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Erste binomische Formel – Anwendung

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Erste binomische Formel – Anwendung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Erste binomische Formel – Anwendung

Die erste binomische Formel kannst du verwenden, um Rechnungen zu vereinfachen. Auch Terme werden durch diese binomische Formel oft einfacher. Und wie das in der Mathematik so ist: Wenn man sich was einfach machen kann, dann macht man das auch. Im Video sehen wir uns erst die erste binomisch Formel an und rechnen dann zwei Beispiele dazu durch. Das erste ist leicht, das zweite ist viel schwerer. Wenn dir das zu schwer ist, ist das nicht schlimm. Du kannst auch erst ein paar Übungsaufgaben dazu rechnen und dir das Beispiel dann nochmal vornehmen. Im Video wird auch noch geklärt, wie du erkennen kannst, ob du auf einen Term die erste binomische Formel anwenden kannst oder nicht.

Transkript Erste binomische Formel – Anwendung

Hallo. Jetzt kommt die Erste Binomische Formel. Tadaaa. Und sie lautet: (a+b)2=a2+2ab+b2. 2ab bedeutet 2×a×b, aber die Malzeichen schreibt man normalerweise nicht hin. So, und was machen wir jetzt mit der Binomischen Formel? Na ja, anwenden. Ich möchte zwei Beispiele zeigen. Ein sehr einfaches Beispiel und ein etwas ziemlich komplizierteres Beispiel. Und wenn Dir das ziemlich zu kompliziert ist, dann macht das überhaupt nichts. Wenn Du jetzt die Binomische Formel neu kennenlernst, das ist überhaupt kein Problem. Du kannst Dir erst ein paar Übungsaufgaben angucken und Dir dann nochmal dieses Beispiel zu Gemüte führen. Ich wollte dieses Beispiel auch zeigen, um zu zeigen, wohin die Reise gehen soll mit den Binomischen Formeln. Anwenden kann man die Binomischen Formeln auf Terme. Das heißt, ein Term ist gegeben. Zum Beispiel: (50+7)2. Warum können wir auf diesen Term diese Binomische Formel anwenden? Weil dieser Term entsteht, wenn wir in der Binomischen Formel, a durch 50 und b durch 7 ersetzen. Durch das Ersetzen in der Binomischen Formel entsteht dieser Term, deshalb können wir die Binomische Formel anwenden. Wie wenden wir die an? Wir schreiben das hier hin, nur eben mit dem Unterschied, das wir für a 50 einsetzen und für b 7 einsetzen. Da steht da also: 502+2×50 und für b haben wir ja 7 eingesetzt, also ×7, +b2 ist bei uns 72. 502+2×50×7+72. Und der Vollständigkeit halber können wir das natürlich noch ausrechnen: Wir haben 502=2500, das hier ist 100×7=700, 2500+700=3200. 49, =3249. Das ist das Ergebnis, nur der Vollständigkeit halber. Binomische Formel ist bis hierhin schon angewendet worden. Ein etwas schwierigeres Beispiel kommt jetzt: Und zwar haben wir -12uv+(3u+2v)2. Wir können jetzt auf diesen Teilterm diese Binomische Formel anwenden, weil nämlich dieser Teilterm entsteht, wenn wir in der Binomischen Formel a durch 3u und b durch 2v ersetzen. Ja, wenn man hier 3u und da 2v hinschreibt, steht hier das Gleiche wie da. Also können wir jetzt die Binomische Formel anwenden. Aber nicht auf den gesamten Term, sondern auf den Teilterm. Der Teil, auf den wir die Binomische Formel nicht anwenden, müssen wir einfach abschreiben. Können wir jetzt machen: -12uv, kein Problem. Und dann +a2. Wir haben für a2 3u eingesetzt, also haben wir hier (3u)2. Und da muss unbedingt die Klammer drum, denn wenn die da nicht stehen würde, hätten wir 3×u×u dastehen, ja. Wir wollen aber 3u quadrieren, also 3u×3u rechnen. Deswegen musste die Klammer hin. Geht weiter mit +2×3u, b ist 2v und b2 ist (2v)2. Und auch hier brauchen wir wieder unbedingt die Klammer, weil wir 2v×2v rechnen wollen. Jetzt können wir das hier noch so ein bisschen umformen. -12uv+(3u)2+2×3u×2v+(2v)2. Die 12uv können wir wieder abschreiben. -12uv meine ich. Und dann haben haben wir hier 9×u2, +2×3×2 ist 12uv +4v2. =-12v+9u2+12uv+4v2. Ja und jetzt sehen wir natürlich hier, wir haben -12uv und 12uv, das addiert sich zu 0 und deshalb können wir das jetzt weglassen. Dann haben wir einen Term, der dann so aussieht: 9u2+4v2. So und dieser Term ist jetzt ergebnisgleich zu diesem Term. Aber dieser Term ist einfacher als dieser Term. Und das ist auch der Hauptgrund, warum wir Binomische Formeln anwenden. Wir machen uns damit Terme einfacher. Ja und so ist das halt in der Mathematik. Wenn man sich die Sache einfach machen kann, dann macht man das auch. Das ist uns hier erfolgreich gelungen. Dann sind wir hier damit fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

