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Faktorregel bei Ableitungen 08:32 min

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Transkript Faktorregel bei Ableitungen

Hallo. Die Faktorregel der Differenzialrechnung sieht so aus. Wir haben eine Funktion f(x). So, genauer gesagt müsste man natürlich hier das als Funktionsterm bezeichnen. f(x) bezeichnet ja einen Funktionsterm. Ich sag jetzt aber einfach mal Funktion. Ich glaube das passt in dem Zusammenhang schon. Wir haben also eine Funktion f(x) und die wird mit einem konstanten Faktor k multipliziert. k steht also für irgendeine Zahl.

Wenn man eine solche Funktion, die aus Zahl mal Funktionsterm besteht, ableiten möchte, dann bezeichnet man das erst mal so mit der Klammer drum. Hier mit dem Strich dran. Die Ableitungsfunktion ist dann k×f'(x). Das bedeutet, man muss einfach diese Funktion f(x) hier ableiten. Erhält f'(x). Was immer das sein mag. Das ist egal. Und den Faktor, der hier gestanden hat, also diese Zahl, die muss man hier wieder davorschreiben. Das ist schon alles.

Konkret bedeutet das: Wir nehmen uns eine Funktion f(x), die soll jetzt mal 3x2 sein. Dann können wir feststellen, wir haben die Funktion x2 hier. Also die hier. Und die wird multipliziert mit einer Zahl. Also einem konstanten Faktor k, nämlich der 3. Wir können die Ableitung f' bestimmen. Genauer gesagt die Ableitungsfunktion. Indem wir die 3 wieder hinschreiben und dann mit der Ableitung von x2 multiplizieren. Die Ableitung von x2 hast du vielleicht schon gemacht bei der Potenzregel, ist 2x. Also haben wir dann hier als Ganzes 3×2x stehen. Und das fasst man natürlich zusammen zu 6x. Also 6x ist der Term der Ableitungsfunktion mit dem Funktionsterm 3x2. Oder man sagt einfach die Ableitung von 3x2=6x.

Wir können auch das mit einer anderen Funktion probieren. Es soll f(x)=99×x100 sein. Warum nicht. Dann erhalten wir hierzu die Ableitungsfunktion, indem wir die Potenzregel und die Faktorregel anwenden. Zunächst mal stellen wir fest, wir haben hier eine Potenzfunktion. Nämlich x100. Diese Potenzfunktion wird mit einer konstanten Zahl, nämlich 99, multipliziert. Das bedeutet, wenn wir das ganze Ableiten wollen, also die Ableitungsfunktion bestimmen wollen, dann müssen wir erst mal hier den Faktor 99 wieder hinschreiben. Und die Ableitung von x100 bilden. Laut Potenzregel ist die Ableitung von x100=100×x99. Also haben wir hier jetzt ×100×x99 stehen. Und das fasst man natürlich zusammen. Ich erlaub mir das jetzt Mal so. Das ist also, wenn wir 2 Nullen noch hier dranhängen 9900×x99. Ist dann die Ableitung von 99×x100. Das geht auch mit allen möglichen anderen Zahlen. Ja mit Zahlen auch, aber es geht auch mit allen möglichen anderen Funktionen. Da sind der Fantasie keine Grenzen gesetzt. Ich weiß nicht, inwieweit du welche Funktionen schon besprochen hast.

Ich zeige einfach nur noch mal hier ein bis zwei Beispiele. Wir könnten zum Beispiel 26×\sqrtx nehmen. \sqrtx ist ja nichts anderes als x^½. Das heisst wir hätten hier 26×x^½. Das ist wieder eine Funktion dieser Form. Denn wir haben eine Zahl, die hier vorne steht und die Zahl wird mit einem Term multipliziert. Das ist hier auch der Fall. Hier ist der Funktionsterm und da ist die Zahl. Also wenn wir das Ableiten wollen, f'(x) bestimmen wollen, müssen wir einfach die 26 wieder hinschreiben und dann \sqrtx bzw. x^½ ableiten. Das ist ½×x^-½. Laut Potenzregel kann man das so machen. Und im Ganzen ist das dann, 26×½=13, 13×x^-½. Und ich möchte das diesmal etwas anders schreiben: 13×1÷\sqrtx. Denn x^-½=1÷\sqrtx. Hier noch mal kurz als kleine Wiederholung.

