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Goldener Schnitt – Konstruktion

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Goldener Schnitt – Konstruktion
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Goldener Schnitt – Konstruktion

Der goldene Schnitt ist ein seit der Antike bekanntes Maß für Harmonie und Schönheit. Selbst in vielen Schulbüchern der Mathematik taucht der goldene Schnitt immer wieder auf. Es handelt von dem Verhältnis, in der eine Strecke ( durch einen Schnitt ) geteilt wird. Den goldenen Schnitt kann man auch durch Formeln berechnen. Diese werde ich dir Video ganz ausführlich erklären. Nun wünsche ich dir viel Spaß beim Lernen und natürlich auch mit meinem Video!

Transkript Goldener Schnitt – Konstruktion

Hallo, das ist ein Papierstreifen und den werde ich jetzt mit einem Schnitt durchschneiden. Das war nicht irgendein Schnitt, nein, das war der Goldene Schnitt. D.en das größere Stück ist ca. 1,62 mal so groß, wie das kleinere und diese Zahl, 1,62 ist eine Zahl, die es wirklich in sich hat. Zum Beispiel: Die Strecke, die ich zerschnitten habe, war so lang, zum Glück habe ich noch einen Streifen, dann kannst du es besser sehen. Die gesamte Strecke ist 1,62 zweimal so groß, wie dieses größere Stück. Es ist das gleiche Längenverhältnis, wie diese beiden Längen zueinander haben. Wenn ich den längeren Streifen nun dort durchschneide, wo der Kürzere endet, so, dann haben die beiden entstandenen Stücke wieder das gleiche Längenverhältnis, nämlich das größere Stück ist ca. 1,62 mal so lang, wie das kleinere Stück. Die Zahl 1,62 ist nicht ganz genau. Wir können sie aber ganz genau bestimmen, wenn wir das in eine Formel packen, was wir gerade gesehen haben. Gehen wir davon aus, dass a diese kleine Strecke ist, somit ist diese längere Strecke um einen bestimmten Faktor größer, diesen Faktor wollen wir ausrechnen. Das Verhältnis zwischen diesen beiden Strecken ist gleich groß, wie das Verhältnis zwischen diesen beiden Strecken. Also einmal a wieder die kürzere Strecke durch die Differenz von x×a und a. Hier haben wir die Gleichung mit den beiden Nennern a und x×a-a multipliziert. Dann bekommen wir das Ergebnis - hier haben wir a² ausgeklammert. Diese Gleichung ist entstanden, da wir auf beiden Seiten durch a² geteilt haben. Diese Gleichung ist entstanden, da wir die 1 subtrahiert haben auf beiden Seiten. Diese Gleichung ist einfach die p-q-Formel. Wir brauchen nur das positive Ergebnis und das ist hier: x=1+\sqrt(5)/2 Die Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt empfinden wir Menschen als besonders harmonisch. Zum Vergleich teile ich diesen Streifen in 2 gleich große Teile, das wirkt eher künstlich oder auch langweilig, zum Vergleich, dieses Verhältnis zwischen den Streifen hatten wir vorher. Ähnliches passiert, wenn der Schnitt bei einem Viertel der Strecke angesetzt wird. Also - hier. Dann haben wir das Gefühl, dass die kleinere Strecke zu klein ist. Auch bei Flächen kann man den Goldenen Schnitt sehen. Haben die Seiten eines Rechteckes ein Längenverhältnis von 1:1,62, also ein Verhältnis wie beim Goldenen Schnitt, dann kann man dieses Rechteck in ein Quadrat und ein Rechteck aufteilen. Das entstehende kleinere Rechteck hat Seitenlängen, die dem Goldenen Schnitt entsprechen. Das kleinere Rechteck kann man ebenso unterteilen und es kommt wieder ein Rechteck heraus, dessen Seitenlängen dem Goldenen Schnitt entsprechen und dies kann ich immer so weiter führen. Und hier noch ein Quadrat und ein Rechteck und hier ein Quadrat und ein kleineres Rechteck und so weiter. In der Kunst, in der Architektur und auch in der Natur kommt der Goldenen Schnitt häufig vor. Wie hier, bei dieser Geige. Dieser Punkt unterteilt die Gesamtlänge der Geige nach dem Goldenen Schnitt. Der Resonanzkörper ist 1,62 mal so lang wie der Hals der Geige und die Gesamtlänge der Geige ist 1,62 mal so lang, wie der Resonanzkörper. Apropos Körper: Griechische antike Statuen sind oft so aufgebaut, dass der Bauchnabel die gesamte Körperlänge im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt, ob das bei richtigen Menschen auch so ist, dass messe ich jetzt mal nach. Zuerst messe ich meinen Bauchnabel aus, der liegt ungefähr bei 104 cm, meine Gesamtkörperlänge beträgt ungefähr 170 cm. Teile in nun 170 durch 104, dann ergibt sich 1,63, das ist ungefähr der Goldene Schnitt. Also, ich bin fast harmonisch.  

