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Exponentielles Wachstum und Verdopplungszeit – Übung

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Die Autor*innen
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Peter Mahns
Exponentielles Wachstum und Verdopplungszeit – Übung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Exponentielles Wachstum und Verdopplungszeit – Übung

Hallo und herzlich Willkommen zu meinem Übungsvideo zur Exponentialfunktion und der Verdoppelungszeit. Wie der Titel schon verrät, geht es hier um den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und der Verdoppelungszeit. In zwei Beispielen werde ich dir anschaulich zeigen, wie du die Verdoppelungszeit einer gegebenen Modellierung berechnen kannst. Hierbei sind Logarithmusgesetze eine wichtige Grundlage. Viel Spaß!

Exponentielles Wachstum und Verdopplungszeit – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentielles Wachstum und Verdopplungszeit – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne, wie lange es dauert, bis die Pilzkultur sich verdoppelt hat.

    Tipps

    Merke dir: Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

    Beachte, dass $\ln(e^t)=t$ ist.

    Übrigens: Die Verdopplungszeit ist unabhängig von dem Anfangsbestand $a$:

    $a\cdot e^T=2a$.

    Division durch $a$ führt zu

    $e^T=2$.

    Lösung

    Durch diese Funktion wird das Wachstum einer Pilzkultur beschrieben. Wie viel Zeit vergeht, bis sich die anfängliche Fläche $2~mm^2$ verdoppelt hat?

    Es ist also nach der Zeit $T$ gefragt, für die $f(T)=4$ gilt.

    Verwendet man nun die nebenstehende Funktionsvorschrift, erhält man die Gleichung

    $2\cdot e^T=4$.

    Zunächst dividiert man durch $2$ und erhält

    $e^T=2$.

    Nun wendet man den Logarithmus naturalis an. Es gilt $\ln(e^T)=T$. Dies führt zu

    $T=\ln(2)\approx 0,69$.

    Also hat sich die Fläche der Pilzkultur nach ungefähr $0,69$ Zeiteinheiten verdoppelt.

    Übrigens: Die Verdopplungszeit ist unabhängig von dem Anfangsbestand $a$:

    $a\cdot e^T=2a$.

    Division durch $a$ führt zu

    $e^T=2$.

  • Bestimme die Verdopplungszeit.

    Tipps

    Da du durch $a$ dividierst, musst du die anfängliche Anzahl nicht kennen.

    Beachte, dass $\ln(e^t)=t$ gilt.

    Du erhältst das Ergebnis in Minuten. Um die Anzahl der Sekunden zu berechnen, multiplizierst du mit $60$.

    Lösung

    Die Verdopplungszeit ist unabhängig vom Anfangswert. Daher kann sie auch bei unbekanntem $a$ berechnet werden:

    Gegeben: $f(t)=a\cdot e^{3t}$

    Gesucht: $t$

    • $f(T)=2a$ führt zu der Gleichung $a\cdot e^{3T}=2a$.
    • Division durch $a$ resultiert in der Gleichung $e^{3T}=2$.
    Nun ist der Anfangswert nicht mehr in der Gleichung vorhanden.

    Diese Gleichung wird mit dem Logarithmus naturalis gelöst:

    $\ln(e^{3T})=\ln(2)$.

    Es gilt $\ln(e^t)=t$. Somit erhält man

    $3T=\ln(2)$.

    Zuletzt wird durch $3$ dividiert zu $T=\frac{\ln(2)}{3}\approx0,23$.

    Nach $0,23$ Minuten, das sind ungefähr $14$ Sekunden, hat sich die Zahl der Bakterien verdoppelt.

  • Ermittle zu jedem der Wachstumsprozesse die Verdoppelungszeit.

    Tipps

    Division durch $a$ führt bei der Gleichung $a\cdot e^{k\cdot T}=2a$ zu

    $e^{k\cdot T}=2$.

    Wenn du den Logarithmus naturalis bei der Gleichung $e^{k\cdot }=2$ anwendest, erhältst du

    $k\cdot T=\ln(2)$.

    Wenn du die Gleichung $k\cdot T=\ln(2)$ durch $2$ dividierst, kommst du zu der Verdoppelungszeit

    $T=\frac{\ln(2)}k$.

    Lösung

    Wenn man ganz allgemein die Funktion $f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ betrachtet, kann man für die Verdopplungszeit eine Formel herleiten:

    • Es muss die Gleichung $a\cdot e^{k\cdot T}=2a$ gelöst werden:
    • Zunächst dividiert man durch $a$ und erhält $e^{k\cdot T}=2$.
    • Dann logarithmiert man $k\cdot T=\ln(2)$.
    • Zuletzt wird durch $k$ dividiert: $T=\frac{\ln(2)}k$.
    Mit dieser Formel kann zu jeder der folgenden Funktionen die Verdopplungszeit berechnet werden:

    • $f(t)=40\cdot e^{0,02t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,02}\approx 34,66$
    • $g(t)=200\cdot e^{0,3t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,3}\approx 2,31$
    • $h(t)=15\cdot e^{0,01t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,01}\approx 69,31$
    • $k(t)=125\cdot e^{0,15t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,15}\approx 4,62$
  • Gib die Exponentialfunktion an und ermittle die Verdopplungszeit.

