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Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2(x²-⅓e^(½x))

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Martin Wabnik
Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2(x²-⅓e^(½x))
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2(x²-⅓e^(½x))

Weiter geht es auch schon mit dem nächsten Beispiel einer e-Funktion zum Ableiten. Es werden dieses Mal die erste und zweite Ableitung dieser Funktion gesucht: f(x) = 2(x² - ⅓ e½ x). Wie du wohl gemerkt hast, habe ich eine Klammer der Funktionsgleichung hinzugefügt. Um diese musst du lediglich mithilfe des Distributivgesetzes ganz einfach auflösen. Anschließend kannst du wie gewohnt vorgehen und die Funktion ableiten. Hierfür benötigst du dann die Summenregel und leitest beide Summanden getrennt voneinander ab. Viel Erfolg dabei!

Transkript Exponentialfunktionen ableiten – Beispiel f(x)=2(x²-⅓e^(½x))

Hallo! Hier ist wieder ein Film zum Pauken von Ableitungen mit e-Funktionen. Das ist die Funktion:

f(x)=2×(x2-1/3×e½x)

Nun denn, was können wir als erstes machen? Wir finden ein Produkt vor. Hier steht ja 2×(). Demnach müssen wir also die Produktregel anwenden. Aber die Produktregel führt dann zu 2 Summanden und das ist dann immer ein wenig komplizierter, als wenn man sie vielleicht nicht anwenden müsste. Deshalb kann man hier gucken, ob man dieses Produkt in eine Summe verwandeln kann. Nun ja, und das geht, indem man die Klammer hier ausmultipliziert, so sagt man das oder man kann auch sagen, das Distributivgesetz verwenden. Das Distributivgesetz ist eines der am meist gehassten Gesetze in der Mathematik, glaube ich. Das ist nicht fair dem Distributivgesetz gegenüber. Also, falls du das nicht mehr ganz drauf haben solltest, solltest du das schleunigst wiederholen. Man muss diesen Faktor mal ersten Summanden rechnen und diesen Faktor mal zweiten Summanden, und dann ist die Klammer ausmultipliziert. 2×x2=2x2 und 2×-1/3 ×eDingsbums ist einfach -2/3× edas, was da steht, das darf ich abschreiben, also: ½x.

Nun ist aus dem Produkt eine Summe geworden und wir können also die Summenregel anwenden, die das  dann ein bisschen einfacher macht. Man hätte natürlich auch die Produktregel anwenden können, die ist auch richtig, sie ist ja nicht falsch in dem Sinne hier, sondern sie ist vielleicht doch etwas umständlich. Nun ableiten: f‘(x)= …hier, vor dem x2 steht ein Faktor. Also darf ich den Faktor wieder hinschreiben, denn laut Faktorregel bleibt der Faktor stehen. x2 ist eine Potenzfunktion, man kann die Potenzregel anwenden, hatte ich in dieser Serie schon aufgeschrieben, das schreibe ich nicht noch einmal auf. Die Ableitung von x2=2×x1. Im Exponenten rechnet man ja dann: dieser Exponent -1, da kommt bei 2-1 natürlich 1 raus,  und x1 schreibt man nicht, da x1=x und daher schreibt man das so hin.

Dann haben wir hier den 2. Summanden. Da steht erst einmal 3/2 × einer Funktion. Also ist 3/2 ein Faktor. Laut Faktorregel bleibt dieser Faktor einfach stehen und da steht er jetzt. e½x ist eine verkettete Funktion, denn beim Ausrechnen dieses Terms hier e½x setzt man zunächst was für x ein, man setzt eine Zahl ein, rechnet dann diese Zahl ×½, und das Ergebnis setzt man in den Exponenten von e ein. Das, was man zuerst rechnet, ist die Innere Funktion, also die Zahl für x×½  oder einfach 1/2x ist die Innere Funktion, die Äußere Funktion ist ediese Innere Funktion.

Innere Ableitung × Äußere Ableitung = Ableitung einer verketteten Funktion.

Also Ableitung der Inneren Funktion mal Ableitung der Äußeren Funktion. Wenn ich die Innere Funktion ableite, muss ich 1/2x ableiten. Die Ableitung davon ist ½. Die Ableitung der Äußeren Funktion bedeutet, ich muss eExponent ableiten, eine e-Funktion bleibt beim Ableiten gleich und deshalb kann ich einfach hinschreiben edas, was da schon steht nämlich: e^½x.

Jetzt kann man die Sache natürlich noch vereinfachen. Ich darf 2×2 rechnen, das ist 4. 4×x- .. und hier kann man eine 2 kürzen, ich hoffe du weißt noch, dass man kürzen kann. Bruchrechnung ist immer wichtig. Und dann kann ich e^½x  noch abschreiben, und damit haben wir die 1. Ableitung.

So, die 2. Ableitung folgt sogleich, da darf ich mich ein bisschen kürzer fassen. Wir haben f‘‘(x). Die Ableitung von 4x=4. Da sag ich jetzt, da habe ich in dieser Serie schon öfter drüber geredet. Dann haben wir -1/3×Funktion. Es tritt die Faktorregel in Kraft, weil hier ein Faktor steht. e^½x ist eine verkettete Funktion, die ich gerade schon abgeleitet habe. Die Ableitung von e^½x=½e(½x), und deshalb kann ich jetzt hier ×½×e½x hinschreiben. Das sollte noch vereinfacht werden, denn ich kann ja diese beiden Brüche hier noch multiplizieren, und auch dafür braucht man keinen Taschenrechner, denn wenn du noch weißt, wie man Brüche multipliziert, und du solltest das wissen, das wäre schon wichtig. Zähler × Zähler und Nenner × Nenner. 1×1=1 (das geht auch ohne Taschenrechner) und 3×3=6, und den Rest kann ich abschreiben, also e^½x. Die ganze 2. Ableitung ist dann also:  4-1/6×e½x.

Das war es, viel Spaß, tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Guten Abend!
    Könnte es sein, dass du bei 2:55 2/3 mit 3/2 verwechselt hast? ...
    LG, Lili

    Von Lilian030794, vor mehr als 7 Jahren
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