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Goldener Schnitt – Konstruktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Goldener Schnitt – Konstruktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter dem Goldenen Schnitt versteht.

    Tipps

    Wenn in einem Bruch der Zähler größer ist als der Nenner, dann ist der Betrag des Bruches größer als $1$.

    Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind hier natürlich positiv.

    Man kann übrigens so fortfahren: Es gilt immer das gleiche Teilungsverhältnis.

    Lösung

    Es wird ein Papierstreifen in zwei Teile geteilt, welche das folgende Kriterium erfüllen:

    • Das längere der beiden Teilstücke ist ungefähr $1,62$ mal so lang wie das kürzere.
    • Der Ausgangsstreifen ist auch ungefähr $1,62$ mal so lang wie das längere der beiden Teilstücke.
    Wenn man nun die beiden Teilstücke nimmt und von dem größeren der beiden ein Stück abschneidet, welches so lang ist wie das kleinere, erhält man wieder zwei Teilstücke. Und auch bei diesen beiden Teilstücken gilt, dass das längere ungefähr $1,62$ mal so lang ist wie das kürzere.

  • Bestimme den goldenen Schnitt.

    Tipps

    Wenn der grüne Papierstreifen in zwei Teilstücke geteilt wird, gilt, dass das Verhältnis des längeren (violett) zu dem kürzeren (rot)

    $\frac{x\cdot a}a=x$

    der Goldene Schnitt ist.

    Die Gleichung, mit welcher du den Goldenen Schnitt berechnen kannst, erhältst du, indem du dieses Verhältnis auch bei dem blauen und gelben Streifen berechnest.

    Die p-q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Beachte, dass das Teilungsverhältnis positiv ist.

    Lösung

    Wie kann man den Goldenen Schnitt berechnen?

    Sei $x$ das unbekannte Teilungsverhältnis und $a$ das kürzere (rote) der beiden Teilstücke beim ersten Zerschneiden des grünen Papierstreifens. Dann beträgt die Länge des längeren (violetten) der beiden Teilstücke $x\cdot a$.

    Von dem längeren der beiden Teilstücke wird das kürzere abgeschnitten, also $x\cdot a-a$, die Länge des gelben Streifens.

    So gelangt man zu einer Gleichung, in welcher das immer gleiche Teilungsverhältnis, der Goldene Schnitt, vorkommt

    $\frac{x\cdot a}a=\frac{a}{x\cdot a-a}$.

    Durch Multiplikation mit $a$ sowie $x\cdot a-a$ gelangt man zu

    $x\cdot a(x\cdot a-a)=a^2$.

    Diese Gleichung kann weiter umgeformt werden:

    $\begin{array}{rclll} x\cdot a(x\cdot a-a)&=&a^2\\ x^2\cdot a^2-x\cdot a^2&=&a^2\\ a^2(x^2-x)&=&a^2&|&:a^2(\neq0)\\ x^2-x&=&1&|&-1\\ x^2-x-1&=&0 \end{array}$

    Dies ist eine quadratische Gleichung, welche man mit der p-q-Formel lösen kann:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-1}2\pm\sqrt{\left(\frac{-1}2\right)^2-(-1)}\\ &=&\frac12\pm\sqrt{\frac54}\\ &=&\frac{1\pm\sqrt 5}{2} \end{array}$

    Da das Teilungsverhältnis positiv ist, muss nur

    $x=\frac{1+\sqrt5}2$

    betrachtet werden. Dies ist der gesuchte Goldene Schnitt. Wenn man dies in den Taschenrechner eingibt, erhält man

    $x\approx1,61803$.

    Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl. Das bedeutet, eine Dezimalzahl, die weder endet, noch periodisch ist. Anders ausgedrückt: Der Goldene Schnitt lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen.

  • Gib an, welche Rechtecke mit dem goldenen Schnitt beschrieben werden können.

    Tipps

    Es ist ein Quadrat dabei. Dies kann nicht dem Goldenen Schnitt genügen, da das Seitenverhältnis $1:1$ ist.

    Du kannst die Seiten messen und das Teilungsverhältnis der längeren zu der kürzeren Seite berechnen. Dieses muss ungefähr $1,62$ betragen. Aufgrund von Ungenauigkeiten beim Messen kann das Ergebnis etwas abweichen.