38 Kommentare

38 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt hatte es heute im mathe unterricht hatte es da noch nicht so gut verstanden aber jetzt schon :)

    Von Lucas J., vor etwa 2 Jahren
  2. war echt gut erklärt! danke

    Von Nicole K., vor etwa 2 Jahren
  3. Gute Erklärung

    Von Erik Stiewe, vor mehr als 2 Jahren
  4. tadaaaaaa (-:

    Von Salome E., vor mehr als 2 Jahren
  5. Es war sehr gut erklärt. Ich habe jetzt alles verstanden! Danke, dies war sehr hilfreich. In der Schule habe ich es nicht verstanden.

    Von B J Wehmeier, vor mehr als 3 Jahren
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Erste binomische Formel – Anwendung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Erste binomische Formel – Anwendung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme, bei welchem Term die binomische Formel richtig angewendet wurde.

    Tipps

    Überlege dir, was $a$ und was $b$ ist und wende dann die erste binomische Formel darauf an:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    Sieh dir das Beispiel mit $a=2$ und $b=8$ an:

    $(2+8)^2=2^2+2\cdot 2\cdot 8+8^2$

    Lösung

    Bei der Anwendung der ersten binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$ musst du dir zunächst klar machen, was $a$ und $b$ ist. Bei den folgenden Termen wurde die binomische Formel falsch angewendet:

    • $(50 + 7)^{2}$ = $50^{2} + 50 \cdot 7 + 7^{2}$ ist falsch, da der mittlere Summand nicht mit $2$ multipliziert wurde.
    • $(50 + 7)^{2}$ = $50^{2} + 7^{2}$ ist falsch, da hier der mittlere Summand der ersten binomischen Formel, also $2ab$ komplett fehlt.
    Nur $(50 + 7)^{2} = 50^{2} + 2 \cdot 50 \cdot 7 + 7^{2}$ ist die richtige Anwendung der ersten binomischen Formel. Hier musst du $a=50$ und $b=7$ setzen.

    Bei $(3u+2v)$ setzt du $a=3u$ und $b=2v$, sodass nur $(3u+2v)^2=(3u)^2+2\cdot 3u\cdot 2v+(2v)^2$ richtig ist.

  • Berechne $(50 + 7)^{2}$ mit der binomischen Formel.

    Tipps

    Überlege, wie der Term aussehen muss, damit du die binomische Formel anwenden kannst.

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

    Lösung

    Die Anwendung der binomischen Formel soll dir den Lösungsweg erleichtern. Es ist aber auch richtig, den gegebenen Term auszumultiplizieren.

    Das wollen wir uns einmal an einem Beispiel verdeutlichen:

    $(3+4)^{2} = (3 + 4) \cdot (3 + 4) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 4 =3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 4^{2} = 9 + 24 + 16 = 49$.

    Wenn du hier die binomische Formel anwendest, kannst du dir einige Rechenschritte sparen.

    Die erste binomische Formel lautet $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, sodass du kürzer $(3 + 4)^{2} = 9 + 24 + 16 = 49$ schreiben kannst.

  • Bestimme die passenden Umformungen für $(4u + 3v)^{2}$ mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet:

    • $(a + b)^{2}$ = $a^{2} + 2ab + b^{2}$

    Überlege dir, was in dem Beispiel $a$ und was $b$ ist.

    Bei $(4u + 3v)^{2}$ ist $a=4u$ und $b=3v$.

    Lösung

    Die erste binomische Formel lautet:

    • $(a + b)^{2}$ = $a^{2} + 2ab + b^{2}$
    Gegeben ist die Aufgabe $(4u + 3v)^{2}$. Um die binomische Formel anwenden zu können, musst du zuerst $a$ und $b$ bestimmen.
    • Es ist $a = 4u$ und $b = 3v$.
    Nun kannst du die binomische Formel anwenden. Dabei musst du beachten, dass du den gesamten Term quadrierst. Beachte, dass $4u^{2} \neq (4u)^{2} = 16u^{2}$ ist.

    Wir erhalten also:

    • $(4u + 3v)^{2}$ = $(4u)^{2} + 2 \cdot 4u \cdot 3v + (3v)^{2}$ = $16u^{2} + 24uv + 9v^{2}$

  • Wende die erste binomische Formel auf die gegebenen Terme an.

    Tipps

    Beachte, dass $3x^{2} + 2y^{2} \neq (3x + 2y)^{2}$ gilt.

