Erste binomische Formel – anschauliche Erklärung

Erste binomische Formel – anschauliche Erklärung Übung

• Benenne die Teilflächen des Quadrates mit der Seitenlänge $(a+b)^2$.

  Tipps

  Die Fläche eines Rechteckes berechnest du aus dem Produkt der Seitenlängen. Haben die beiden Seiten zum Beispiel die Längen $f$ und $g$, hat das Rechteck die Fläche $f \cdot g$.

  Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Beträgt die Seitenlänge $q$, so ist die Fläche also $q \cdot q$ oder anders ausgedrückt $q^2$.

  Lösung

  Das Quadrat hat die Seitenlänge $a+b$. Die Fläche des Quadrates ist dann also $(a+b)^2$. Dies ist die linke Seite der ersten binomischen Formel.

  Man kann dieses Quadrat in die vier Flächen zerlegen, die in der Aufgabe zu bestimmen waren. Diese Teilflächen haben den Flächeninhalt: $a^2$, $~a \cdot b$, $~a \cdot b$ und $b^2$. Addiert man diese nun zusammen, erhält man also die Fläche des großen Quadrates:

  $(a+b)^2 = a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$.

• Erkläre, wie du das Quadrat $(a+b)^2$ aus den Teilflächen erhältst.

  Tipps

  Rechtecke, bei denen alle Seiten gleich lang sind, heißen Quadrate. Wie viele der vier Teilflächen sind Quadrate? Zeichne zur Hilfe eine Skizze des Quadrates mit der Seitenlänge $a+b$.

  Die Fläche eines Rechteckes mit den Seiten $f$ und $g$ ist $A= f \cdot g$. Im Falle eines Quadrates mit der Seitenlänge $q$ ergibt sich $A = q \cdot q = q^2$.

  Wie viel ergibt $a \cdot b + a \cdot b$?

  Lösung

  Die beschriebene Zerlegung des Quadrates ist die geometrische Interpretation der 1. binomischen Formel. Das bedeutet, dass der Ausdruck $(a+b)^2$ als Fläche eines geometrischen Objektes, nämlich eines Quadrates mit Seitenlänge $(a+b)$, interpretiert wird.

  Man kann die 1. binomische Formel auch nur durch elementare Rechnungen herleiten. $(a+b)^2$ bedeutet, dass der Term $(a+b)$ mit sich selbst multipliziert wird. Die Klammern kann man dann ausmultiplizieren und vereinfachen:

  $\begin{align} (a+b)^2 &= (a+b) \cdot (a+b)\\ &= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b\\ &= a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2\\ &= a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\\ \end{align}$

• Berechne die Fläche des Quadrates mit Hilfe der 1. binomischen Formel.

  Tipps

  Um die Seitenlänge des großen Quadrats zu erhalten, musst du die beiden Teilstücke addieren.

  Wie berechnest du die Fläche eines Rechteckes?

  Ein Quadrat ist übrigens ein spezielles Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

  Lösung

  Diese Aufgabe ist eine Anwendung der 1. binomischen Formel.

  Mit der 1. binomischen Formel rechnet man die Größen der Teilflächen aus: $(3~cm)^2 + 2 \cdot 3~cm \cdot 4~cm + (4~cm)^2 = 9~cm^2 + 24~cm^2 + 16~cm^2 = 49~cm^2$.

  Die Seiten des Quadrates sind insgesamt $7~cm$ lang. Man könnte die Fläche also auch direkt ausrechnen: $(3~cm + 4~cm)^2 = (7~cm)^2 = 49~cm^2$. Natürlich liefern beide Rechnungen das gleiche Ergebnis.

  Wenn man die 1. binomische Formel mal vergessen hat, kann man sie auch durch einfaches Ausmultiplizieren erhalten:

  $(a+b)^2 = (a+b)\cdot (a+b) = a\cdot a + b\cdot a + a \cdot b + b\cdot b = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2$.

• Vergleiche die Terme miteinander.

  Tipps

  Du kannst die 1. binomische Formel umstellen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addierst bzw. subtrahierst.

  Durch Äquivalenzumformungen kannst du dir das Ausmultiplizieren der einzelnen Terme sparen.

  Lösung

  Man kann Gleichungen umformen, indem man auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addiert bzw. subtrahiert. Das ändert nichts an der Richtigkeit der Gleichung. So kann man zum Beispiel die 1. binomische Formel $(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$ umformen zu:

  • $(a+b)^2 - a^2 = 2 \cdot a \cdot b + b^2$,
  • $(a+b)^2 - b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b$ oder auch
  • $(a+b)^2 - 2 \cdot a \cdot b = a^2 + b^2$.

  Man kann die 1. binomische Formel noch beliebig weiter umformen, da man zum Beispiel den Term $(a+b)^2 - a^2$ auch als $- a^2 + (a+b)^2$ schreiben kann.

