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Exponentialfunktionen – Nützliche Eigenschaft 04:19 min

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Transkript Exponentialfunktionen – Nützliche Eigenschaft

Hallo. Die Exponentialfunktionen der Form f(x)=b×ax haben eine einfache Eigenschaft, die aber sehr nützlich ist, auch wenn sie so einfach ist. Nämlich, dass folgende Punkte, nämlich der Punkt mit den Koordinaten (0|b), ebenso der Punkt mit den Koordinaten (1|a×b), die beiden Punkte sind immer Elemente des Graphen der Funktion. So schreibt man das Graph G, Groß-G mit dem Doppelstrich, das ist der Graph der Funktion. Und zu dem Graphen gehören also die beiden Paare (0/b) und (1/ab). Man kann vereinfacht auch sagen, die Funktion geht durch die Punkte (0/b) und (1/ab). Ja, „Element des Graphen“ und „geht durch den Punkt“ ist das gleiche. “Element des Graphen” ist mathematisch korrekter, eine Funktion geht ja nicht durch einen Punkt. Aber man zeichnet den Graphen durch bestimmte Punkte, das ist schon okay so. Der Beweis, oder die Begründung, wie immer man will, ist relativ schnell gemacht. Wir setzen mal ein. Hier steht also, wenn wir null einsetzen, dann kommt b raus. Also: f(0)=b×, ich setze einfach hier in diesen Funktionsterm für x null ein und dann steht da b×a0, wir haben schon besprochen a0 = 1, also ist das ganze gleich b. Das bedeutet also, wenn ich null einsetze, kommt b raus. Da steht es. Das ist dieser Punkt. Wenn man für x eins einsetzt, dann steht da b×a1. Und das wissen wir auch, was a1 ist, nämlich a. Also steht dann hier b×a. Also ba einfach, oder ab, ist ja egal. Also hier für x eins einsetzen und b×a, beziehungsweise a×b kommt heraus. Das sollte dich nicht weiter aus der Ruhe bringen. Ja, was macht man damit? Man hat zum Beispiel irgendeinen Graphen gegeben, einen Funktionsgraphen. Und da kann man dann direkt was daraus ablesen. Zum Beispiel, ja, hier ist die y-Achse. Es könnte sich nun folgendes zutragen, dass es hier die 2 gibt. Ja. Die 2 . Ich muss immer überlegen, wenn ich das vorher hatte. So, hier ist die 2. Und der Graph geht zum Beispiel hier so entlang. Und hier ist die 1 auf der x-Achse. Und ich sage mal, hier ist, ja hätte ein bisschen höher zeichnen müssen, da ist 3,4 zum Beispiel. Hier ist 3,4. Das heißt jetzt, wir wissen, bei 0 ist der Funktionswert, den wir da ablesen können, gleich b. Das heißt, wenn wir diesen Graphen hier haben, sehen wir schon: b=2. Und wir sehen außerdem, dass der Funktionswert bei eins 3,4 ist. Das heißt, wir wissen jetzt sofort: 3,4, das ist dieser Funktionswert hier, der ist gleich a×b, also a mal-, b wissen wir schon, das ist zwei. Ich wollte schon b hinschreiben. Also, es ist zwei. 3,4=a×2. Wie groß ist dann a? a ist dann einfach die Hälfte davon, nicht wahr, das muss ich nicht weiter groß erklären, die Hälfte von 3,4 ist 1,7. Und damit kannst du quasi mit diesem kleinen Satz hier, mit diesem nützlichen Gebilde, kannst du an solchen Funktionsgraphen schon mal direkt ablesen, um welche Funktionsgleichung es sich handelt. Anders ausgedrückt: Wenn du zum Beispiel mal Funktionen bestimmen sollst und zeichnest hinterher einen Graphen dazu, dann kannst du an diesem Graphen gleich abschätzen, ob du richtig gerechnet hast. Das ist also von daher sehr nützlich. Viel Spaß damit, Tschüss.