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Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graphen durch Koordinatenursprung (1) 06:57 min

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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graphen durch Koordinatenursprung (1)

Hallo! Wir haben eine Funktion, eine Ableitung und einen Graphen dazu. So sieht er aus. Und gefragt ist nun Folgendes: Ermitteln Sie diejenige, proportionale Funktion p von x, deren Graph Tangente an den Graphen der Funktion f von x ist. Ja, das muss man erst mal verdauen. Es ist also gefragt eine proportionale Funktion, die diesen Graphen hier berührt. In kurz gesagt. Wie kann man sich das vorstellen? Also wo fangen wir mal an. Vielleicht muss man sich zunächst mal überlegen: Was ist eine proportionale Funktion? Das sollte man nicht vergessen, was das ist. Das ist wieder ein bisschen Stoff aus der Mittelstufe. Macht nichts. Die proportionalen Funktionen gehören zu den linearen Funktionen. Die linearen Funktionen sind Funktionen mit der Funktionsgleichung y = mx + b. Also Zahl mal x plus andere Zahl oder weitere Zahl, kann natürlich gleich sein, muss nicht anders sein. Das sind also die linearen Funktionen. Und wenn b also hier gleich Null ist, dann kann man das wegwischen. Und dann haben wir die Gleichung einer proportionalen Funktion. Und so eine Funktion suchen wir jetzt. Und zwar nicht irgendeine, sondern diese Funktion soll diesen Graphen hier, den Graphen der Funktion f und x berühren. Und das möchte ich jetzt mal aufmalen, wie man sich das vorstellen kann. Ein bisschen rot machen. Wir haben folgende Situation: Wir haben ein Koordinatensystem, so ungefähr. In diesem Koordinatensystem befindet sich eine Funktion. So, dahinten interessiert mich das nicht. Und es wird jetzt also eine proportionale Funktion geben. Das heißt es ist eine Gerade, die durch den Nullpunkt führt. Und die wird wohl hier entlang gehen müssen, hier irgendwo. Ja das rollt jetzt weg natürlich. Also, da wird sie irgendwo den Graphen berühren. Und das möchte ich mir jetzt mal aufmalen. Ich hoffe, ich kriege das hier halbwegs hin. So ungefähr, glaube ich passt das. Der schwarze Strich ist eine proportionale Funktion, soll das darstellen, ist es natürlich nicht. Und der rote Strich hier, das ist unser Funktionsgraph. Und wenn wir jetzt keine Idee haben, wie man das macht, kann man zum einen sich nochmal zurück erinnern. Es gibt ja diese Standardaufgabe in der Analysis. Man hat also einen Graphen mit der Funktionsgleichung dazu natürlich. Und soll jetzt durch einen vorgegebenen Punkt, der jetzt irgendwo im Koordinatensystem liegen kann, eine Gerade zeichnen oder die Geradengleichung ermitteln – einer Gerade die durch den vorgegebenen Punkt geht und den Graphen berührt. Also Tangente an den Graphen ist. Sowas haben wir hier auch. Vorgegebener Punkt ist in dem Fall der Nullpunkt. Proportionale Funktionen verlaufen ja durch den Nullpunkt. Und es soll nun eine Funktionsgleichung gefunden werden einer Geraden, die durch diesen vorgegebenen Punkt geht. Und den gegebenen Graphen tangential berührt oder, das ist doppelt gemoppelt, tangential schneidet könnte man sagen oder berührt. Wenn du das nicht mehr so im Kopf hast, zeige ich hier die Überlegung, die man sich machen kann dafür. Hier ist die x-Koordinate, die nenne ich mal xp. Das ist ein bisschen schief geworden, die ist eigentlich hier mehr, die x-Koordinate, nicht da. So, also da ist die x-Koordinate xp. So, da ist sie, da. Und hier ist die y-Koordinate des Berührpunktes yp. Wir wissen jetzt, da es sich bei dem schwarzen Strich hier um eine Tangente handelt, dass diese Tangente dieselbe Steigung hat, wie die Funktion in diesem Berührpunkt hat. Das bedeutet, wir können die Steigung dieser Tangente ermitteln, indem wir hier unser Steigungsdreieck bemühen. Und zwar: y-Wert geteilt durch x-Wert oder y-Differenz durch x-Differenz. Wir haben keine besondere Differenz hier, keine Differenzen nicht wahr, weil ja der andere Punkt Null ist. Also können wir einfach den y-Wert durch x-Wert teilen, dann haben wir nach dem Steigungsdreieck, also die Steigung dieser schwarzen Funktion hier. Und die soll gleich sein der Ableitung dieser Funktion hier. Dann muss hier natürlich noch ein p hin. f'xp soll gleich sein, gleich diesem Quotienten sein, so heißt es richtig. Und ich weiß ja wo das yp herkommt. yp ist nämlich fxp. Denn die Funktion f von x hat ja hier auch den gleichen Funktionswert wie diese proportionale Funktion. Deshalb entsteht also diese Gleichung hier. In dieser Gleichung ist alles bekannt bis auf xp. Ja und dann kann man einfach diese Gleichung auflösen, xp bestimmen und damit ist dann eigentlich die Aufgabe schon fertig. Das mache ich dann im zweiten Teil. Bis dahin Tschüs.

1 Kommentar
  1. Default

    Es hängt nach vier Sekunden... :(

    Von Davidschu, vor etwa 5 Jahren

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