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Exponentialfunktionen – Veranschaulichung mit Türgarderobe 12:22 min

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Transkript Exponentialfunktionen – Veranschaulichung mit Türgarderobe

Hallo. Bisher hatten wir Exponentialfunktionen behandelt, die hatten die Form f(x)=ax. Und die sollen jetzt mal etwas komplizierter werden und zwar b×ax. Naja, so viel komplizierter ist es nicht, aber mit diesem neuen b nehmen die Exponentialfunktionen, sage ich mal, so richtig Fahrt auf. Und jetzt wird das viel lustiger und interessanter, als vorher. Ich möchte mal konkret zeigen, wie man sich so eine Funktion vorstellen kann. Allgemein kann man natürlich sagen, ich nehme eine Exponentialfunktion ax und multipliziere jeden Funktionswert mit einer bestimmten Zahl, mit dem b, und dann erhalte ich die neue Funktion. Das ist soweit richtig, aber nicht so anschaulich vielleicht. Ich möchte es ein bisschen anders machen, und zwar können wir uns zunächst mal ganz langsam überlegen: Wie sieht der Funktionswert bei 0 aus, einer solchen Funktion? Wir wissen ja, der Funktionswert bei 1. Ja, wenn der Term jetzt so aussieht, hier der Funktionsterm, dann rechnen wir folgendes, wir rechnen b×a1 und bekommen den Funktionswert bei x=1. Wenn wir für x zwei einsetzen, rechnen wir b×a×a, das heißt, wir multiplizieren zweimal mit a. Wenn wir für x drei einsetzen, dann müssen wir dreimal mit a multiplizieren, klar, dann steht da b×a×a×a. Und wenn wir für x 0 einsetzen, dann multiplizieren wir überhaupt nicht mit a. Und das ist einer der Gründe, warum a1 = 1. Denn wenn man mit eins multipliziert, passiert überhaupt nichts. Und das b bleibt wie es ist. Deshalb haben wir von vornherein bei diesen Exponentialfunktionen dieser Form einen sicheren Stand und zwar bei x=0. Der Funktionswert bei x=0 ist immer b. Und das hier ist ein Papierstreifen und der soll die Länge b haben. Den lege ich hier hin. Da ist x=0. Das ist unser Funktionswert. Mich interessiert das nicht weiter, wie groß dieses b ist. Ich weiß es auch tatsächlich nicht, ich habe es nicht nachgemessen. Ich möchte aber, um das jetzt hier weiterentwickeln zu können, eine etwas konkretere Funktion nehmen als die hier, nämlich b×0,8x. Ich habe jetzt einfach für a 0,8 eingesetzt, das soll die Basis sein. Wie kommt man jetzt zu dem Funktionswert bei 1? Klar: Man muss für x 1 einsetzen. Das heißt, wir haben hier also den Streifen der Länge b und den müssen wir einmal mit 0,8 multiplizieren, um den Funktionswert bei x=1 zu bekommen. Und das Multiplizieren mit 0,8 kann man anschaulich sehr gut zeigen. Womit? Klar, mit einer Türgarderobe. Das ist eine Türgarderobe und die hat die lustige Eigenschaft, dass ja hier sich fünf Zwischenräume befinden. Diese fünf Zwischenräume sind immer gleich groß, egal, ob ich das Ding jetzt auseinanderziehe, oder wieder zusammendrücke. Wenn wir etwas mit 0,8 multiplizieren, dann bedeutet das ja, wir multiplizieren mit 8/10. 8/10l sind 4/5. Also kann ich diese Türgarderobe hier anlegen und diese 5/5 verteilen sich jetzt gleichmäßig auf diesen Streifen. Hier muss dann ein Streifen entstehen, der nur 4/5 dieser Größe hat. Und da habe ich einmal vorbereitet, ich kann das hier auch nochmal anlegen. Da kann man das sehen. Das sind 4/5. Ich halte es auch noch mal so hoch. Ja, also, ich glaube es ist klar geworden. 4/5 davon ist dieser Streifen. Wenn es jetzt um den weiteren Funktionswert geht, wenn ich also für x 2 einsetze, steht da ja also b×0,82. Das bedeutet: b×0,8×0,8. Dieser Streifen hat schon die Länge b×0,8. Das bedeutet, ich muss, um diesen Funktionswert zu erhalten, bei der zwei diesen wieder mit 0,8 multiplizieren. Also muss dieser Streifen 4/5 dieses Streifens sein. Und auch das kann ich noch mal hier mit meiner lustigen Türgarderobe zeigen. Das sind 5/5. Und 4/5 davon hat dieser Papierstreifen hier, also kommt der jetzt hierhin. Wenn man für x 3 einsetzt, dann steht da b×0,8×0,8×0,8. Hier steht schon die Länge b×0,8×0,8. Und dann muss man den noch einmal mit 0,8 multiplizieren, damit dieser Streifen entsteht. Ich glaube, lange Rede, kurzer Sinn. Da kannst du das auch sehen, das sind 4/5 dieses Streifens. Und dann würde es mit der vier auch so weitergehen. Da hat jetzt die Pappe nicht mehr gereicht. So. Und jetzt wird es spannend. Was ist bei -1? Es gibt viele Prozesse in der Realität, die sich so verhalten, so exponentiell verhalten. Und man kann deutlich