Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele

Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele Übung

• Berechne, wie viele Minuten Kimi fährt.

  Tipps

  Zunächst solltest du die Informationen aus der Aufgabenstellung möglichst knapp mathematisch formulieren.

  Was wird in die einzelnen Spalten der Tabelle eingetragen? In welcher Reihenfolge machst du das?

  Was kommt immer am Ende einer Sachaufgabe?

  Lösung

  Zu Beginn werden die Wertepaare notiert. Sie werden am besten so notiert, dass die gesuchte Größe an der zweiten Stelle des zweiten Wertepaares steht. Der Grund ist, dass die Erstellung der Tabelle dann einfacher ist. Beachte, dass hier die Wertetabelle gespiegelt ist, sodass Wertepaare immer untereinander statt nebeneinander geschrieben werden.

  Schaut man sich die erste Spalte der Tabelle an, so erkennt man, dass die beiden Werte $20$ und $120$ in der gleichen Reihenfolge stehen wie im ersten Wertepaar $(20~|~120)$.

  Daneben kann dann rechts immer eine $1$ notiert werden. Die Einheit ist der untere Wert in der zweiten Spalte. In dieser Aufgabe gibt sie an, wie viele Minuten Kimi fahren müsste, wenn sie mit $1~km/h$ fährt.

  In der dritten Spalte, beim Schluss auf die gesuchte Größe, ergibt sich wieder die gleiche Reihenfolge wie beim Wertepaar $(80~|~x)$. Oben wird nur $80$ eingetragen; darunter wird die gesuchte Größe berechnet.

  In allen drei Spalten ist also der obere Wert immer bekannt und muss nicht berechnet werden. Nur unten wird gerechnet. Somit ist es für den Schreibfluss besser, wenn die gesuchte Größe von vornherein an der zweiten Stelle des zweiten Wertepaares steht. Schließlich schreibt man von oben nach unten und von links nach rechts.

  Am Schluss einer jeden Sachaufgabe, nicht nur bei Anwendung des Dreisatzes bei antiproportionalen Zuordnungen, wird ein Antwortsatz formuliert.

• Erstelle eine Tabelle zur Dreisatzform bei proportionalen Zuordnungen.

  Tipps

  In der Überschrift ist die Reihenfolge der Größen wichtig.

  Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, musst du auf beiden Seiten jeweils die gleiche Operation durchführen.

  Lösung

  Die beiden Wertepaare $(a~|~b)$ und $(c~|~x)$ haben die Form $(\text{Größe 1}~|~\text{Größe 2})$. In der Überschrift der Tabelle muss diese Reihenfolge beibehalten werden.

  Das gegebene Wertepaar $(a~|~b)$ wird in die erste Zeile eingetragen.

  Um bei dem Schluss auf die Einheit eine 1 zu erhalten, wird a durch a geteilt. Da eine proportionale Zuordnung betrachtet wird, wird auf beiden Seiten die gleiche Operation durchgeführt. Es muss also b durch a geteilt werden und in der rechten Spalte wird $\frac{b}{a}$ eingetragen.

  Beim Schluss auf die gesuchte Größe wird links mit c multipliziert, da das zweite Wertepaar die Form $(c~|~x)$ hat. Wieder wird auf beiden Seiten die gleiche Operation angewandt, es wird also $\frac{b}{a}$ mit $c$ multipliziert. Die gesuchte Größe $x$ berechnet sich also zu $x = \frac{b \cdot c}{a}$.

• Bestimme, wie viele Menschen an jeder Kasse anstehen.

  Tipps

  Überlege, ob die Anzahl geöffneter Kassen oder die Anzahl Kunden pro Kasse links in der Tabelle steht. Die gesuchte Größe soll rechts stehen.

  Es gilt: Je mehr Kassen geöffnet sind, desto weniger Kunden stehen an jeder Kasse an. Welche Art der Zuordnung liegt also vor?

  Bei einer Antiproportionalität führst du in jedem Schritt rechts die Umkehroperation zu der linken Rechnung aus. Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

  Lösung

  Wenn man nicht sofort weiß, welche Größe in der Tabelle links und welche rechts steht, sollte man zunächst die Wertepaare aufstellen und sich daran erinnern: Die gesuchte Größe soll im zweiten Wertepaar an der zweiten Stelle, also rechts, stehen. Also wird die Größe, für die ein Wert gesucht ist, rechts notiert. Die Anzahl der Kunden pro Kasse steht also rechts und die Anzahl geöffneter Kassen links.

