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Exponentialfunktionen – Nützliche Eigenschaft 04:19 min

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Transkript Exponentialfunktionen – Nützliche Eigenschaft

Hallo. Die Exponentialfunktionen der Form f(x)=b×ax haben eine einfache Eigenschaft, die aber sehr nützlich ist, auch wenn sie so einfach ist. Nämlich, dass folgende Punkte, nämlich der Punkt mit den Koordinaten (0|b), ebenso der Punkt mit den Koordinaten (1|a×b), die beiden Punkte sind immer Elemente des Graphen der Funktion. So schreibt man das Graph G, Groß-G mit dem Doppelstrich, das ist der Graph der Funktion. Und zu dem Graphen gehören also die beiden Paare (0/b) und (1/ab). Man kann vereinfacht auch sagen, die Funktion geht durch die Punkte (0/b) und (1/ab). Ja, „Element des Graphen“ und „geht durch den Punkt“ ist das gleiche. “Element des Graphen” ist mathematisch korrekter, eine Funktion geht ja nicht durch einen Punkt. Aber man zeichnet den Graphen durch bestimmte Punkte, das ist schon okay so. Der Beweis, oder die Begründung, wie immer man will, ist relativ schnell gemacht. Wir setzen mal ein. Hier steht also, wenn wir null einsetzen, dann kommt b raus. Also: f(0)=b×, ich setze einfach hier in diesen Funktionsterm für x null ein und dann steht da b×a0, wir haben schon besprochen a0 = 1, also ist das ganze gleich b. Das bedeutet also, wenn ich null einsetze, kommt b raus. Da steht es. Das ist dieser Punkt. Wenn man für x eins einsetzt, dann steht da b×a1. Und das wissen wir auch, was a1 ist, nämlich a. Also steht dann hier b×a. Also ba einfach, oder ab, ist ja egal. Also hier für x eins einsetzen und b×a, beziehungsweise a×b kommt heraus. Das sollte dich nicht weiter aus der Ruhe bringen. Ja, was macht man damit? Man hat zum Beispiel irgendeinen Graphen gegeben, einen Funktionsgraphen. Und da kann man dann direkt was daraus ablesen. Zum Beispiel, ja, hier ist die y-Achse. Es könnte sich nun folgendes zutragen, dass es hier die 2 gibt. Ja. Die 2 . Ich muss immer überlegen, wenn ich das vorher hatte. So, hier ist die 2. Und der Graph geht zum Beispiel hier so entlang. Und hier ist die 1 auf der x-Achse. Und ich sage mal, hier ist, ja hätte ein bisschen höher zeichnen müssen, da ist 3,4 zum Beispiel. Hier ist 3,4. Das heißt jetzt, wir wissen, bei 0 ist der Funktionswert, den wir da ablesen können, gleich b. Das heißt, wenn wir diesen Graphen hier haben, sehen wir schon: b=2. Und wir sehen außerdem, dass der Funktionswert bei eins 3,4 ist. Das heißt, wir wissen jetzt sofort: 3,4, das ist dieser Funktionswert hier, der ist gleich a×b, also a mal-, b wissen wir schon, das ist zwei. Ich wollte schon b hinschreiben. Also, es ist zwei. 3,4=a×2. Wie groß ist dann a? a ist dann einfach die Hälfte davon, nicht wahr, das muss ich nicht weiter groß erklären, die Hälfte von 3,4 ist 1,7. Und damit kannst du quasi mit diesem kleinen Satz hier, mit diesem nützlichen Gebilde, kannst du an solchen Funktionsgraphen schon mal direkt ablesen, um welche Funktionsgleichung es sich handelt. Anders ausgedrückt: Wenn du zum Beispiel mal Funktionen bestimmen sollst und zeichnest hinterher einen Graphen dazu, dann kannst du an diesem Graphen gleich abschätzen, ob du richtig gerechnet hast. Das ist also von daher sehr nützlich. Viel Spaß damit, Tschüss.

Exponentialfunktionen – Nützliche Eigenschaft Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialfunktionen – Nützliche Eigenschaft kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche Punkte immer zum Graphen einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=b \cdot a^{x}$ gehören.

    Tipps

    Den $b$-Wert kannst du als Schnittpunkt mit der $y$-Achse direkt aus der graphischen Darstellung ablesen.

    Alternativ: Setze $x=0$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

    Bei einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=b \cdot a^{x}$ wird dem Argument $1$ immer das Produkt aus den Parametern $a$ und $b$ zugeordnet.

    Lösung

    Bei einer Funktion der Form $f(x)=b \cdot a^{x}$ gilt:

    Wenn du für $x$ eine Null einsetzt, bleibt nur noch $b$ übrig, denn $f(0)=b \cdot a^{0}=b$. Denke dabei auch daran, dass die Null im Exponenten im Ergebnis $1$ ergibt.

    Außerdem gilt für solche Exponentialfunktionen:

    Wenn du die Zahl $1$ als $x$ einsetzt, ergibt sich immer dasselbe:

    $f(1)=b \cdot a^{1}=b \cdot a$

    Fazit: Die Punkte $(0|b)$ und $(1|a\cdot b)$ liegen auf dem Graphen der Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$.

  • Bestimme die Werte für $a$ und $b$ aus der gegebenen graphischen Darstellung.

    Tipps

    Den $b$-Wert kannst du einfach an der $y$-Achse ablesen.

    Um den $a$-Wert zu ermitteln, benötigst du zunächst den Funktionswert $y$ an der Stelle $x=1$.

    Bestimme also zunächst den Punkt $(1|f(1))$.

    Nun kannst du einfach $a$ rechnerisch ermitteln:

    $a=\frac{y}{b}$

    Lösung

    Den $b$-Wert kannst du direkt an der $y$-Achse ablesen: $b=2$

    Wenn man nun an der Stelle $x=1$ den zugehörigen Funktionswert abliest und beide Werte sowie den zuvor ermittelten $b$-Wert in die Funktionsgleichung $f(x)=b \cdot a^{x}$ einsetzt, kann man leicht $a$ berechnen (siehe Abbildung).

    Sollte dir das zu kompliziert sein, so merke dir einfach:

    $a=\frac{y}{b}$

    Aber Achtung: Das funktioniert nur, wenn du den Funktionswert an der Stelle $x=1$ abliest.

  • Schildere, warum der Punkt $(1|a \cdot b)$ immer zum Graphen der Funktion $f(x)=b \cdot a^{x}$ gehört.

    Tipps

    Hier kommt die „Punktprobe” zum Einsatz: Setze zunächst beide Koordinaten an der richtigen Stelle in die Funktionsgleichung ein.

    Wenn du die Gleichung nun vereinfachst, kannst du kontrollieren, ob - ähnlich einer Probe - beide Seiten gleich sind.

    Lösung

    Nimm dir als Ausgangsbasis zunächst die Funktionsgleichung zur Hand:

    $f(x)=b \cdot a^{x}$

    Setze dann den gegebenen $x$-Wert $x=1$ in die Gleichung ein:

    $f(1)=b \cdot a^{1}=a\cdot b$

    Das zweite Gleichheitszeichen ist richtig, denn den Exponenten $1$ kann man auch weglassen. Es gilt also:

    $f(1)=a \cdot b$

    Damit ist bewiesen, dass der Punkt $(1|a \cdot b)$ immer zum Graphen der Funktion $f(x)=b \cdot a^{x}$ gehört.

  • Ermittle den Bestand der Kaninchenpopulation nach drei Jahren.

    Tipps

    Ermittle zunächst die Gleichungsparameter $a$ und $b$, bevor du den Bestand nach drei Jahren berechnest.

    Um $a$ und $b$ zu ermitteln, kann man Folgendes nutzen:

    Die Punkte $(0|b)$ und $(1|a \cdot b)$ liegen auf dem Funktionsgraphen.

