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Goldener Schnitt – Alltagsbeispiele

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Goldener Schnitt – Alltagsbeispiele
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Goldener Schnitt – Alltagsbeispiele

Neben dem goldene gibt es auch einen goldenen Winkel. Hast du schon einmal von diesem gehört? Wenn nicht – dann werde ich dir nun alles dazu erklären. Es lohnt sich nämlich. Pflanzen wie Blumen und Gemüse verwenden den goldenen Winkel, wenn sie wachsen. Das das stimmt, werde ich dir an echten Pflanzen zeigen. Die Anordnungen, die so entstehen, entsprechen außerdem den Fibonacci-Zahlen. Nun wünsche ich dir viel Spaß mit dem Video und viel Erfolg auch beim Lernen!

Transkript Goldener Schnitt – Alltagsbeispiele

Hallo, es gibt nicht nur einen goldenen Schnitt, sondern auch einen goldenen Winkel. Dieser unterteilt den Vollkreis in unterschiedlich große Teile, nämlich so, dass das Verhältnis des großen Winkels zum kleinen gleich dem Verhältnis des Vollwinkels zum großen Winkel ist. Ψg ist der große Winkel und Ψk ist der kleine Winkel, das Verhältnis dieser beiden Winkel ist Ψg/Ψk. Dieses Verhältnis entspricht dem Verhältnis, also 360°/Ψg. 360° ist in dem Fall der Vollwinkel. Den Vollwinkel kann man auch beschreiben durch (Ψg+Ψk)/Ψg, da Ψg+Ψk=360° ergibt. Ersetzen wir hier Ψg und Ψg durch die Zahl 1, erhalten wir diese Gleichung. Im weiteren wollen wir diesen Quotienten Ψg/Ψk mit z bezeichnen. Setzen wir nun z in diese Gleichung ein, ergibt sich diese Gleichung. Wenn wir nun mit z multiplizieren und die Summanden auf eine Seite bringen, haben wir diese Gleichung. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist (1+\sqrt(5))/2, also die goldene Zahl, die Zahl des goldenen Schnittes Φ, also ungefähr 1,62. Wir wissen, dass Ψg/Ψk=Φ, wir wissen auch, dass Ψg=360°-Ψk ist, also 360°-Ψk. Ersetzen wir nun Ψg durch 360°-Ψk, erhalten wir diese Gleichung, durch Umformen erhalten wir diese Gleichung. Und das Ergebnis dieses Terms ist Ψk, also 137,5077641°. Da in der Mathematik aber normalerweise nur der kleinere Winkel als goldener Winkel bezeichnet wird, kann ich das nun wegwischen und sagen: Ψ ist der goldene Winkel. Um zu verstehen, was der Goldene Schnitt und der goldene Winkel mit den Fibonacci-Zahlen zu tun haben, müssen wir zunächst klären was die Fibonacci-Zahlen sind. Das sind Folgenglieder der Zahlenfolge, die sich so aufbaut: Die ersten beiden Zahlen sind 0 und 1, die darauf folgende Zahl ist die Summe der vorhergehenden Zahlen, also 1. Die wiederum darauf folgende Zahl, ist wieder die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen, also 2. Aus 1+2 die Summe ist 3, und so weiter. Die Verhältnisse aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonaccifolge liegen in der Nähe der goldenen Zahl, also 1,61803. Das kannst du hier sehen. Mit größer werdenden Folgengliedern kommt der Quotient immer näher an die goldene Zahl, das bedeutet auch, dass der Quotient sich von Mal zu Mal immer weniger ändert. Angenommen, er ändert sich irgendwann gar nicht mehr, mathematisch gesehen ist das dann der Grenzwert. Dann muss gelten (an+1)/an=an/(an-1), weil an+1 die Summe der beiden Vorgänger ist, können wir an+1 durch an+an-1 ersetzen. Ersetzen wir das Verhältnis dieser Folgenglieder, also an/(an-1) durch z, ergibt sich diese Gleichung. Und hier haben wir wieder die altbekannte quadratische Gleichung, deren positive Lösung die goldene Zahl ist. Und jetzt kommen wir zum Gemüse. Viele Pflanzen wachsen so: Es entsteht ein Blatt an einem Stängel und das nächste Blatt entsteht um den goldenen Winkel versetzt, also ungefähr hier. Das nächste Blatt entsteht wieder um den goldenen Winkel versetzt, also hier ungefähr. Das kannst du auch an diesem Salat sehen. Hier ist das 1. Blatt, um den goldenen Winkel versetzt, ist das 2. Blatt und das 3. Blatt ist auch um den goldenen Winkel versetzt. Dann nehm ich das mal ab. 3. Blatt, jetzt wäre hier wahrscheinlich das 4. Blatt und ab hier dann das hier. Das kann ich jetzt so lange machen, gegen den Uhrzeigersinn, bis kein Salat mehr da ist. Das funktioniert auch am Kohl, denn hier ist das 1. Blatt, da das 2. und hier das 3. Jetzt kann ich es wieder abmachen, 1., 2., 3., hier. Oder man kann es an dieser Rose sehen. Hier ist das 1. Blatt, hier das 2. und hier das 3. Das geht immer so weiter. Ihr könnt es zu Hause auch selber mal ausprobieren mit Gemüse. Wenn man diese Art zu wachsen etwas schematisch darstellt erhält man folgendes Bild: Die 1. Blätter sind außen. Blatt Nummer 0 ist hier, um den goldenen Winkel versetzt ist Blatt Nummer 1, um wieder den goldenen Winkel versetzt ist Blatt Nummer 2. Blatt Nummer 3 ist hier. Blatt Nummer 4 ist hier und Nummer 5 ist hier. Blatt Nummer 6 ist hier und ab hier geht es immer so weiter, bis man irgendwann im Mittelpunkt des Kreises angelangt ist. Man kann hier Linien aus nebeneinanderliegenden Punkten erkennen. Hier zum Beispiel und hier, nur nicht richtig gut, dazu müsste man viel mehr Punkte hinzukonstruieren, aber man kann wohl erkennen, dass sich diese Linien spiralförmig um den Mittelpunkt anordnen. Die Punkte, die nebeneinander liegen, gehören zu bestimmten Zahlen, nämlich zu Zahlen, deren Differenz die Fibonacci-Zahlen sind, denn es können nur Punkte nebeneinanderliegen, wenn das Vielfache des goldenen Winkels in der Nähe eines Vielfachen von 360° liegt. Das kann man hier sehen: Das n-fache des goldenen Winkels soll ungefähr dem m-fachen des 360°-Winkels entsprechen. Ψ=360°/Φ und diese Gleichung umgeformt ergibt das hier. Wenn wir hier Fibonacci-Zahlen einsetzen, kommen wir in die Nähe des tatsächlichen Wertes von Φ. Um zu zeigen, dass es nicht nur bloße Theorie ist, habe ich eine Sonnenblume mitgebracht. Ich zeige jetzt die Linien von gerade. Hier sind auch Linien und in diese Richtung auch. Hättest du nicht gedacht, dass in der Sonnenblume Fibonacci-Zahlen sind, oder?