Man kann auch alles mögliche andere einsetzen. Ja wenn du jetzt diese Funktionen, die ich zeige, noch nicht gehabt hast, ist das völlig egal. Ich wollte nur das Prinzip zeigen. Wenn wir zum Beispiel -0,5×sinx als Funktionsterm haben hier. Ich glaube heute schreibt man mal wieder eine Klammer dazu. Manchmal schreibt man sin(x) mit und manchmal ohne Klammer. Jetzt hat es eine Klammer. f'(x) ist nach Faktorregel -0,5. Muss man wieder hinschreiben. Und dann folgt hier nach Sinus. Also die Ableitung von sin(x). Und wenn man keine Lust hat, das Hinzuschreiben oder das gerade nicht weiß, dann schreibt man einfach die Klammer hier drum und den Ableitungsstrich dran. Das bedeutet also -0,5×((sin(x))'.

Oder man kann auch die Ableitung von Exponentialfunktionen bestimmen. Zum Beispiel f(x)=9×ex. e ist die eulasche Zahl 2,7 irgendwas. Eine irrationale Zahl. Die Ableitung nach Faktorregel ist dann folgendermaßen: Wir müssen den Vorfaktor 9 einfach wieder hinschreiben. 9× Ableitung von ex. Und ich glaub das darf ich verraten: Die Ableitung von ex ist wieder ex. Ja das ist die ex Funktion, ist die Funktion, die gleich ihrer Ableitung ist. Also deren Funktionswerte gleich ihrer Ableitung sind. Hab hier also nur die Faktorregel angewendet und gewusst, dass ex die Ableitung von ex ist. Ja das war es zur Faktorregel. Viel Spaß damit, tschüss.

1 Kommentar
  1. Super Video! :D

    Von Marcel S., vor etwa 4 Jahren

Faktorregel bei Ableitungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Faktorregel bei Ableitungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Faktorregel.

    Tipps

    Die Ableitung von $4x^2$ ist $4\cdot 2x=8x$. Es gilt also:

    $f(x) = 4x^2 ~\rightarrow~ f'(x) = 4\cdot 2x=8x$.

    Unterscheide die Faktorregel von der Produktregel:

    $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

    Hier sind beide Faktoren Funktionen.

    Lösung

    Die Faktorregel zum Ableiten von Funktionen lautet

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Das bedeutet, dass eine Funktion $f(x)$ mit einer Zahl $k$ multipliziert wird. Beim Ableiten muss dann $f(x)$ abgeleitet und der Faktor wird als Faktor vor die Ableitung der Funktion geschrieben.

  • Gib die Ableitung der Funktion an.

    Tipps

    Verwende zur Ableitung von $x^{100}$ die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Die Faktorregel besagt, dass der Faktor vor der Funktion stehen bleibt und nur die Funktion abgeleitet wird.

    Lösung

    Mit Hilfe der Faktorregel können die Ableitungen von Produkten ausgerechnet werden, bei welchen einer der Faktoren eine Konstante ist:

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Es muss also eigentlich nur die Ableitung der Funktion $f(x)$ berechnet werden.

    Sei $f(x)=99\cdot x^{100}$, dann ist hier $k=99$. Es muss die Ableitung von $x^{100}$ berechnet. Diese ist mit der Potenzregel $100x^{99}$. Nun kann die Faktorregel verwendet werden und man erhält $f'(x)=99\cdot100x^{99}=9900x^{99}$.

    Man kann das Prinzip der Faktorregel auch recht gut sehen, wenn man formal die Ableitung der Funktion stehen lässt:

    $f(x)=-0,5\sin(x)$ kann mit der Faktorregel abgeleitet werden.