    Die erste binomische Formel lautet:

    • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
    Lösung

    Der routinierte Umgang mit den binomischen Formeln ist in der Mathematik sehr wichtig. Es ist eine der häufigsten Fehlerquellen. Durch wiederholtes Üben kannst du Fehler leichter vermeiden. Schaue dir immer genau die Klammersetzung an.

    Es spielt keine Rolle, welche Zahlen oder Variablen der Term beinhaltet, solange er sich in die Form $(a + b)^{2}$ bringen lässt. Bevor du losrechnest, musst du bestimmen, was $a$ und was $b$ in deiner Gleichung darstellt. Dann kannst du die erste binomische Formel $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ anwenden.

    • Bei dem Term $(3x + 2y)^2$ ist $a = 3x$ und $b = 2y$. Wenn wir die binomische Formel anwenden, erhalten wir $(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy +4y^2$.
    • Bei dem Term $(2x + 3y)^2$ ist $a = 2x$ und $b = 3y$. Wenn wir die binomische Formel anwenden, erhalten wir $(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy +9y^2$.
    • Bei dem Term $(3x + 2x)^2$ ist $a = 3x$ und $b = 2x$. Wenn wir die binomische Formel anwenden, erhalten wir $(3x + 2x)^2 = 9x^2 + 12x^2 +4x^2 = 25x^2$.
    • Bei dem Term $(3x^2 + 2y)^2$ ist $a = 3x^2$ und $b = 2y$. Wenn wir die binomische Formel anwenden, erhalten wir $(3x^2 + 2y)^2 = 9x^4 + 12x^2y +4y^2$.
    • Bei dem Term $(3y + 2y)^2$ ist $a = 3y$ und $b = 2y$. Wenn wir die binomische Formel anwenden, erhalten wir $(3y + 2y)^2 = 9y^2 + 12y^2 +4y^2 = 25y^2$.
    Hier sind weitere Beispiele, die dir helfen, das Prinzip zu verstehen:

    • $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$,
    • $(a + 1)^{2} = a^{2} + 2a + 1$,
    • $(2 + 3)^{2} = 2^{2} + 2\cdot 2 \cdot 3 + 3^{2} = 4 + 12 + 9 = 25$.
    In diesem Fall wäre es einfacher gewesen, die $2$ und $3$ direkt zu addieren und dann zu quadrieren : $(2 + 3)^{2}= 5^{2} = 25$. Du musst bei jeder Aufagbe entscheiden, ob die Anwendung der binomischen Formel möglich und sinnvoll ist.

  • Bestimme die richtigen Termumformungen für $(a+b)^2$.

    Tipps

    Beachte die Distributivgesetze. Es gilt zum Beispiel:

    • $3(a + b) = 3a + 3b$,
    • $(x + y)(a + b) = xa + xb + ya + yb$.

    Die Multiplikationszeichen zwischen $2\cdot a\cdot b$ können weggelassen werden. $2\cdot a\cdot b$ und $2 a b$ sind also identisch.

    Lösung

    Die Gültigkeit der binomischen Formel kannst du überprüfen, indem du den Term ausmultiplizierst.

    $(a+b)^{2}$ = $(a + b)\cdot(a + b)$ = $a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b$ = $a^{2} + 2\cdot a\cdot b + b^{2}$

    Die binomische Formel lautet: $(a+b)^{2}$ = $a^{2} + 2ab + b^{2}$.

    Die Reihenfolge der Summanden ändert den Wert des Terms nicht. Bei dem Term $a^2 + 2ab + b^2$ kannst du die Reihenfolge der Summanden auch beliebig verändern.

  • Wende die erste binomische Formel an.

    Tipps

    Bedenke, dass $(4x)^{2} \neq 4x^{2}$.

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

    Lösung

    Beim Lösen der binomischen Formel musst du dich immer genau an die Formel $(a + b)^{2} = a^{2} +2ab + b^{2}$ halten.

    Beispiel 1

    Bei dem Term $(7x + 2y)^{2}$ kannst du $a$ durch $7x$ und $b$ durch $2y$ ersetzen. Damit kannst du dann wie folgt umformen:

    • $(7x)^{2} + 2 \cdot 7x \cdot 2y + (2y)^{2}$ = $49x^{2} + 28xy + 4y^{2}$
    Beispiel 2

    Bei dem Term $-20uv + (2u + 5v)^{2}$ kannst du $a$ durch $2u$ und $b$ durch $5v$ ersetzen. Den Faktor $-20uv$ schreibst du unverändert mit. So folgt:

    • $-20uv + (2u)^{2} + 2 \cdot 2u \cdot 5v + (5v)^{2} = -20uv + 4u^{2} + 20uv + 25v^{2}=4u^{2} + 25v^{2}$
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