Faktorregel bei Ableitungen

Hallo. Die Faktorregel der Differenzialrechnung sieht so aus. Wir haben eine Funktion f(x). So, genauer gesagt müsste man natürlich hier das als Funktionsterm bezeichnen. f(x) bezeichnet ja einen Funktionsterm. Ich sag jetzt aber einfach mal Funktion. Ich glaube das passt in dem Zusammenhang schon. Wir haben also eine Funktion f(x) und die wird mit einem konstanten Faktor k multipliziert. k steht also für irgendeine Zahl.

Wenn man eine solche Funktion, die aus Zahl mal Funktionsterm besteht, ableiten möchte, dann bezeichnet man das erst mal so mit der Klammer drum. Hier mit dem Strich dran. Die Ableitungsfunktion ist dann k×f'(x). Das bedeutet, man muss einfach diese Funktion f(x) hier ableiten. Erhält f'(x). Was immer das sein mag. Das ist egal. Und den Faktor, der hier gestanden hat, also diese Zahl, die muss man hier wieder davorschreiben. Das ist schon alles.

Konkret bedeutet das: Wir nehmen uns eine Funktion f(x), die soll jetzt mal 3x² sein. Dann können wir feststellen, wir haben die Funktion x² hier. Also die hier. Und die wird multipliziert mit einer Zahl. Also einem konstanten Faktor k, nämlich der 3. Wir können die Ableitung f' bestimmen. Genauer gesagt die Ableitungsfunktion. Indem wir die 3 wieder hinschreiben und dann mit der Ableitung von x² multiplizieren. Die Ableitung von x² hast du vielleicht schon gemacht bei der Potenzregel, ist 2x. Also haben wir dann hier als Ganzes 3×2x stehen. Und das fasst man natürlich zusammen zu 6x. Also 6x ist der Term der Ableitungsfunktion mit dem Funktionsterm 3x². Oder man sagt einfach die Ableitung von 3x²=6x.

Wir können auch das mit einer anderen Funktion probieren. Es soll f(x)=99×x¹⁰⁰ sein. Warum nicht. Dann erhalten wir hierzu die Ableitungsfunktion, indem wir die Potenzregel und die Faktorregel anwenden. Zunächst mal stellen wir fest, wir haben hier eine Potenzfunktion. Nämlich x¹⁰⁰. Diese Potenzfunktion wird mit einer konstanten Zahl, nämlich 99, multipliziert. Das bedeutet, wenn wir das ganze Ableiten wollen, also die Ableitungsfunktion bestimmen wollen, dann müssen wir erst mal hier den Faktor 99 wieder hinschreiben. Und die Ableitung von x¹⁰⁰ bilden. Laut Potenzregel ist die Ableitung von x¹⁰⁰=100×x⁹⁹. Also haben wir hier jetzt ×100×x⁹⁹ stehen. Und das fasst man natürlich zusammen. Ich erlaub mir das jetzt Mal so. Das ist also, wenn wir 2 Nullen noch hier dranhängen 9900×x⁹⁹. Ist dann die Ableitung von 99×x¹⁰⁰. Das geht auch mit allen möglichen anderen Zahlen. Ja mit Zahlen auch, aber es geht auch mit allen möglichen anderen Funktionen. Da sind der Fantasie keine Grenzen gesetzt. Ich weiß nicht, inwieweit du welche Funktionen schon besprochen hast.

Ich zeige einfach nur noch mal hier ein bis zwei Beispiele. Wir könnten zum Beispiel 26×\sqrtx nehmen. \sqrtx ist ja nichts anderes als x^½. Das heisst wir hätten hier 26×x^½. Das ist wieder eine Funktion dieser Form. Denn wir haben eine Zahl, die hier vorne steht und die Zahl wird mit einem Term multipliziert. Das ist hier auch der Fall. Hier ist der Funktionsterm und da ist die Zahl. Also wenn wir das Ableiten wollen, f'(x) bestimmen wollen, müssen wir einfach die 26 wieder hinschreiben und dann \sqrtx bzw. x^½ ableiten. Das ist ½×x^-½. Laut Potenzregel kann man das so machen. Und im Ganzen ist das dann, 26×½=13, 13×x^-½. Und ich möchte das diesmal etwas anders schreiben: 13×1÷\sqrtx. Denn x^-½=1÷\sqrtx. Hier noch mal kurz als kleine Wiederholung.

Man kann auch alles mögliche andere einsetzen. Ja wenn du jetzt diese Funktionen, die ich zeige, noch nicht gehabt hast, ist das völlig egal. Ich wollte nur das Prinzip zeigen. Wenn wir zum Beispiel -0,5×sinx als Funktionsterm haben hier. Ich glaube heute schreibt man mal wieder eine Klammer dazu. Manchmal schreibt man sin(x) mit und manchmal ohne Klammer. Jetzt hat es eine Klammer. f'(x) ist nach Faktorregel -0,5. Muss man wieder hinschreiben. Und dann folgt hier nach Sinus. Also die Ableitung von sin(x). Und wenn man keine Lust hat, das Hinzuschreiben oder das gerade nicht weiß, dann schreibt man einfach die Klammer hier drum und den Ableitungsstrich dran. Das bedeutet also -0,5×((sin(x))'.

Oder man kann auch die Ableitung von Exponentialfunktionen bestimmen. Zum Beispiel f(x)=9×e^x. e ist die eulasche Zahl 2,7 irgendwas. Eine irrationale Zahl. Die Ableitung nach Faktorregel ist dann folgendermaßen: Wir müssen den Vorfaktor 9 einfach wieder hinschreiben. 9× Ableitung von e^x. Und ich glaub das darf ich verraten: Die Ableitung von e^x ist wieder e^x. Ja das ist die e^x Funktion, ist die Funktion, die gleich ihrer Ableitung ist. Also deren Funktionswerte gleich ihrer Ableitung sind. Hab hier also nur die Faktorregel angewendet und gewusst, dass e^x die Ableitung von e^x ist. Ja das war es zur Faktorregel. Viel Spaß damit, tschüss.