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. EIn echt gelungenes Video! Eine gut zur Schaustellung von einem nicht immer ganz einfach zu verstehendem Phänomen. Nur eines ist erwähnenswert:

    Die Fibonacci-Spiralen sind zwar bildhaft rübergekommen, aber das tiefere Verständnis wurde vorrausgesetzt. Was bedeutet letztenendes ein die 55 neben der Spirale einer Sonnenblume? Das konnte ich mir daraus nicht erklären.

    Eine sehr empfehlenswert Seit die diese Frage beantwortet und völlig nach eurem didaktischen Konzept geht ist:
    http://www.math.smith.edu/phyllo//

    Ansonsten wie gesagt sehr schön!

    lg

    Von Yusith, vor mehr als 10 Jahren

Goldener Schnitt – Alltagsbeispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Goldener Schnitt – Alltagsbeispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem goldenen Schnitt an.

    Tipps

    Der goldene Schnitt ist gegeben durch

    $\frac{1+\sqrt5}2$.

    Schau dir die obigen ersten Folgenglieder der Fibonacci-Folge an.

    Was fällt dir auf?

    Die Folgenglieder der Fibonacci-Folge werden immer größer.

    Auch die Differenz der Folgenglieder wird immer größer.

    Lösung

    Wenn man die Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder der Fibonaccifolge bildet, so nähert sich dieser bei immer größer werdendem $n$ dem goldenen Schnitt an:

    $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1+\sqrt5}2$

    • $\frac{1}{1}=1$
    • $\frac{2}{1}=2$
    • $\frac{3}{2}=1,5$
    • $\frac{5}{3}=1,\bar6$
    • $\frac{8}{5}=1,6$
    • $\frac{13}{8}=1,625$
    • $\frac{21}{13}\approx 1,61538$
    Wenn man für ein entsprechend großen Folgenindex annimmt, dass dieser Quotient gleich ist, erhält man

    $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_{n-1}}$.

    Mit der oben angegebenen Bildungsvorschrift $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$ erhält man

    $\frac{a_n+a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_{n-1}}$. Dies ist äquivalent zu

    $1+\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_{n-1}}$.

    Sei das (dann) gleiche Verhältnis $\frac{a_n}{a_{n-1}}=z$, so führt dies zu der Gleichung

    $1+\frac1z=z$.

