Buchstaben als Bezeichnung verwenden. Diese müssen also nicht zwingend mit $u$ oder $v$ bezeichnet werden.

  Ist $f$ die äußere und $g$ die innere Funktion, so gilt für die Ableitung: $~g'(x)\cdot f'(g(x))$

  Eine Multiplikation ist kommutativ. Das bedeutet, dass du Faktoren vertauschen darfst.

  Lösung

  Für die innere und äußere Funktion kann man jeden Buchstaben als Bezeichnung verwenden. Diese müssen also nicht zwingend mit $u$ oder $v$ bezeichnet werden.

  Grundsätzlich gilt bei der Kettenregel: innere Ableitung $\cdot$ äußere Ableitung. Zudem ist eine Multiplikation kommutativ, sodass man die Faktoren in der Kettenregel auch vertauschen darf.

  Damit sind die folgenden Ausdrücke für die Kettenregel korrekt:

  • $(a(b(x)))'=b'(x)\cdot a'(b(x))$
  • $(u(v(x)))'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
  • $(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)$

• Wende die Kettenregel an, um die erste Ableitung der Funktionenschar $h_a$ herzuleiten.

  Tipps

  Der Scharparameter $a$ wird beim Ableiten wie eine Zahl behandelt.

  Beim Ableiten wird ein konstanter Term null.

  Lösung

  Der Scharparameter $a$ ist eine Zahl. Die Funktion $h_a$ setzt sich wie folgt zusammen:

  • $h_a(x)=\underbrace{-4\cos(a)}_{\text{konstanter} \\ \text{Term}}-\underbrace{\sin(2ax^{4a})}_{\text{verkettete}\\ \text{Funktion}}$

  Beim Ableiten hebt sich der konstante Term auf. Die verkettete Funktion können wir wie folgt in innere Funktion $v$ und äußere Funktion $u$ aufteilen.

  • $v(x)=2ax^{4a}$; $\quad v'(x)=4a\cdot 2ax^{4a-1}=8a^2x^{4a-1}$

  • $u(v)=-\sin(v)$; $\quad u'(v)=-\cos(v)$

  Damit ergibt sich folgende Ableitung:

  • $h_a'(x)=8a^2x^{4a-1}\cdot (-\cos(2ax^{4a}))=-8a^2x^{4a-1}\cdot \cos(2ax^{4a})$