30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x+2

Bewertung

Ø 4.1 / 17 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x+2
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x+2

Hallo und willkommen zu meinem Video über die Ableitung von e-Funktionen. Dieses Video ist dazu gedacht, dass du das Thema noch einmal wiederholst, ein wenig sicherer beim Ableiten wirst und selbst ein wenig übst. Für letzteres würde ich dir empfehlen, das Video zu stoppen, selbst die Aufgabe zu rechnen und anschließend dein Ergebnis zu vergleichen. Im Video werde ich dir die ersten beiden Ableitungen der e-Funktion f(x) = ex + 2 zeigen - ganz ausführlich und mit allen Zwischenschritten. Viel Spaß dabei! Weiter geht es dann mit dem zweiten Video!

Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x+2

Hallo,   es geht um Ableitungen von e-Funktionen, es geht um Übungsaufgaben und ich zeige Übungsaufgaben von leicht nach schwierig, ich zeige viele Übungsaufgaben und ich werde natürlich die Aufgaben ausführlich vorrechnen und die Lösungswege auch ausführlich kommentieren. Wenn dir das zu ausführlich ist, kannst du ruhig den Ton abschalten, du kannst auch Teile überspringen. Das ist kein Problem. Ich halte am Ende immer noch mal die Tafel hoch. Dann weißt du, aha, hier ist jetzt das Endergebnis. Du kannst also selber rechnen und dann einfach mit dem Endergebnis vergleichen, ja? Versuch bitte, den Film so zu nutzen, wie das dir am meisten entspricht. Das ist der Vorteil des Filmes gegenüber realen Lehrern, die kann man ja nicht einfach vorspulen. Aber hier geht das ja.   Also, es geht los mit der ersten Aufgabe. Wir haben f(x), das soll hier sein jetzt ex+2. So, die Funktion soll zweimal abgeleitet werden. Wir fangen an mit der ersten Ableitung: f'=. So, was muss ich mir hier überlegen? Das hier ist ein Funktionsterm. Ich muss mir als Erstes überlegen, ist es eine Summe oder ist es ein Produkt? Alle Terme sind ja entweder Summen oder Produkte. Zumindest die Terme, von denen wir hier sprechen. Hier ist die letzte Rechnung eine Strichrechnung, daher ist es eine Summe. Deshalb muss man hier die Summenregel anwenden. Die Summenregel besagt, dass man die einzelnen Summanden einzeln ableiten kann, diese Ableitung hinschreiben kann, dann addiert man die beiden Ableitungen und das ist dann die Ableitung dieser Summe. Also einfach: Die Summenregel sagt, man kann Summanden einzeln ableiten in kurz.   Die Ableitung von ex, haben wir gelernt, ist ex. Das heißt, das kann ich schon mal hinschreiben. Dann kommt der zweite Summand, die Ableitung von 2, das ist gleich 0. 2 ist eine Konstante. Da gibt's jetzt viele Möglichkeiten, wie man sich das überlegen kann. Man kann auch hier mal x0 dahinterschreiben und dann das mit der Potenzregel und der Faktorregel ableiten. Du kannst dir aber auch einfach merken, die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 0. Eine konstante Funktion verläuft ungefähr so, also der Graph dieser Funktion verläuft so. Der hat keine Steigung beziehungsweise die Steigung ist überall 0. Deshalb kann man hier +0 hinschreiben. Das lässt man normalerweise natürlich weg. Deshalb kann man einfach hier ex schreiben und hier ist das Ergebnis.   So, die zweite Ableitung kommt direkt: f''(x) ist gleich, ach so, ja, hatte ich gar nicht. Die Ableitung von ex ist ex. Jetzt könnte ich auch noch die 3. Ableitung oder die 25. machen - es bleibt bei ex. Das ist die zweite Ableitung. Das war's. Bis zur nächsten Ableitung, tschüss.  

Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x+2 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=e^x+2 kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du Exponentialfunktionen ableitest.

    Tipps

    Bei einer Summe handelt es sich um das Ergebnis einer Addition.

    Man bezeichnet sowohl den Term $2+3$ als auch das Ergebnis $5$ als „Summe von 2 und 3“.

    Die einzelnen Terme, die in einer Summe auftauchen, nennt man Summanden.

    Die Summe $9+6$ besteht beispielsweise aus den Summanden $9$ und $6$.

    Lösung

    Bei einer Funktion in der Mathematik handelt es sich um eine Zuordnung. Man ordnet also einem Wert (dem $x$-Wert) genau einen anderen Wert (den $y$-Wert) zu.

    Eine Funktion hat immer einen Namen (oft $f$) und einen Funktionsterm.

    Wenn wir an der Steigung des Graphen einer Funktion interessiert sind, müssen wir die erste Ableitung bilden.

    Schauen wir uns die Funktion $f(x) = e^x + 2$ an und überlegen, wie wir diese ableiten. Wir stellen zuerst fest, dass es sich hierbei um eine Summe handelt, da zwei Summanden addiert werden.

