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Einpendeln der relativen Häufigkeit

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Martin Wabnik
Einpendeln der relativen Häufigkeit
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Einpendeln der relativen Häufigkeit

In diesem Video geht um das Verständnis des Zusammenhangs zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit. Wenn du nur wissen möchtest, was du in der nächsten Klassenarbeit hinschreiben musst, brauchst du diesen Film nicht anzusehen. Es gibt die Behauptung: Nach vielen Durchführungen eines Zufallsversuchs pendelt sich die relative Häufigkeit eines Ergebnisses bei der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses ein. Das kann man zwar oft beobachten, aber es gilt nicht immer. Tatsächlich muss die relative Häufigkeit auch nach sehr vielen Versuchsdurchführungen nicht einmal in der Nähe der Wahrscheinlichkeit liegen. Der Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit lässt sich so vereinfacht zusammenfassen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit eines Ergebnisses um einen bestimmten Betrag von der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses abweicht, wird mit zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen immer geringer.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Colles Video

    Von Joachim Allgeier, vor fast 2 Jahren
  2. xD

    Von Tom L., vor mehr als 2 Jahren
  3. @Unicornsteak: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Jeanne O., vor etwa 3 Jahren
  4. Ich verstehe es nicht... :-/

    Von Xmina Xp, vor etwa 3 Jahren
  5. naja

    Von Katrin 12, vor mehr als 4 Jahren
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Einpendeln der relativen Häufigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Einpendeln der relativen Häufigkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was unter dem Einpendeln der relativen Häufigkeit zu verstehen ist.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit, mit einer fairen Münze Kopf oder Zahl zu werfen ist gleich groß, nämlich $0,5$.

    Dabei wird vorausgesetzt, dass die Münze nicht auf der Kante liegen bleibt.

    Wirf eine Münze mehrmals und notiere dir, wie oft du Kopf oder Zahl geworfen hast.

    Es kann in seltenen Fällen vorkommen, dass du bei $100$-fachem Werfen $100$-Mal Kopf wirfst.

    Doch das ist sehr unwahrscheinlich.

    Lösung

    Wenn man ein Zufallsexperiment mehrmals durchführt, so kann man die absoluten und relativen Häufigkeiten eines Ergebnisse betrachten.

    Wir nehmen an, dass wir $10$-mal ein Münze werfen. Dabei kommt

    • viermal Zahl und
    • sechsmal Kopf vor.
    Dies sind die absoluten Häufigkeiten. Die relativen Häufigkeiten ergeben sich durch Division durch die Zahl der Versuche.

    Also ist

    • die relative Häufigekeit von Zahl $\frac4{10}=\frac25=0,4$ und
    • die von Kopf $\frac{6}{10}=\frac35=0,6$.
    Wenn man beliebig oft wirft, was technisch natürlich nicht möglich ist, dann nähert sich die relative Häufigkeit im Regelfall immer mehr der Wahrscheinlichkeit an.

    Es kann dabei durchaus vorkommen, dass du zum Beispiel beim $100$-fachen Werfen einer Münze $100$-Mal Kopf wirfst.

  • Zeige die Fehler in der Erklärung auf.

    Tipps

    Die absolute Häufigeit ist eine natürliche Zahl.

    Wahrscheinlichkeiten sind immer größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit eines Ergebnisses um einen bestimmten Betrag von der Wahrscheinlichkeit abweicht, wird mit zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen immer geringer.

    Das bedeutet, dass bei Erhöhen der Anzahl der Durchführungen eines Experimentes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die relativen Häufigkeiten um mehr als den gegebenen Betrag von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweichen, immer kleiner werden.

    Wichtig ist dabei zu beachten, dass diese Erklärung keinen Widerspruch dazu darstellt, dass bei $5000$-maligem Werfen einer Münze $5000$-mal Kopf erscheint. Ein solches Ergebnis ist möglich, jedoch sehr, sehr unwahrscheinlich.

    Wahrscheinlichkeiten sind ein theoretisches Werkzeug, um Zufall zu beschreiben, wohingegen relative Häufigkeiten praktische Werkzeuge sind, welche man durch Ausprobieren erhält.

  • Bestimme die relativen Häufigkeiten beim Münzwurf.

    Tipps

    Eine absolute Häufigkeit ist eine natürliche Zahl.

    Die relative Häufigkeit gibt die absolute Häufigkeit in Relation zu der Anzahl der Durchführungen an.

    Relative Häufigkeiten sind größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$.

    Lösung

    Wenn sowohl die absolute Häufigkeit $H_n(\text{Kopf})$ sowie die Anzahl der Durchführungen eines Experimentes bekannt sind, lässt sich die relative Häufigkeit mit der Formel

    $h_n(\text{Kopf})=\frac{H_n(\text{Kopf})}{n}$

    berechnen. Somit ist

    • $h_{1000}(\text{Kopf})=\frac{400}{1000}=0,4$,
    • $h_{1500}(\text{Kopf})=\frac{600}{1500}=0,4$,
    • $h_{2000}(\text{Kopf})=\frac{1200}{2000}=0,45$ und
    • $h_{2500}(\text{Kopf})=\frac{2000}{2500}=0,52$.