    Multiplikation mit $z$ und Äquivalenzumformungen führen zu der quadratischen Gleichung $z^2-z-1=0$, welche mithilfe der pq-Formel gelöst werden kann. Die (positive) Lösung lautet

    $z=\frac{1+\sqrt5}2=1,618033988...$,

    der goldene Schnitt.

  • Beschreibe, wie man den goldenen Winkel finden kann.

    Tipps

    Unter dem goldenen Schnitt versteht man eine Aufteilung einer Strecke $s$ in zwei Teilstrecken, eine längere $s_g$ und eine kürzere $s_k$, welche die folgende, hier abgebildete Eigenschaft erfüllt.

    Das entsprechende Verhältnis wird als goldener Schnitt bezeichnet.

    Eine quadratische Gleichung, $x^2+px+q=0$ löst man mit der pq-Formel:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Um vorteilhaft zu rechnen, sollte man ein paar Tricks auf Lager haben.

    Lösung

    Der Kreiswinkel $360^\circ$ wird so aufgeteilt, dass das Verhältnis des großen Winkels zu dem kleinen Winkel ebenso groß ist wie das Verhältnis des gesamten Winkels zu dem großen Winkel. Dieses Verhältnis sei $\phi$. So erhält man die Gleichung

    $\frac{\psi_g}{\psi_k}=\frac{360^\circ}{\psi_g}=\frac{\psi_g+\psi_k}{\psi_g}=1+\frac{\psi_k}{\psi_g}$.

    Das gesuchte Verhältnis erfüllt also die Gleichung $z=1+\frac1z$. Durch Multiplikation mit $z$ und Äquivalenzumformungen erhält man die quadratische Gleichung

    $z^2-z-1=0$.

    Mit Hilfe der pq-Formel erhält man die beiden Lösungen

    $\begin{array}{rcl} z_{1,2}&=&-\frac{-1}2\pm\sqrt{\left(\frac{-1}2\right)^2-(-1)}\\ &=&\frac12\pm\sqrt{\frac54}\\ &=&\frac{1\pm\sqrt 5}{2} \end{array}$

    Die gesuchte Lösung ist die positive von beiden: $z=\frac{1+\sqrt5}2$. Dies entspricht dem oben angegebenen $\phi$.

    Es ist $\frac{360^\circ-\psi_k}{\psi_k}=\phi$.

    Wenn wir mit $\psi_k$ multiplizieren und anschließend $\psi_k$ addieren, ist dies äquivalent zu

    $360^\circ=\psi_k\cdot \phi+\psi_k=(1+\phi)\psi_k$.

    Division durch $1+\phi$ führt zu

    $\frac{360^\circ}{1+\phi}=\psi_k\approx 137.5^\circ$.

    Hier wurde der bekannte Wert für $\phi$ eingesetzt.

    Der goldene Winkel ist dann gegeben durch $\psi\approx 137,5^\circ$.

  • Entscheide, welche der Winkel durch Addition des goldenen Winkels entstehen.

    Tipps

    Addiere jeweils auf den gegebenen Winkel $137,5^\circ$.

    Wenn der Winkel plus ein Vielfaches des goldenen Winkels den gesamten Winkel von $360^\circ$ überschreitet, subtrahiere $360^\circ$.

    Zum Beispiel ergibt sich startend bei $34^\circ$

    • $34^\circ+137.5^\circ=171,5^\circ$,
    • $171,5^\circ+137,5^\circ=309^\circ$,
    • $309^\circ+137,5^\circ=446,5^\circ$ $\rightarrow$ $86,5^\circ$.

    Es sind jeweils die ersten drei Winkel gegeben, die sich durch entsprechend häufiges Addieren des golden Winkels ergeben.

    Lösung

    Bei einem Kopfsalat sind die Blätter so angeordnet, dass immer der goldene Winkel dazwischen liegt.

    Wird der gesamte Winkel $360^\circ$ überschritten, so wird der Winkel $360^\circ$ subtrahiert. Zum Beispiel lautet der Winkel $410^\circ$ stattdessen $410^\circ-360^\circ=50^\circ$.

    Startet man zum Beispiel bei $12^\circ$ ergibt sich:

    • $12^\circ+137.5^\circ=149,5^\circ$,
    • $149,5^\circ+137,5^\circ=287^\circ$,
    • $287^\circ+137,5^\circ=424,5^\circ$ $\rightarrow$ $64,5^\circ$.
    Wenn man mit dem Winkel $56^\circ$ startet, gelangt man zu:
    • $56^\circ+137.5^\circ=193,5^\circ$,
    • $193,5^\circ+137,5^\circ=331^\circ$,
    • $331^\circ+137,5^\circ=468,5^\circ$ $\rightarrow$ $108,5^\circ$.

  • Prüfe, bei welchen Anordnungen die Winkel nach dem goldenen Winkel angeordnet sind.