  Es gilt: Je mehr Kassen geöffnet sind, desto weniger Kunden stehen an jeder Kasse an. Es liegt also eine Antiproportionalität vor. Es wird bei beiden Schritten rechts jeweils die Umkehroperation zur linken Seite angewendet.

  Im Schluss auf die Einheit wird durch $3$ dividiert, also wird die $8$ auf der rechten Seite mit $3$ multipliziert, sodass $24$ herauskommt.

  Es sollen die Kunden pro Kasse für 4 Kassen berechnet werden, also wird die $1$ mit $4$ multipliziert. Rechts wird also die $24$ durch $4$ dividiert. Heraus kommt $6$. An jeder Kasse stehen nun also 6 Kunden an.

• Ermittle, wie viel Taschengeld Lissy verdient.

  Tipps

  Liegt eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung vor?

  Es gilt: Je mehr Hunde Lissy betreut, desto mehr Taschengeld hat sie.

  Wie viele Hunde führt Lissy nun aus?

  Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung; du musst auf beiden Seiten einer Zeile also die gleiche Rechenoperation durchführen.

  Lösung

  Zunächst ist festzustellen, um was für eine Zuordnung es sich handelt. Es gilt: Je mehr Hunde Lissy betreut, desto mehr Taschengeld hat sie. Es kommt also nur eine proportionale Zuordnung in Frage. Das tatsächlich eine proportionale Zuordnung und nicht irgendeine Je mehr – desto mehr-Zuordnung vorliegt, kann man daran erkennen, dass sie pro Hund den gleichen Geldbetrag bekommt. Ihr Taschengeld wächst also proportional zu der Anzahl Hunde, mit denen sie Gassi geht.

  Als nächstes sollte man sich Gedanken über die Wertepaare machen. Das erste Paar ist sicherlich $(4~|~20)$, da sie für 4 Hunde $20~€$ bekommt. Um das zweite Paar zu bestimmen, ist festzustellen, wie viele Hunde Lissy nun spazieren führt. Ein Hundebesitzer (von einem Hund) zieht weg und 3 neue Hunde kommen durch die neue Nachbarin hinzu. Sie führt nun also $4 - 1 + 3$, also $6$ Hunde aus. Damit steht das zweite Wertepaar fest: $(6~|~x)$.

  Nun steht die Art der Zuordnung und die gegebenen Wertepaare fest. Die drei Sätze können jetzt wie gehabt in die Tabelle eingetragen werden und sollten das obige Ergebnis liefern.

• Benenne, was in jeder Zeile der Tabelle zur Dreisatzform eingetragen wird.

  Tipps

  Oben in der Tabelle sollte stehen, welche Größen betrachtet werden.

  Dann folgen die 3 Sätze des Dreisatzes. Wie lauten diese?

  Lösung

  Die Tabelle besteht sowohl bei proportionalen als auch bei antiproportionalen Zuordnungen aus einer Kopfzeile und 3 weiteren Zeilen. In die Kopfzeile kommen die Überschriften. Hier werden die Größen benannt, die in der Zuordnung betrachtet werden. Dann folgen die drei Sätze des Dreisatzes:

  • Notieren, was gegeben ist.
  • Schluss auf die Einheit
  • Schluss auf die gesuchte Größe

  Bevor die Tabelle gezeichnet und gefüllt wird, sollten die Wertepaare formuliert werden.

  Nachdem alle Werte berechnet und eingetragen wurden, muss noch ein Antwortsatz formuliert werden.

• Untersuche die gegebene Zuordnung anhand der vorgegebenen Dreisatztabelle.

  Tipps

  Analysiere den Schluss auf die Einheit, um die Art der Zuordnung zu bestimmen.

  Bei einer Proportionalität werden auf beiden Seiten die gleichen Operationen angewandt.

  Bei einer Antiproportionalität wird rechts die Umkehroperation angewandt.

  Beim Schluss auf die gesuchte Größe wird links mit 90 multipliziert. Was muss dann rechts gemacht werden?

  Lösung

  Um herauszufinden, ob eine Antiproportionalität oder eine Proportionalität vorliegt, muss der Schluss auf die Einheit analysiert werden. Die Geschwindigkeit von $120~km/h$ wird hier durch 120 dividiert. Auf der rechten Seite werden die $4~h$ jedoch mit 120 multipliziert. Es wurde also die Umkehroperation angewandt. Somit liegt eine Antiproportionalität vor.

  Es muss also auch im Schluss auf die gesuchte Größe die Umkehroperation angewandt werden. Links wird mit 90 multipliziert. Das richtige Ergebnis wird also ermittelt, indem 480 durch 90 dividiert wird.