machen, dass es hier sinnvoll ist, wenn sich die Funktionswerte hier so nach oben entwickeln, von rechts nach links gesehen. Das zeige ich aber hier nicht, sondern in den Anwendungsaufgaben. Hier möchte ich einfach mal in den Raum stellen, oder die Überlegung, was könnte denn hier passieren, sinnvollerweise in diesem Bereich, im negativen Bereich? Nun, eine sinnvolle Möglichkeit ist sicher, dass das jetzt quasi hier so weitergeht, nur in umgekehrter Richtung. Das bedeutet, wenn ich den jetzt hier mit 0,8 multipliziere, kommt der raus. Wenn ich den mit 0,8 multipliziere, kommt der raus. Das ist sicher eine sinnvolle Möglichkeit, wie man hier weitermachen könnte. Übrigens möchte ich auf eine Schwierigkeit hinweisen: Wenn wir zum Beispiel hier davon ausgehen, das sind 100 Prozent. Wenn wir die dann mit 0,8 multiplizieren, dann sind das ja 80 Prozent von diesen 100 Prozent. Okay? Das heißt aber nicht, wenn das hier weiter die 100 Prozent sind, dass das hier 120 Prozent sind. Also: Von hier nach da. Von hier nach da. Von hier nach da nimmt der Streifen jeweils um 20 Prozent ab. Wenn das 100 Prozent sind, ist der aber nicht um 20 Prozent größer als der. Man muss da ganz anders vorgehen. Ich sage das nur nochmal, weil das ganz oft vorkommt, in Klassenarbeiten, dass dann...also. Ich zeige aber wie es richtig geht jetzt. Wenn sich diese Gesetzmäßigkeit hier also weiter fortpflanzen soll, dann müsste ja folgendes gelten: Das hier sind dann 5/5 und 4/5 davon ist dieser Streifen bei 0. Da ist er. Das habe ich auch so vorbereitet, nicht wahr. Das sind jetzt 4/5 dieses Streifens, der ist hier. Und auch da kannst du das sehen. So, das sind hier 5/5 und dieser Streifen ist 4/5 des Streifens hier bei minus zwei. Okay, was heißt das jetzt rein formal? Wir müssen überlegen, welchen Funktionswert kann man der -1 hier sinnvollerweise zuordnen. Und wir haben gesagt, wir wollen folgendes haben: f(-1), also der Funktionswert an dieser Stelle, für den soll gelten, dass wenn wir den mit 0,8 multiplizieren, dann erhalten wir den Funktionswert bei 0. Ja, das ist diese Situation, die ich hier hingelegt habe. Wenn man das jetzt mal ganz einfach als Gleichung auffasst und wir möchten...Oh, da habe ich einen Fehler gemacht. Das muss natürlich so rum sein. Wir möchten den Funktionswert bei 0 erhalten, indem wir den Funktionswert bei -1 mit 0,8 multiplizieren. So. So ist es richtig. Ja, man kann Fehler machen, es sollte aber auffallen und dann kann man sie noch schnell korrigieren. Also, wir möchten den Funktionswert erhalten, indem wir den bei -1 mit 0,8 multiplizieren. Die Frage ist, wie groß ist f von -1. Dann können wir das hier als ganz normale Gleichung auffassen und wir möchten nach f(-1) auflösen und müssen eben die ganze Gleichung mit 1/0,8 multiplizieren, damit sich hier 0,8 weg kürzt. Wir haben dann also f(0)×1/0,8=f(-1). Ja, ich hoffe, das ist dir klar, dass man hier mit 1/0,8 multiplizieren muss und dass sich dann das hier wegkürzt. Das erkläre ich jetzt nicht nochmal alles ganz genau. So und jetzt können wir mal interpretieren, was ist das denn? Wir haben schon zu Anfang gesehen: f(0) ist immer das b. Deshalb habe ich das auch so ausführlich erklärt. Das ist das b. Und wir haben jetzt hier konkret für a 0,8 eingesetzt. Allgemein gesprochen steht hier also 1/0,8. Eins geteilt durch, allgemein gesprochen, a. Wir haben ja hier für a 0,8 eingesetzt. So. Das ist, was hier steht auf der linken Seite. Auf der rechten Seite können wir uns wieder auf diese Sache hier berufen. Wir haben einen Funktionsterm, der heißt einfach b×ax. Und wenn wir für x -1 einsetzen, steht da einfach b×a-1. So. Und das ist der Zusammenhang, auf den ich hinauswollte. Hier unten steht er. Die Frage nämlich: Was ist a-1? Und da kann man das sehen: Das ist 1/a. Beziehungsweise, wir haben gesagt, wir möchten das hier so sinnvoll weiter fortsetzen, in diese Richtung. Dazu brauchen wir hier einen Funktionswert, den man mit 0,8 multipliziert, damit der erscheint und haben diese Gleichung aufgelöst und sind einfach darauf gekommen, dass dann sinnvollerweise der Funktionswert bei -1, also b×a-1 muss dann sinnvollerweise b×1/a sein. Und da kommt man eben drauf, dass a-1=1/a ist. Ja. Und das Ganze, weil wir hier einfach gesagt haben, wir wollen eine schöne Kurve haben. Und so, wenn ich mir diesen geschmacklosen Kommentar vielleicht noch erlauben darf, hat Mathematik auch etwas mit schönen Kurven zu tun. Weißt du Bescheid. Tschüss.