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Ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen – Verhalten im Unendlichen 05:56 min

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Transkript Ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen – Verhalten im Unendlichen

Hallo! In diesem Video möchte ich euch erklären, wie sich ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen im Unendlichen verhalten. Und zwar möchte ich da nicht nur die Regeln erklären, sondern auch so ein bisschen, wie man darauf kommt. Fangen wir mal mit dieser ganzrationalen Funktion hier an. Wenn da jetzt x->∞ strebt, gehen die einzelnen x-Exponenten alle gegen ∞, das haben wir bei den Grenzwertsätzen gesehen, von denen werden aber einige addiert und einige subtrahiert. Und da haben wir auch bei den Grenzwertsätzen schon gesagt, da können wir nicht so einfach bestimmen, was da rauskommt. Um das Ganze mal ein bisschen anders zu betrachten, klammern wir jetzt mal die höchste Potenz aus, also x4, und dann streben nämlich die ganzen hinteren Summanden und Subtrahenden gegen 0, weil die x-Potenzen da im Nenner stehen, nur die 1 bleibt. Das wäre also dann = dem Limes von x4 für x->∞ ×1 und da kommt ∞ raus. Ganzrationale Funktionen streben im Unendlichen also immer gegen +∞ oder -∞. Das Vorzeichen, das muss man nun noch bestimmen. Und da gibt es 3 Regeln. 1. man braucht nur auf die höchste Potenz zu achten, 2. muss man schauen, ob deren Hochzahl gerade oder ungerade ist, und 3. muss man noch schauen, ob die ein positives oder negatives Vorzeichen hat. Nehmen wir mal als Beispiel diese Funktion. Da ist die höchste Potenz x8, die hat eine gerade Hochzahl und als Vorzeichen ein +. Strebt also jetzt x->+∞, geht auch x8->+∞ und da das Vorzeichen ein + ist, bleibt es auch bei +∞. Für x->-∞ geht x8 auch ->+∞, weil eine gerade Anzahl von Minussen sich immer aufhebt zu Plus. Und da das Vorzeichen ein + ist, ändert sich daran auch nichts mehr. Der Grenzwert der Funktion für x->±∞ ist also +∞. Bei der nächsten Funktion ist die höchste Potenz x5, die Hochzahl ist ungerade und das Vorzeichen ist -. Für x->∞ geht auch x5->∞, aber das - macht es zu -∞. Für x->-∞ geht x5 auch ->-∞, weil - hoch eine ungerade Zahl wieder - ist. Und das negative Vorzeichen macht daraus wieder +∞. Das kann man dann auch so aufschreiben. Bei dem x schreibt man zuerst das +, dann das -, und entsprechend schreibt man dann umgekehrt im Ergebnis erst -, dann +∞. Bei den gebrochen rationalen Funktionen fangen wir gleich mit diesem Beispiel an. Da geht für x->∞ sowohl der Zähler als auch der Nenner ->∞. Und da haben wir bei den Grenzwertsätzen gesagt, da können wir nicht genauer bestimmen, was da rauskommt. Da gibt es jetzt folgenden Trick: Auf welcher Seite ist die größte Potenz kleiner? Und diese Potenz wird dann auf beiden Seiten ausgeklammert. Hier ist oben x3 und unten x5 die größte, davon ist x3 kleiner, also klammern wir auf beiden Seiten x3 aus. Beim Grenzprozess können wir dann die beiden x3 Terme vorne wegkürzen und die hinteren Termen, die gehen alle gegen 0, weil die x-Potenzen da im Nenner stehen. Es bleibt also nur Limes für x->∞ von 1/x2 übrig und das ist 0. Daraus kann man jetzt eine allgemeine Regel formulieren: Vergleiche den größten Exponenten im Zähler mit dem größten Exponenten im Nenner. Ist der im Nenner größer, strebt die Funktion für x->+∞ und x->-∞ gegen 0. Was ist, wenn jetzt die beiden größten Exponenten gleich groß sind? Dann können wir wieder die beiden höchsten Potenzen ausklammern. Das sieht dann so aus. Und für x->∞ gehen die hinteren Terme wieder gegen 0, die ausgeklammerten kürzen sich weg und was übrig bleibt, ist -2/7, also genau die beiden Zahlen, die vorne vor den x2-Termen standen. Und damit haben wir folgende Regel: Sind die beiden größten Exponenten gleich groß, so ist der Grenzwert im positiv oder negativ Unendlichen der Quotient aus den beiden Koeffizienten vor den höchsten Potenzen. Also hier -2/7. Und schließlich der Fall, wo der größte Exponent im Zähler ist. Da wird wieder die größte Potenz der anderen Seite, also in diesem Fall des Nenners, ausgeklammert. Das wäre also hier dann die x5, beim Grenzprozess kürzen wir die x5-Terme weg, die hinteren Summanden gehen wieder gegen 0 und was übrig bleibt, ist der Grenzwert für x->∞ von -(x2)/1 und das ist -∞. Die Regel lautet also: Ist der größte Exponent im Zähler, strebt die Funktion gegen + oder -∞. Das Vorzeichen bestimmt sich aus den Hochzahlen der größten Potenzen und deren Vorzeichen. Also genauso, wie wir das schon bei den ganzrationalen Funktionen gemacht haben. Hier hätten wir also für x->+∞ bei x7 ein +, wegen dem - wird daraus ein -, und bei x5 hätten wir auch ein + und das bleibt, und -/+ ergibt -, da haben wir also -∞. Für x->-∞ ergibt sich bei x7 ein -, wegen dem -, was davor steht, wird daraus wieder ein +, und im Nenner haben wir wegen ^5 ein -, +/- ergibt dann -, also ist das Ergebnis -∞. Ja, und mit diesen Regeln könnt ihr also jetzt von jeder gebrochen rationalen Funktion das Verhalten im positiv oder negativ Unendlichen bestimmen. Das war's.