    Tipps

    Beachte, dass zwischen zwei aufeinander folgenden Markierungen, zum Beispiel $3$ und $4$, der goldene Winkel liegen muss.

    Denke an das Beispiel mit der Rose. Die Blüten, die aufeinander folgen, sind immer um den gleichen Winkel versetzt.

    Der goldene Winkel ist größer als $90^\circ$, der rechte Winkel, und kleiner als $180^\circ$, der gestreckte Winkel.

    Lösung

    Hier ist das Bild zu sehen mit der entsprechenden Anordnung der Markierungen.

    Beginnend bei $1$ gelangt man über den goldenen Winkel $137,5^\circ$ zu $2$, von dort wieder über den goldenen Winkel zu $3$ und so weiter.

    Die jeweils anderen Bilder kann man ausschließen, wenn man die aufeinander folgenden Markierungen betrachtet. Dass der Winkel, der die Markierungen unterscheidet, nicht $137,5^\circ$ ist, erkennt man daran, dass der Winkel entweder deutlich kleiner ist als der rechte Winkel $90^\circ$ oder nahe bei beziehungsweise größer als der gestreckte Winkel $180^\circ$.

  • Bestimme die Glieder der Fibonacci-Folge.

    Tipps

    Zum Beispiel ist $a_2=a_1+a_0=1+0=1$.

    Beachte, dass die Folgeglieder immer größer werden.

    Je größer der Folgenindex, desto größer das Folgenglied.

    Du musst die vorherigen beiden Folgenglieder $a_{n-1}$ sowie $a_n$ kennen, um $a_{n+1}$ zu berechnen.

    Es ist $a_4=3$ und $a_6=8$.

    Lösung

    Der goldene Schnitt und die Fibonacci-Folge haben einen Zusammenhang:

    Der Quotient zweier aufeinander folgender Folgenglieder nähert sich dem goldenen Schnitt an. Mathematisch ausgedrückt ist dies in der Abbildung.

    Nun kann man sich die Folgenglieder der Fibonacci-Folge genauer anschauen.

    • $a_0=0$
    • $a_1=1$
    • $a_2=a_1+a_0=1+0=1$
    • $a_3=a_2+a_1=1+1=2$
    • $a_4=a_3+a_2=2+1=3$
    • $a_5=a_4+a_3=3+2=5$
    • $a_6=a_5+a_4=5+3=8$
    • $a_7=a_6+a_5=8+5=13$
    • $a_8=a_7+a_6=13+8=21$
    Bereits $\frac{a_8}{a_7}= 1.61538461538$ liegt ganz in der Nähe des goldenen Schnittes.

  • Berechne das Verhältnis des kleineren Winkels zu dem größeren.

    Tipps

    Lösung

    Man kann bei der Untersuchung des goldenen Schnitts nicht nur das Verhältnis der jeweils größeren Strecke zu der kleineren betrachten. Auch das umgekehrte Verhältnis ist von Interesse.

    Auch diese Quotienten müssen gleich sein.

    Es ist also $\tau=\frac{\psi_k}{\psi_g}=\frac{\psi_g}{360^\circ}$.

    Da $\psi_k+\psi_g=360^\circ$ ist, erhält man

    $\frac{\psi_k}{\psi_g}=\frac{\psi_g}{\psi_g+\psi_k}=\frac{1}{\frac{\psi_g+\psi_k}{\psi_g}}=\frac1{1+\frac{\psi_k}{\psi_g}}$.

    Mit $\tau=\frac{\psi_k}{\psi_g}$ erhält man $\tau=\frac{1}{1+\tau}$. Durch Multiplikation mit $1+\tau$ gelangt man zu

    $\tau(1+\tau)=1$ $\Leftrightarrow$ $\tau^2+\tau=1$.

    Subtraktion von $1$ führt zu

    $\tau^2+\tau-1=0$.

    Mit Hilfe der pq-Formel erhält man die Lösungen

    $\begin{array}{rcl} \tau_{1,2}&=&-\frac12\pm\sqrt{\left(\frac12\right)^2+1}\\ &=&-\frac12\pm\sqrt{\frac54} \end{array}$

    Die positive der beiden Lösungen ist

    $\tau_1=\frac{-1+\sqrt5}2\approx0,618$.

    Übrigens: Dies ist der Kehrwert des goldenen Schnitts:

    $\begin{array}{rclll} \frac1{\frac{1+\sqrt5}2}&=&\frac2{1+\sqrt{5}}&|&\text{ Erweitern mit }1-\sqrt5\\ &=&\frac{2(1-\sqrt5)}{1-5}\\ &=&-\frac{2(1-\sqrt5)}{4}\\ &=&-\frac{1-\sqrt5}{2}\\ &=&\frac{-1+\sqrt5}2 \end{array}$

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