    Lösung

    In diesem Rechteck ist das Verhältnis der längeren Seite zu der kürzeren ungefähr $1,62$. Man könnte zum Beispiel die Kästchen zählen.

    Bei einigen Rechtecken oder aber dem Sonderfall, dem gelben Quadrat, kann man sehen, dass das Seitenverhältnis anders ist: so zum Beispiel bei dem gelben Quadrat oder dem grünen und auch dem violetten Rechteck.

    Bei dem blauen Rechteck ist die kürzere Seite ungefähr $8,1$ Kästchen lang und die längere ungefähr $13,2$. Damit beträgt das Verhältnis $\frac{13,2}{8,1}\approx 1,63$.

  • Berechne jeweils die fehlende Länge.

    Tipps

    Achte darauf, ob die kürzere oder die längere Seite gegeben ist.

    Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren gerade der Goldene Schnitt ist.

    Der goldene Schnitt wird durch die hier abgebildete Zahl beschrieben.

    Lösung

    Es gilt beim Goldenen Schnitt, dass das Verhältnis der längeren Seite zu der kürzeren durch die hier abgebildete Bruchzahl beschrieben wird.

    Wenn also die kürzere Seite gegeben ist, muss diese mit dem Goldenen Schnitt multipliziert werden:

    • $20\cdot \frac{1+\sqrt5}2\approx 32,4$
    • $50\cdot \frac{1+\sqrt5}2\approx 80,9$
    Andernfalls, wenn die längere der beiden Seiten gegeben ist, muss diese durch den Goldenen Schnitt dividiert werden:
    • $30\div \frac{1+\sqrt5}2\approx 18,5$
    • $60\div \frac{1+\sqrt5}2\approx 37$

  • Gib an, in welchem Zusammenhang der Goldene Schnitt vorkommt.

    Tipps

    Sicherlich kann man auch nach dem Goldenen Schnitt kochen, singen oder lachen.

    Dies sind jedoch nicht die typischen Bereiche, in denen der Goldene Schnitt vorkommt.

    Zum Beispiel teilt der Bauchnabel eines Menschen die gesamte Körperlänge nach dem Goldenen Schnitt. Das bedeutet, dass die gesamte Körperlänge ungefähr das $1,62$-fache der Länge ist, die du vom Boden bis zu deinem Bauchnabel misst.

    Verwende nur die Beispiele, welche auch im Video genannt werden.

    Lösung

    Der Goldene Schnitt kommt in der Kunst, in der Architektur und der Natur häufig vor. Der Goldene Schnitt soll ein Teilungsverhältnis sein, welches besonders das ästhetische Empfinden anspricht. Dies ist jedoch umstritten.

    Zum Beispiel wird bei einer Geige der Goldene Schnitt verwendet:

    • Die Gesamtlänge der Geige ist $1,62$ mal so lang wie der Resonanzkörper.
    • Dieser ist wiederum $1,62$ mal so lang wie der Hals der Geige.
    Übrigens kann ein solches Teilungsverhältnis jeder an sich selbst feststellen. Der Bauchnabel teilt die gesamte Körperlänge eines Menschen nach dem Goldenen Schnitt.

  • Ergänze die Beschreibung, wie man einen goldenen Schnitt konstruieren kann.

    Tipps

    Diese Aufgabe entspricht einer Konstruktionsanweisung. Du kannst diese Schritt für Schritt durchführen.

    Ein rechter Winkel wird mit einem Punkt gekennzeichnet.

    Du kannst die jeweiligen Radien der Kreise an bekannten Punkten ablesen.

    $\overline{AB}$ steht für die Strecke zwischen $A$ und $B$, wohingegen $|\overline{AB}|$ die Länge dieser Strecke ist.

    Lösung

    Wie kann man einen Goldenen Schnitt konstruieren? Es gibt mehrere Möglichkeiten. Eine sei hier exemplarisch mal gezeigt:

    1. Zunächst zeichnet man eine Senkrechte auf die Strecke $\overline{AB}$, welche halb so lang ist wie diese Strecke. Man erhält den Punkt $C$.
    2. Diesen verbindet man mit $A$ durch eine Hilfslinie. Dort, wo der Kreis um $C$ mit dem Radius $r=|\overline{BC}|$ diese Hilfslinie schneidet, ist der Punkt $D$.
    3. Zuletzt wird ein Kreis um $A$ gezeichnet mit dem Radius $r=|\overline{AD}|$. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Strecke $\overline{AB}$ ist der Punkt $S$.
    Für diesen Punkt gilt

    $\frac{|\overline{AB}|}{|\overline{AS}|}=\frac{|\overline{AS}|}{|\overline{SB}|}\approx 1,62$.

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