15 Kommentare
  1. @Santhosh:
    Hast du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat? Dann könntest du dort um Hilfestellung bei dieser Aufgabe bitten.
    Ich hoffe, dass wir dir noch weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  2. Aufgabe Nr 2 macht keinen sinn

    Von Santhosh, vor etwa einem Jahr
  3. Schnell sein Dad erklärt.

    Von Beate Toscano, vor etwa einem Jahr
  4. bestes video zu diesem Thema !

    Von Moritzm99, vor mehr als 4 Jahren
  5. Hätte nicht gedacht, dass das Thema so einfach erklärt werden kann. Respekt!

    Von Ro Huebsch, vor fast 6 Jahren
  1. super ! danke für die tolle Erklärung

    Von Yasminadam, vor mehr als 6 Jahren
  2. Klasse Video... endlich ein wenig was verstanden, auch wenn es ein bisschen flott zugeht!

    Von Kate Accident, vor mehr als 6 Jahren
  3. Hallo WOlfshunter,

    Schreibe den Bruch als Summe zweier Brüche: 2^n/2^(n-1) + 1/2^(n-1). Dann müsstest du schnell sehen, was die einzelnen Grenzwerte sind. (Tipp: ersten Bruch kürzen)

    Von Steve Taube, vor mehr als 6 Jahren
  4. Ein absolutes TOP-Video!

    Von Paul Guido, vor mehr als 6 Jahren
  5. wie kann man das lösen bitte
    lim n sterbt gegen unedlisch (2^n-1)/2^(n-1)
    danke in voraus

    Von Wolfshunter, vor mehr als 6 Jahren
  6. Super Video und die Geschwindigkeit passt auch :)

    Von Anthreep, vor fast 7 Jahren
  7. also ich find das Video genial danke Steve ;)

    Von Christian O., vor fast 7 Jahren
  8. also ich find das Video genial danke Steve ;)

    Von Christian O., vor fast 7 Jahren
  9. jap, ist echt spitze - aber zu schnell!

    Von Deleted User 45112, vor fast 7 Jahren
  10. sehr gut erklärt, aber leider zu schnell .-!!!

    Von Majid, vor fast 7 Jahren
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Ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen – Verhalten im Unendlichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen – Verhalten im Unendlichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie der Grenzwert von ganzrationalen Funktionen bestimmt werden kann.

    Tipps

    Beachte, dass $\lim\limits_{x\to\infty} x^n=\infty$ für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt.

    Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{Z}{x^n}=0$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $Z\in\mathbb{R}$.

    Wenn ein Faktor gegen eine feste Zahl und der andere gegen $\infty$ strebt, dann strebt das Produkt gegen $\infty$.

    Lösung

    Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-5x^3+7x^2-8x+9$. Wenn du die einzelnen Grenzwerte $\lim\limits_{x\to\infty}$ der Potenzen betrachtest, stellst du fest, dass sowohl $+\infty$ als auch $-\infty$ dabei herauskommt. Du kannst so also nicht entscheiden, wogegen die ganzrationale Funktion strebt.

    Ein möglicher Trick ist es nun, die Potenz mit dem höchsten Exponenten auszuklammern. Du erhältst:

    $f(x)=x^4\cdot\left(1-\frac5x+\frac7{x^2}-\frac8{x^3}+\frac9{x^4}\right)$

    Schau dir nun zunächst den Grenzwert für den Term in der Klammer an:

    $\lim\limits_{x\to \infty}\left(1-\frac5x+\frac7{x^2}-\frac8{x^3}+\frac9{x^4}\right)=1-0+0-0+0=1$

    Warum ist das so? Wenn du eine feste Zahl durch eine Potenz in $x$ dividierest, geht der resultierende Term gegen $0$, wenn $x$ gegen $\infty$ geht.

    Da $\lim\limits_{x\to\infty} x^4 = \infty$ gilt, erhältst du auch insgesamt:

    $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$

    Aus diesem Ergebnis kannst du die Erkenntnis ziehen, dass bei ganzrationalen Funktionen der Summand mit dem größten Exponenten ausschlaggebend ist, wenn es um das Verhalten im Unendlichen geht.

  • Bestimme den höchsten Exponenten im Zähler- sowie im Nennerterm.

    Tipps

    Beachte: Üblicherweise werden bei ganzrationalen Funktionen die Potenzen der Größe nach geordnet. Dann steht die größte Potenz ganz links.

    Dies ist in den angegebenen Beispielen nicht der Fall.

    Schau dir ein Beispiel an. Die Funktion $f$ mit $f(x)=3x-4x^2+2x^7$ hat die höchste Potenz $x^7$.

    Die höchste Potenz ist eindeutig. Du erkennst sie an dem größten Exponenten.

    Zum Beispiel ist $x^5$ eine größere Potenz als $x^2$, da $5>2$ ist.

    Lösung

    Wenn du eine ganzrationale Funktion auf ihr Verhalten im Unendlichen untersuchen willst, musst du dir zunächst die höchste Potenz anschauen. Dann kannst du den entsprechenden Grenzwert gemäß der dargestellten Tabelle bestimmen.

    Eine Potenz hat die Form $x^n$. Dabei spricht man von der höchsten Potenz, wenn der Exponent, also $n$, am größten ist.

    Schauen wir uns einmal zwei Beispiele dazu an:

    1. Die höchste Potenz von $f(x)=2x^3-x^5+x-8+3x^8$ ist $x^8$.
    2. Die höchste Potenz von $f(x)=2x^4+3-7x^5$ ist $x^5$.
    Hinweis: Auch bei der Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen musst du die höchste Potenz untersuchen. Dabei betrachtest du diese sowohl im Zähler- als auch im Nennerterm.

  • Fasse die Grenzwerte bei ganzrationalen Funktionen in einer Tabelle zusammen.

    Tipps

    Schau dir das Beispiel $f(x)=x^2$ an. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Parabel.

    • Wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst, ist das Ergebnis positiv.
    • Wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst, ist das Ergebnis negativ.

    Hier siehst du zum Beispiel den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3$. Der größte (und einzige) Exponent ist ungerade.

    Beim geraden höchsten Exponenten stimmen die Grenzwerte für $x\to\infty$ und $x\to-\infty$ überein. Beim ungeraden höchsten Exponenten ändert sich das Verhalten.

    Lösung

    Hier siehst du die komplette Tabelle. Schreibe dir diese auf, dann kannst du die Grenzwerte immer direkt angeben.

    Ganzrationale Funktionen streben für $x\to\infty$ beziehungsweise $x\to-\infty$ immer gegen $+\infty$ oder $-\infty$.