  • Ordne bei einem gegebenen Experiment den Ereignissen die absoluten und relativen Häufigkeiten sowie die Wahrscheinlichkeit zu.

    Tipps

    Eine Wahrscheinlichkeit berechnet sich als Quotient aus der Anzahl der Ergebnisse, welche das Ereignis erfüllen, und der Anzahl aller Ergebnisse.

    Die Ergebnismenge bei dem Tetraeder ist

    $\Omega=\{1;2;3;4\}$.

    Die relative Häufigkeit ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Durchführungen des Experimentes.

    Lösung

    Eine Wahrscheinlichkeit berechnet sich als Quotient aus der Anzahl der Ergebnisse, welche das Ereignis erfüllen, und der Anzahl aller Ergebnisse.

    Die Anzahl der Elemente in $\Omega=\{1;2;3;4\}$ ist $4$.

    Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen aus der Ergebnismenge, also eine Teilmenge der Ergebnismenge $\Omega$.

    • $A=\{2;4\}$. Die Anzahl der Elemente ist $2$, also ist $p=P(A)=\frac24=0,5$.
    • $B=\{1;2;3\}$. Die Anzahl der Elemente ist $3$, also ist $p=P(B)=\frac34=0,75$.
    Die jeweiligen relativen Häufigkeiten ergeben sich als Quotient aus den absoluten Häufigkeiten und der Anzahl der Durchführungen:
    • $h=h_{100}(A)=\frac{55}{100}=0,55$.
    • $h=h_{1000}(B)=\frac{420}{1000}=0,42$.
    An diesem Beispiel ist zu erkennen, dass der Abstand der relativen Häufigkeit zu der Wahrscheinlichkeit durchaus recht groß sein kann. Beachte: Dies passiert jedoch recht selten.

  • Fasse den Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten zusammen.

    Tipps

    Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses gibt die Zahl an, wie oft dieses Ergebnis bei mehrmaligem Durchführen eines Experimentes eintritt.

    Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ist der Quotient aus der absoluten Häufigkeit und der Anzahl der Durchführungen eines Experimentes.

    Die absolute Häufigkeit ist eine natürliche Zahl.

    Die relative Häufigkeit ist eine reelle Zahl, die größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ ist.

    Lösung

    Wenn man ein Experiment häufiger durchführt, so nähern sich im Regelfall die relativen Häufigkeiten der Wahrscheinlichkeit an.

    Es kann allerdings in seltenen Fällen passieren, dass bei $1000$-maligem Werfen der Münze $1000$ Mal Kopf oder bei sechsmaligem Werfen sechsmal Zahl oben liegt.

    Dies gilt, wenn man ein Experiment endlich oft durchführt.

    Wenn man ein Experiment beliebig oft durchführt, wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die relative Häufigkeit eines Ergebnisses von dessen Wahrscheinlichkeit über ein gewisses Maß hinaus unterscheidet, immer kleiner.

    Man erwartet, dass die relativen Häufigkeiten nicht zu sehr von den Wahrscheinlichkeiten abweichen.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten.

    Tipps

    Die relative Häufigkeit wird berechnet als Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Durchführungen eines Experimentes.

    Wenn ein Experiment $n$-mal durchgeführt wird, ist die Summe der absoluten Häufigkeiten über alle Ergebnisse ebenfalls $n$.

    Das sichere Ereignis ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.

    Das unmögliche Ereignis enthält kein Ergebnis. Dies ist die leere Menge $\emptyset$.

    Lösung

    Auch wenn die relativen Häufigkeiten ($h_n$) nicht mit der Wahrscheinlichkeit übereinstimmen, gibt es doch viele Eigenschaften, die beide gemeinsam haben.

    Sei $\Omega$ die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments, das sogenannte sichere Ereignis, und $\emptyset$ das unmögliche Ereignis, so gilt

    • $h_n(\Omega)=P(\Omega)=1$ und
    • $h_n(\emptyset)=P(\emptyset)=0$.
    „$P$“ steht für die englische Bezeichnung „probability“ für „Wahrscheinlichkeit“.

    Wenn sich in einem Ereignis mehrere Ergebnisse befinden, so kann analog zu Wahrscheinlichkeiten die relative Häufigkeit des Ereignisses als Summe der relativen Häufigkeiten der Ergebnisse berechnen.

    Ein Ereignis tritt entweder ein oder nicht. Wenn ein Ereignis nicht eintritt, spricht man von dem Gegenereignis. Die absoluten Häufigkeiten von Ereignis und Gegenereignis summieren sich zu $n$ und somit die relativen Häufigkeiten zu $1$.

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