    Tipps

    Verwende $e^{\ln(t)}=t$.

    Es ist

    $1,1^t=e^{\ln(1,1^t)}=e^{\ln(1,1)\cdot t}$.

    Für die Verdoppelungszeit der Funktion $f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ kannst du die folgende Formel verwenden

    $T=\frac{\ln(2)}k$.

    Lösung

    Die Wachstumsfunktion

    $f(t)=10\cdot 1,1^t$

    hat eine andere Basis als die Euler'sche Zahl $e$. Natürlich kann auch mit einer solchen Basis die Verdopplungszeit berechnet werden. In dieser Aufgabe wird die Funktion als Exponentialfunktion mit der Basis $e$ geschrieben werden.

    Hierfür verwendet man $e^{\ln(t)}=t$, also

    $1,1^t=e^{\ln(1,1^t)}$.

    Mit Hilfe des dritten Logarithmusgesetzes ist $\ln(1,1^t)=t\cdot \ln(1,1)=\ln(1,1)\cdot t$. Somit gilt

    $1,1^t=e^{\ln(1,1)\cdot t}\approx e^{0,0953\cdot t}$.

    Nun kann die obige Funktion als eine Exponentialfunktion zur Basis $e$ geschrieben werden:

    $f(t)=10\cdot 1,1^t\approx10\cdot e^{0,0953\cdot t}$.

    Zuletzt kann noch die Halbwertzeit mit der Formel

    $T=\frac{\ln(2)}k$ berechnet werden:

    $T=\frac{\ln(2)}{0,0953}\approx 7,3$.

    Das bedeutet, dass die Gesamtfläche sich nach ungefähr sieben Jahren und vier Monaten verdoppelt hat.

  • Beschreibe die Bedeutung des Parameters $k$.

    Tipps

    Für $t=0$ erhältst du

    $f(0)=a\cdot e^{k\cdot 0}=a$,

    den sogenannten Anfangswert.

    Die Zinsrechnung ist ein schönes Beispiel für einen Wachstumsprozess.

    Sei zum Beispiel

    $K(t)=1000\cdot e^{0,015\cdot t}$.

    Bei der Zinsrechnung kannst du zum Beispiel berechnen, wie lange es dauert, bis dein Kapital sich verdoppelt hat.

    Lösung

    Dies ist eine Exponentialfunktion zur Basis $e=2,718...$, der Euler'schen Zahl.

    Der Parameter $a$ ist der Funktionswert für $t=0$: $f(0)=a\cdot e^{k\cdot 0}=a$. Dieser Parameter wird oftmals als Anfangswert bezeichnet.

    Welche Bedeutung hat nun der Parameter $k$ im Exponenten?

    • Wenn $k>0$ ist, liegt eine Wachstumsfunktion vor. Diese beschreibt einen Wachstumsprozess, zu welchem eine Verdopplungszeit berechnet werden kann.
    • Wenn $k<0$ ist, liegt eine Abnahme- oder Zerfallsfunktion vor. Diese beschreibt einen Abnahme- oder Zerfallsprozess, zu welchem eine Halbwertzeit berechnet werden kann.
  • Stelle die Funktionsgleichung zu dem Wachstumsprozess auf und berechne die Verdopplungszeit $T$.

    Tipps

    In der Funktion $f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ gibt es zwei Parameter $a$ und $k$.

    Setze die bekannten Anzahlen zu den gegebenen Zeiten ein. So erhältst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

    Es ist $f(3)=363$ und $f(5)=541$.

    Forme eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Parameter um und setze diesen dann in der anderen Gleichung ein.

    Die Wachstumsrate beträgt ungefähr $22\%$.

    Die Verdoppelungszeit ist

    $T=\frac{\ln(2)}{k}$.

    Lösung

    Es sind die Anzahlen der Menschen bekannt, die den Witz zu zwei verschiedenen Zeiten bereits kennen:

    • $f(3)=363$: Dies führt zu der Gleichung $a\cdot e^{3k}=363$.
    • $f(5)=541$: Dies führt zu der Gleichung $a\cdot e^{5k}=541$.
    Wenn man die obere Gleichung durch $e^{3k}$ dividiert, erhält man

    $a=\frac{363}{e^{3k}}$.

    Nun kann dieses $a$ in der unteren der beiden Gleichungen eingesetzt werden:

    $\frac{363}{e^{3k}}\cdot e^{5k}=541$.

    Division durch $363$ führt zu

    $e^{2k}=\frac{541}{363}$.

    Nun kann der Logarithmus naturalis angewendet werden:

    $2k=\ln\left(\frac{541}{363}\right)$

    und durch $2$ dividiert werden:

    $k=\frac{\ln\left(\frac{541}{363}\right)}2\approx0,2$.

    Damit kann auch der Anfangswert $a$ berechnet werden:

    $a=\frac{363}{e^{3\cdot 0,2}}\approx 199$.

    Zuletzt kann die Verdopplungszeit berechnet werden:

    $T=\frac{\ln(2)}{0,2}\approx3,5$.

    Nach ungefähr dreieinhalb Tagen kennen doppelt so viele Menschen wie am Anfang den Witz.

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