    Du musst also jeweils entscheiden, welches Vorzeichen der Grenzwert hat. Dies hängt vom höchsten Exponenten sowie dem höchsten Koeffizienten ab.

    Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion siehst du hier:

    $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

    Der höchste Exponent ist $n$ und der Koeffizient der größten Potenz ist $a_n$. Es muss $a_n\neq 0$ gelten.

    Du kannst nun die folgenden zwei Fälle (mit je zwei Fällen) unterscheiden:

    Exponent in der höchsten Potenz gerade

    Da eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert eine positive Zahl ergibt, folgt:

    • $a_n>0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$
    • $a_n<0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
    Exponent in der höchsten Potenz ungerade

    Da eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert eine negative Zahl ergibt, folgt:

    • $a_n>0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
    • $a_n<0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$
  • Leite den Grenzwert der gebrochenrationalen Funktionenschar in Abhängigkeit von Parameterwerten her.

    Tipps

    Schreibe für die jeweils gegebenen Parameter den Funktionsterm auf.

    In dem ersten und zweiten Fall ist die höchste Potenz im Zählerterm sowie im Nennerterm gleich groß.

    Der Grenzwert ergibt sich als Quotient der zugehörigen Koeffizienten.

    • Wenn die höchste Potenz im Zählerterm größer ist als die im Nennerterm, geht die gebrochenrationale Funktion gegen $\pm\infty$.
    • Wenn die höchste Potenz im Zählerterm kleiner ist als die im Nennerterm, geht die gebrochenrationale Funktion gegen $0$.
    Lösung

    Je nachdem, wie die Parameter $a$ und $b$ gewählt werden, können die Funktionen dieser Schar im Grenzwertverhalten verschieden sein.

    Erster Fall: $a\in\mathbb{R}$, $a\neq 0$ sowie $b\in\mathbb{R}$

    Die höchste Potenz im Zähler- wie im Nennerterm ist $x^2$. Dann kann der Grenzwert wie folgt berechnet werden:

    $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{ax^2+bx+3}{2ax^2+x}\right)=\dfrac{a}{2a}=\dfrac12$

    Zweiter Fall: $a=0$ und $b\in\mathbb{R}$, $b\neq 0$

    Dieses Mal ist $f_{0;b}(x)=\dfrac{bx+3}{x}$. Die höchste Potenz im Zähler- wie im Nennerterm ist jeweils $x$. Du kannst nun den Grenzwert wieder als Quotient der zugehörigen Koeffizienten berechnen:

    $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{bx+3}{x}\right)=\dfrac{b}{1}=b$

    Dritter Fall: $a=b=0$

    Es ist $f_{0;0}(x)=\dfrac{3}{x}$. Da die höchste Potenz im Zählerterm kleiner ist als die im Nennerterm, gilt:

    $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{3}{x}\right)=0$

  • Beschreibe, wie der Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion bestimmt wird.

    Tipps

    Beachte, dass $\dfrac1{x^n}$ für $x\to\pm\infty$ gegen $0$ geht. Dabei ist der Exponent $n\in\mathbb{N}$.

    Schau dir ein Beispiel für übereinstimmende höchste Potenzen an:

    $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{2x^2}{3x^2}=\frac{2}{3}$

    Zum Beispiel geht $f(x)=\dfrac{x^3+1}{-x+2}$ für $x\to \infty$ gegen $-\infty$.

    Lösung

    Betrachte die gebrochenrationale Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung:

    $f(x)=\frac{x^3-2x^2+1000}{x^5-6x+1}$

    Du siehst, dass für $x\to\infty$ sowohl der Term im Zähler als auch der im Nenner gegen $\infty$ geht. Du kannst also die Grenzwertsätze zur Berechnung des Grenzwertes von Quotienten nicht anwenden.

