Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 04:54 min

In diesem Video soll es nun um Grundbegriffe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gehen. Kommen wir zunächst zur Definition der Ergebnismenge. Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes, wenn jedem für die Beobachtung möglichen Ergebnis genau ein Element aus Ω zugeordnet wird. Wir benötigen also ein Zufallsexperiment und müssen uns auf eine Beobachtung festlegen. Dann gibt es genau ein Element für jedes mögliche Ergebnis. Nehmen wir das Beispiel des Werfens eines Würfels. Wir überlegen uns Beobachtungsziele und schreiben dann die geeignete Ergebnismenge auf. Wenn wir die Augenzahl beobachten, ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5 6}, da wir diese Augenzahlen alle werfen können. Genauso können wir beobachten, ob eine 6 geworfen wird. Dann ist Ω = {6, keine 6}. Man schreibt auch 6 und 6 quer. Aber das sehen wir gleich noch. Wir könnten auch beobachten, ob eine gerade oder ungerade Augenzahl geworfen wird. Dann wäre Ω = {1 u 3 u 5, 2 u 4 u 6}. Es folgen weitere Definitionen. Jede Teilmenge A der endlichen Ergebnismenge Ω heißt Ereignis A. Im Beispiel könnte A eine ungerade Augenzahl sein. Dann könnte ich eine 1, 3 oder 5 würfeln. Hier ist also A das Ereignis und 1, 3 und 5 sind Ergebnisse. Und diese Begriffe sollte man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht vertauschen. Kommen wir zur Definition 2. Stellt sich das Ergebnis E ein und gilt E Element A, so sagt man, das Ereignis A tritt ein. Im Beispiel wäre das, wenn ich zum Beispiel eine 3 gewürfelt habe und die 3 in A enthalten ist, dann tritt Ereignis A ein. Weiter mit Definition 3. Die Menge aller Teilmengen von Ω heißt Ereignisraum und bezeichnet man mit 2^Ω. 2^Ω beinhaltet also alle Teilmengen von Ω. Im Beispiel von vorhin wäre 2^Ω hier also die leere Menge, die 6, keine 6 und die 6 vereinigt mit der 6 quer. 4. Besitzt Ω genau n Elemente, also der |Ω| = n, so gibt es 2ⁿ verschiedene Teilmengen von Ω. Das heißt 2ⁿ unterschiedliche Ereignisse in 2^Ω. Dann gilt also, |2^Ω| = 2^|Ω|. Nehmen wir das Beispiel eines Tetraeders, also quasi einen Würfel mit 4 Flächen. Wir können also nur die Augenzahlen 1 bis 4 Würfeln. Dementsprechend ist Ω = {1, 2, 3, 4<0 und 2^|Ω| ist damit 2⁴, da 4 Elemente in Ω sind, also 16. Die Menge 2^Ω soll also 16 Elemente enthalten. 2^Ω = {leere Menge, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}. Wenn ich also eine 3 würfle, treten folgende Ereignisse ein. Ereignis {3}, Ereignis {1, 3}; {2, 3}; {3, 4}, Ereignis {1, 2, 3} und {1, 3, 4} und {2, 3, 4} und Ω, was immer eintritt. Die Einzelereignisse {1}, {2}, {3}, {4} nennt man auch Elementarereignisse oder atomare Ereignisse. Weitere Begriffe in der nächsten Definition. A nennt man unmögliches Ereignis, wenn A = die leere Menge gilt und sicheres Ereignis, wenn A = Ω gilt. Und zum Schluss noch ein Begriff, den wir vorhin schon verwendet hatten. Das Gegenereignis, auch komplementäres Ereignis A quer tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt. Also zum Beispiel 6 und 6 quer für den Fall, dass ich keine 6 würfle. Das war es zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich hoffe, ihr habt jetzt einen kleinen Überblick bekommen.