    $f'(x)=-0,5(\sin(x))'$.

  • Bestimme die Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Die Potenzregel zur Ableitung von Potenzfunktionen lautet $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Für die Faktorregel benötigst du die Ableitung der Funktion, welche mit dem Faktor multipliziert wird.

    Vereinfache den Ableitungsterm so weit als möglich.

    Lösung

    Um die Funktion $f(x)=3x^2$ abzuleiten, verwendet man

    • die Faktorregel $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ sowie
    • die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
    In diesem Beispiel ist $n=2$ und somit $(x^2)'=2x$. Mit der Faktorregel kann man nun wie folgt ableiten:

    $(3\cdot x^2)'= 3\cdot (x^2)'=3\cdot 2x=6x$.

  • Ermittle die Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Verwende zum einen die Faktorregel

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$

    und zum anderen die Potenzregel

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Du kannst den Faktor in der Ableitung kürzen.

    Verwende die dritte binomische Formel

    $n^2-1=(n+1)\cdot (n-1)$.

    Lösung

    Zum Ableiten der Funktion $f(x)=\frac 1{n-1}x^{n^2-1}$ benötigt man die Faktor- sowie die Produktregel.

    Mit der Faktorregel erhält man

    $f'(x)=\frac1{n-1}\cdot (x^{n^2-1})'$.

    Die Potenz kann mit der Potenzregel abgeleitet werden

    $(x^{n^2-1})'=(n^2-1)\cdot x^{n^2-2}$.

    Gesamt erhält man also die folgende Ableitung

    $f'(x)=\frac{(n^2-1)}{n-1} \cdot x^{n^2-2} = \frac {(n+1)\cdot (n-1)}{(n-1)}\cdot x^{n^2-2}=(n+1)\cdot x^{n^2-2}$.

  • Leite die Funktionen jeweils einmal ab.

    Tipps

    Verwende zur Ableitung von Potenzfunktionen die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Es gilt

    $(\sqrt x)'=\frac 1{2\sqrt x}$.

    Lösung

    Wenn man ein Produkt ableiten muss, bei welchem einer der Faktoren eine Konstante ist, so genügt es, die Funktion, welche nicht konstant ist, abzuleiten. Dies ist die Aussage der Faktorregel:

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Es soll die Funktion $2\cdot \sqrt x$ abgeleitet werden. Der Faktor ist $2$. Die Ableitung von $\sqrt x$ ist gegeben durch $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$. Unter Verwendung der Faktorregel erhält man somit:

    $\left(2\cdot \sqrt x\right)'=\frac 1{\sqrt x}$.

    Für die anderen Funktionen ergibt sich:

    • $f(x)=3x^4$. Dann ist $f'(x)=3\cdot 4x^3=12x^3$.
    • $f(x)=5e^x$, dann ist $f'(x)=5e^x$.
    • $f(x)=4x^3$, dann ist $f'(x)=4\cdot 3x^2=12x^2$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen und Ableitungen.

    Tipps

    Beachte:

    $2\cdot 3 x^2=6x^2$.

    Damit ist $(2\cdot 3\cdot x^2)'=2\cdot 3\cdot (x^2)' = 6\cdot (x^2)' = 6\cdot 2x=12x$.

    Es ist $x^2\cdot x^3=x^5$.

    Damit ist $(x^2\cdot x^3)'=5x^4$.

    Du kannst die Faktorregel $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ und die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ verwenden.

    Lösung

    Eine wesentliche Voraussetzung für die Faktorregel ist, dass einer der Faktoren konstant ist. Wenn beide Faktoren Funktionen sind, wird die Produktregel verwendet:

    $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

    Wenn drei Faktoren betrachtet werden, von denen zwei konstant sind, so ist die Faktorregel ebenfalls anwendbar:

    • $(2ax^2)'=2a\cdot 2x=4ax$
    • $\left(\frac b3x^6\right)'=\frac b3\cdot 6 x^5=2b\cdot x^5$.