  Für die Anwendungen der 1. binomischen Formel $(9 + 4)^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4 + 4^2$ und $(7 + 2)^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 2 + 2^2$ ergeben sich dann zum Beispiel die folgenden Umformungen:

  • $(9 + 4)^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4 + 4^2$,
  • $2 \cdot 7 \cdot 2 + 2^2 = (7 + 2)^2 - 7^2$,
  • $(9 + 4)^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4 = 9^2 + 4^2$,
  • $7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 2 = (7 + 2)^2 - 2^2$.

• Bestimme, wie die rechte Seite der 1. binomischen Formel lautet.

  Tipps

  Der Term $(a+b)^2$ kann auch als Produkt $(a+b) \cdot (a+b)$ geschrieben werden. Du kannst ihn ausmultiplizieren.

  In dem Term $(a+b)^2$ kommen keine Minuszeichen vor. Auch der ausmultiplizierte Term sollte also keine Minuszeichen enthalten.

  Lösung

  Du kannst die 1. binomische Formel zum Beispiel nutzen, um das Quadrat großer Zahlen zu bestimmen. Dazu zerlegst du eine Zahl in eine Summe aus zwei Zahlen, deren Quadrat du leicht bestimmen kannst.

  So kannst du beispielsweise das Quadrat von $57$ berechnen, indem du $57$ in $(50+7)$ zerlegst:

  • $57^2 = (50+7)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 7 + 7^2 = 2.500 + 700 + 49 = 3~249$.

  Oder aber das Quadrat von $43$:

  • $43^2 = (40+3)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 3 + 3^2 = 1.600 + 240 + 9 = 1~849$

  Bei $141^2$ wendest du die 1. binomische Formel zweimal an. Dazu brauchst du dann auf jeden Fall etwas zum schreiben, du kommst aber trotzdem ohne Taschenrechner aus:

  $\begin{align} 141^2 &= (100+41)^2\\ &= 100^2 + 2\cdot 100\cdot 41 +41^2\\ &= 10~000 + 8~200 + (40+1)^2\\ &= 18~200 + 40^2 + 2\cdot 40\cdot 1 + 1^2 \\ &= 18~200 + 1~600 + 80 +1 \\ &= 19~881 \end{align}$

• Berechne, wie lang das Rosenbeet von Herr Quanz ursprünglich war.

  Tipps

  Die Seitenlänge beträgt ursprünglich $a$ Meter. Wie groß ist die Seitenlänge, wenn man sie um 1 vergrößert? Und wie berechnest du dann die Fläche des Quadrates?

  Ein Quadrat mit der Seitenlänge $(a+5)$ hat die Fläche $(a+5)^2$.

  Das vergrößerte Beet ist $5~m^2$ größer als das Beet mit der Fläche $a^2$. Für die größere Fläche gilt also auch $a^2 + 5$.

  Die beiden Terme ergeben dasselbe. Du kannst sie also gleichsetzen:

  $(a+1)^2 = a^2 + 5$.

  Lösung

  Da das Beet quadratisch ist, haben alle Seiten - vor der Vergrößerung - die Seitenlänge $a$. Das Beet hat dann eine Fläche der Größe $a^2$. Beide Seiten des Beetes werden um einen Meter vergrößert. Damit ist das Beet immer noch quadratisch und hat die Seitenlänge $a+1$.

  Die Fläche beträgt dann nach der Vergrößerung $(a+1)^2$. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass die Fläche $5~m^2$ größer als vorher ist, also gilt für die vergrößerte Fläche auch $a^2 + 5$. Die beiden Terme ergeben also den gleichen Wert und können gleichgesetzt werden. $(a+1)^2$ kann mit Hilfe der 1. binomischen Formel ausmultipliziert werden. Anschließend kann die Gleichung umgeformt werden, um den Wert von $a$ zu erhalten:

  $\begin{array}{rll} (a+1)^2 &= a^2 + 5 &|& \text{1. binomische Formel} \\ a^2 + 2 \cdot a + 1 &= a^2 + 5 &|& -a^2 \\ 2\cdot a +1 &= 5 &|& - 1\\ 2\cdot a &= 4 &|& : 2\\ a &= 2 \end{array}$

  Antwort: Das Beet hatte vor der Vergrößerung eine Seitenlänge von $2~m$.

  Es kann auch eine Probe durchgeführt werden: Das Beet hatte dann ursprünglich eine Fläche von $(2~m)^2 = 4~m^2$. Wird es an beiden Seiten um einen Meter verlängert hat es eine Seitenlänge von $3~m$ und damit eine Fläche von $(3~m)^2 = 9~m^2$. Damit ist es um $5~m^2$ größer als vorher.