    Also müssen wir die sogenannte Summenregel benutzen. Diese sagt aus, dass wir die Summanden des Funktionsterms einzeln ableiten dürfen. Anschließend addieren wir diese Ableitungen.

  • Berechne die Ableitungen von $f(x) = e^x + 2$ und vervollständige die Aussagen.

    Tipps

    Einzelne Summanden einer Summe sind die Terme zwischen den „$+$“-Zeichen. Die Summe $7 + x + 3$ besteht zum Beispiel aus den Summanden $7,x$ und $3$.

    Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.

    Der Graph einer Konstanten ist eine horizontale Gerade.

    Die Steigung einer horizontalen Gerade ist an jeder Stelle $0$.

    Was ist also die Ableitung einer Konstanten?

    Lösung

    Die Funktion $f(x) = e^x + 2$ besteht aus zwei Summanden, nämlich $e^x$ und $2$. Diese leiten wir nun entsprechend der Summenregel einzeln ab. Wenn wir kennzeichnen wollen, dass ein Term abgeleitet wird, kann man wie bei $f'$ einen kleinen Strich oben an den Term schreiben.

    Wir erhalten die Ableitungen $(e^x)' = e^x$ und $(2)' = 0$.

    Zusammengesetzt lautet die erste Ableitung also:

    $f'(x) = e^x + 0 = e^x$.

    Die zweite Ableitung erhalten wir, indem wir die erste Ableitung ableiten. Die erste Ableitung besteht nur noch aus einem Term, nämlich $e^x$. Sie lautet:

    $f''(x) = e^x$.

  • Ordne den Ableitungstermen die jeweils entsprechenden Funktionsterme zu.

    Tipps

    Um Funktionen, die aus mehreren Summanden abzuleiten, wendet man die Summenregel an.

    Man leitet die einzelnen Summanden ab und addiert diese.

    Die Funktion $f(x) = e^x + 9$ ergibt beispielsweise abgeleitet $f(x) = e^x + 0 = e^x$.

    Vergleiche die Summanden aus den Funktionstermen mit denen der Ableitung. Kommt im Funktionsterm beispielsweise ein $x^3$ vor, sollte im Ableitungsterm ein $3x^2$ auftauchen.

    Wenn in einer Funktion $f(x)$ ein anderer Buchstabe, wie z.B. $a$ vorkommt, kannst du diesen wie eine Zahl behandeln.

    Lösung

    Wir gehen die Funktionen durch und ordnen sie nacheinander den drei Ableitungsfunktionen zu.

    Funktionen, die abgeleitet $f'(x) = e^x$ ergeben:

    • Die Funktion $f(x) = e^x$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x$.
    • Die Funktion $f(x) = e^x + a$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x$, da $a$ eine Konstante ist, deren Ableitung $0$ ist.
    • Die Funktion $f(x) = e^x + 2$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x$, da $2$ eine Konstante ist, deren Ableitung $0$ ist.
    • Die Funktion $f(x) = e^x - 10$ ergibt aus demselben Grund $f'(x) = e^x$.
    Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass $e^x$ abgeleitet $e^x$ ergibt, während eine Konstante abgeleitet $0$ ergibt.

    Funktionen, die abgeleitet $f'(x) = e^x+5$ ergeben:

    • Die Funktion $f(x) = e^x+5x$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x + 5$. Um das zu erkennen, leiten wir der Summenregel entsprechend die einzelnen Summanden ab. $e^x$ ergibt abgeleitet $e^x$ und $5x$ ergibt abgeleitet $5$.
    • Die Funktion $f(x) = e^x + 1 + 5x$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x + 5$. Die Funktion unterscheidet sich von der letzten nur durch eine Konstante, die durch das Ableiten $0$ wird.
    • Genau so verhält es sich bei $f(x) = e^x+5x+32$.
    Funktionen, die abgeleitet $f'(x) = e^x+2x$ ergeben:

    • Die Funktion $f(x) = e^x + x^2$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x + 2x$. Auch hier werden die einzelnen Summanden einzeln abgeleitet.
    • Ebenso ergibt sich die Ableitung von $f(x) = e^x + x^2 + 5$. Sie lautet $f'(x) = e^x + 2x$.
  • Ordne den Exponentialfunktionen die jeweilige Ableitungsfunktion zu.

    Tipps

    Um Funktionen abzuleiten, deren Funktionsterme Summen sind, wendet man die Summenregel an.

    Diese besagt, dass man die Summanden einzeln ableitet und die Ableitungen miteinander addiert.

    Konstanten ergeben abgeleitet $0$. Konstante Faktoren werden in der Ableitung unverändert übernommen.

    Die Funktion $f(x) = 5e^x + 26x$ ergibt beispielsweise abgeleitet:

    $f'(x) = 5e^x + 26$.