    Wenn du nun die Funktionsgleichung erstellt hast, kannst du die gegebene Zeit $x=3$ einsetzen und damit die Anzahl der Tiere nach drei Jahren bestimmen.

    Lösung

    Zunächst bestimmen wir den Parameter $b$. Dazu setzen wir die Anzahl der Kaninchen zu Beginn (x=0) der Beobachtung für $f(x)$ ein:

    $f(0) = 4 = b\cdot a^0 = b$.

    Nun kannst du den Parameter $a$ bestimmen:

    $ \begin{align} f(x)&=b \cdot a^{x}\\ 12&=4 \cdot a^{1} &| & : 4\\ a&=3 \end{align} $

    Dazu brauchst du nur den Wert zu Beobachtungsbeginn sowie die Anzahl der Tiere nach einem Jahr einzusetzen. Nach der Umformung ergibt sich für den Wachstumsfaktor $a=3$.

    In die fertige Funktionsgleichung $f(x)=4 \cdot 3^{x}$ setzt du nun noch die vorgegebene Zeit für $x$ ein:

    $f(3)=4 \cdot 3^{3}=108$.

    Es ergibt sich also nach drei Jahren ein Bestand von $108$ Kaninchen.

  • Bestimme die Werte für $a$ und $b$ aus der gegebenen graphischen Darstellung.

    Tipps

    Den $b$-Wert kannst du direkt an der $y$-Achse ablesen.

    Um den $a$-Wert zu ermitteln, benötigst du zunächst den Funktionswert y an der Stelle $x=1$.

    Bestimme also zunächst den Punkt $(1|f(1))$.

    Nun kannst du einfach $a$ rechnerisch ermitteln: $a=\frac{y}{b}$.

    Lösung

    Den $b$-Wert kannst du direkt an der $y$-Achse ablesen:

    $b=2$.

    Wenn man nun an der Stelle $x=1$ den zugehörigen Funktionswert abliest und beide Werte sowie den zuvor ermittelten $b$-Wert in die Funktionsgleichung $f(x)=b \cdot a^{x}$ einsetzt, kann man leicht $a$ berechnen (siehe Abbildung).

    Sollte dir das zu kompliziert sein, so merke dir einfach:

    $a=\frac{y}{b}$.

    Aber Achtung: Das funktioniert nur, wenn du den Funktionswert an der Stelle $x=1$ abliest.

  • Arbeite heraus, welche exponentielle Funktionsgleichung den Sachverhalt beschreibt.

    Tipps

    Die Volumeneinheiten zum Versuchsbeginn entspricht dem $y$-Achsenabschnitt, wenn man den Sachverhalt graphisch darstellt.

    Wundere dich nicht: Im Falle der hier vorliegenden exponentiellen Abnahme ist der Wachstumsfaktor $a$ immer kleiner als $1$.

    Bei der Darstellung von Potenzen kannst folgende Regel benutzen, um einen Quotienten umzuformen:

    $\big(\frac{1}{n}\big)^{x}=n^{- x}$

    Lösung

    Schaue dir den im Koordinatensystem abgebildeten Graphen an, der dem gegebenen Sachverhalt entspricht.

    Der Wert zum Zeitpunkt des Beobachtungsbeginns entspricht dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $b=5$

    Wenn du den nach einem Tag gegebenen Bestand verwendest und $(1|5)$ in die Funktionsgleichung $f(x)=b \cdot a^{x}$ einsetzt, kann man leicht $a$ berechnen:

    $ \begin{align} 1&=5 \cdot a^{1} &| & :5\\ a&= \frac{1}{5}\\ \end{align} $

    Sollte dir das zu kompliziert sein, so merke dir einfach: $a=\frac{y}{b}$

    Beachte: Für $\big(\frac{1}{5}\big)^{x}$ kannst du auch $5^{- x}$ schreiben.