    Wenn du nun sowohl im Zählerterm als auch im Nennerterm $x^3$, also die kleinere der beiden jeweiligen größten Potenzen, ausklammerst, erhältst du:

    $f(x)=\dfrac{x^3\cdot\left(1-\frac2x+\frac{1000}{x^3}\right)}{x^3\cdot\left(x^2-\frac6{x^2}+\frac1{x^3}\right)}$

    Du kannst die Potenz $x^3$ nun kürzen und kommst so zu:

    $f(x)=\dfrac{1-\frac2x+\frac{1000}{x^3}}{x^2-\frac6{x^2}+\frac1{x^3} }$

    Für $x\to\infty$ geht der Term im Zähler gegen $1$ und der im Nenner gegen $\infty$. Insgesamt gilt also:

    $\lim\limits_{x\to\infty}=0$

    In diesem Beispiel ist die höchste Potenz im Zählerterm $(x^3)$ kleiner als die im Nennerterm $(x^5)$.

    Du kannst ganz allgemein drei Fälle unterscheiden. Hierfür schauen wir uns eine allgemeine gebrochenrationale Funktion $f$ an:

    $f(x)=\dfrac{a_nx^n+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+...+b_1x+b_0}$

    Dabei muss sowohl $a_n\neq 0$ als auch $b_m\neq0$ gelten.

    Erster Fall: Die höchste Potenz im Zählerterm ist kleiner als die im Nennerterm (also $n<m$). Dann gilt: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.

    Zweiter Fall: Die höchste Potenz im Zählerterm ist gleich der im Nennerterm (also $n=m$). Dann gilt: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{a_n}{b_m}$, der Quotient der beiden höchsten Koeffizienten.

    Dritter Fall: Die höchste Potenz im Zählerterm ist größer als die im Nennerterm (also $n>m$). Dann gilt: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty$.

    Wie kommst du zu dem Vorzeichen? Betrachte die Vorzeichen von $a_n$ sowie $b_m$. Sind beide identisch, ist der Grenzwert $+\infty$ und andernfalls $-\infty$.

  • Ermittle jeweils den Grenzwert der Funktion.

    Tipps

    Ganzrationale Funktionen streben für $x\to\infty$ beziehungsweise $x\to-\infty$ immer gegen $+\infty$ oder $-\infty$.

    Die allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion $f$ sei:

    $f(x)=\frac{a_nx^n+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+...+b_1x+b_0}$, $a_n\neq 0$ sowie $b_m\neq0$

    Du unterscheidest für das Verhalten im Unendlichen folgende Fälle:

    1. $n<m$, dann gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$
    2. $n=m$, dann gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{a_n}{b_m}$
    3. $n>m$, dann gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty$

    Falls $n>m$ ist, entscheidest du das Vorzeichen des Grenzwertes wie folgt: Schau dir die Vorzeichen von $a_n$ sowie $b_m$ an. Sind beide identisch, ist der Grenzwert $+\infty$ und andernfalls $-\infty$.

    Lösung

    Zunächst schauen wir uns die beiden Beispiele der ganzrationalen Funktionen an. Hier ist jeweils die höchste Potenz und der zugehörige Koeffizient ausschlaggebend.

    Beispiel 1: $f(x)=\frac12x^4-x^2+3x-234$

    • Die höchste Potenz ist $x^4$ mit einem geraden Exponenten $4$.
    • Der zugehörige Koeffizient ist $\frac12>0$.
    Damit gilt $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$.

    Beispiel 2: $f(x)=-3x^7+5x^5+3x^2-13,5x$

    • Die höchste Potenz ist $x^7$ mit einem ungeraden Exponenten $7$.
    • Der zugehörige Koeffizient ist $-3<0$.
    Somit ist $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$.

    Kommen wir nun zu zwei weiteren Beispielen. Dieses Mal schauen wir uns gebrochenrationale Funktionen an.

    Beispiel 3: $f(x)=\dfrac{5x^2+2x-8}{-x^2-27356x+12345}$

    Die höchste Potenz des Zählerterms ist $x^2$ und die des Nennerterms ebenfalls. Das bedeutet, dass die Funktion gegen den Quotienten der zugehörigen Koeffizienten geht:

    $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{5}{-1}=-5$

    Beispiel 4: $f(x)=\dfrac{-x^3+2x^4+10x}{0,5x^5-20x^4+x^3}$

    Die höchste Potenz des Zählerterms ist $x^4$ und die des Nennerterms $x^5$. Da die Potenz des Nennerterms größer ist als die des Zählerterms, folgt:

    $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$