    Lösung

    Gehen wir die Funktionen einmal einzeln durch:

    1. Die Funktion $f(x) = e^x + 8$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x$. Dazu benutzen wir die Summenregel und unser Wissen zu Konstanten und dem Term $e^x$.
    2. Siehe 1.
    3. Die Funktion $f(x) = 2e^x + 7x^2$ ergibt $f'(x) = 2e^x +14x$. Die $2$ vor dem $e$ ist ein konstanter Faktor, der beim Ableiten erhalten bleibt.
    4. Die Funktion $f(x) = e^x - 3x$ ergibt abgeleitet $f'(x) = e^x -3$.
    5. Die Funktion $f(x) = 3e^x + 8$ ergibt abgeleitet $f'(x) = 3e^x$. Auch hier ist die $3$ wieder ein konstanter Faktor.
    Hinweis: Es ist wichtig zwischen Konstanten und konstanten Faktoren zu unterscheiden.

    Wir schauen uns dazu ein Beispiel aus dem Bereich der ganzrationalen Funktionen an.

    $f(x) = 5x^2 + 3$ enthält einen konstanten Faktor $(5)$ und eine Konstante $(3)$. Die Ableitung dieser Funktion lautet $f'(x) = 2\cdot 5x + 0 = 10x$. Der konstante Faktor $5$ bleibt also bei der Ableitung erhalten, während die Konstante $3$ abgeleitet $0$ ergibt und somit in der Ableitung nicht mehr vorkommt.

  • Gib an, welche Aussagen zur Ableitung von Exponentialfunktionen richtig sind.

    Tipps

    Die erste Ableitung gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

    Welche Steigung hat eine konstante Funktion?

    Wenn eine Funktion aus mehreren Summanden besteht, muss man die Summanden einzeln ableiten. Die Summe aus diesen einzeln gebildeten Ableitungen ist dann die Ableitung der Funktion.

    Was wäre ein passender Name für diese Regel?

    Lösung

    Wir gehen die Aussagen nun nacheinander durch und bestimmen jeweils, ob die Aussage stimmt oder nicht.

    1. Die Aussage stimmt. Wir bezeichnen die erste Ableitung einer Funktion $f(x)$ mit $f'(x)$ (gelesen: „f Strich von x“). Bei allen weiteren Ableitungen machen wir einen weiteren Strich an das $f$. Die dritte Ableitung lautet z.B. $f'''(x)$ (gelesen: „f drei Strich von x“).
    2. Die Aussage stimmt nicht. Die erste Ableitung von Konstanten ist immer $0$. Um das zu erkennen, kann man z.B. so vorgehen: Wir schauen uns die Funktion $f(x) = 6$ an. Da $x^0 = 1$ gilt, kann man auch schreiben $f(x) = 6x^0$. Nun wenden wir die Potenzregel an, die du sicherlich schon kennst und erhalten $f'(x) = 0\cdot 6x^{-1} = 0$.
    3. Die Aussage stimmt nicht. Die erste Ableitung der Funktion $f(x) = e^x + 2$ lautet $f'(x) = e^x$.
    4. Die Aussage stimmt. Die Summenregel besagt, dass man die Ableitung einer Funktion, die aus mehreren Summanden besteht, bilden kann, indem man die Ableitungen der einzelnen Summanden bildet. Diese Ableitungen werden dann wieder addiert.
    5. Die Aussage stimmt. Der Term $e^x$ ergibt abgeleitet $e^x$.
  • Bilde die Ableitung der jeweiligen Exponentialfunktion.

    Tipps

    Bilde die Ableitungen der einzelnen Summanden. Diese Ableitungen ergeben addiert die Ableitung der Funktion.

    Die Funktion $f(x) = 7e^x + 5$ besteht aus den Summanden $7e^x$ und $5$. Abgeleitet ergibt der erste Summand $7e^x$ und der zweite $0$.

    Die Ableitung lautet dementsprechend:

    $f'(x) = 7e^x$.

    Lösung

    Wir gehen die einzelnen Funktionsterme durch und erklären, wie die Ableitungen gebildet werden.

    1. Der Funktionsterm $2e^x + x^3$ besteht aus den zwei Summanden $2e^x$ und $x^3$. Die Ableitung des ersten Summanden ergibt $2e^x$, da der konstante Faktor $2$ bestehen bleibt und $e^x$ abgeleitet $e^x$ ergibt. Die Ableitung des zweiten Summanden ergibt $3x^2$. Zusammen ergibt sich $2e^x + 3x^2$.
    2. Der Funktionsterm $7x^2 + e^x$ besteht ebenfalls aus zwei Summanden. Der erste ergibt abgeleitet $14x$ und der zweite $e^x$. Zusammen ergibt sich $14x+e^x$. Hinweis: Man kann natürlich auch $e^x + 14x$ schreiben.
    3. Der Funktionsterm $4e^x + 18$ wird auf dieselbe Art abgeleitet. Es ergibt sich $4e^x$.
    4. Der Funktionsterm $3e^x + 4x + 2$ besteht aus drei Summanden. Die Ableitungen lauten $3e^x$, $4$ und $0$. Insgesamt folgt daraus $f'(x) = 3e^x + 4$.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.833

Lernvideos

44.276

Übungen

38.919

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden