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Differenzenquotient bestimmen 07:18 min

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Transkript Differenzenquotient bestimmen

In vielen Bereichen der Mathematik behandelt man Funktionen, deren Steigung nicht konstant ist. Um dennoch einen sinnvollen Wert für die Steigung in einem bestimmten Bereich der Funktion anzugeben, benutzt man einen Mittelwert – den sogenannten Differenzenquotienten. In diesem Video übst du, diesen zu bestimmen.

Definition Differenzquotienten

Als kurze Erinnerung: den Differenzenquotienten benötigt man um den mittleren Anstieg zwischen zwei Punkten von krummlinigen Funktionen zu bestimmen. Hier zum Beispiel zwischen den Punkten P0 und P1.

Dabei ist die mittlere Steigung zwischen P0 und P1, der Anstieg der Sekante durch diese Punkte.

Du berechnest den Anstieg dieser Geraden wie üblich mit einem Steigungsdreieck. Die Sekantensteigung nennt man auch den Differenzenquotienten. Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass im Zähler und im Nenner Differenzen stehen.

Beispielaufgabe 1 zur Bestimmung des Differenzenquotienten

Nun stellt sich die Frage, was du damit eigentlich anfangen kannst. Dazu ein paar praktische Beispiele.

Bei einer gleichförmigen Bewegung bildet das Verhältnis zwischen Weg und Zeit eine Gerade. Die Steigung dieser Geraden entspricht der Geschwindigkeit. Diese ändert sich hier nicht.

Wenn sich allerdings die Geschwindigkeit erhöht, spricht man von einer beschleunigten Bewegung. Dies bedeutet, das Auto wird schneller. Wie kannst du nun für einen bestimmten Zeitabschnitt die durchschnittliche Geschwindigkeit bestimmen? Genau, mit dem Differenzenquotienten.

Nimm dazu einmal an, dass wir das Verhältnis von Zeit und Weg mit der Funktion f von x ist gleich x hoch 2 beschreiben können. Den Weg messen wir in Metern und die Zeit in Sekunden. Jetzt brauchst du noch die dazugehörige Wertetabelle.

Die Frage ist nun, in welchem Zeitintervall wir die Durchschnittsgeschwindigkeit ermitteln wollen. Als Beispiel wählen wir jetzt einmal die Zeit vom Start bis zur vierten Sekunde, also zwischen x=0 und x=4.

Für dieses Zeitintervall zwischen x=0 und x=4 bestimmen wir nun den Differenzenquotienten, indem wir den Quotienten aus den Differenzen f von 4 minus f von 0 und 4 - 0 bilden. Wir erhalten damit die Rechnung 16 - 0 geteilt durch 4 - 0. Unsere durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall zwischen x=0 und x=4 beträgt damit 4 Meter pro Sekunde.

Probier es gleich noch einmal. Wie groß ist die durchschnittliche Steigung zwischen x=2 und x=6? In die Formel eingesetzt wäre das 36 - 4 geteilt durch 6 - 2. Also 32 geteilt durch 4. Das ergibt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 8 Metern pro Sekunde.

Beispielaufgabe 2 zur Bestimmung des Differenzenquotienten

Ein weiteres Beispiel. Bei dem Wachstum eines Baumes spielt das Wetter eine große Rolle. Ein Baum wächst bei Sonnenschein schneller und bei zu wenig Regen langsamer. Vereinfacht ist das in diesem Graphen dargestellt. Ist das Wetter ausgeglichen, wächst der Baum ca. linear. Gibt es viel Sonne und Regen, fängt er an schneller und schneller zu wachsen. Wenn im dritten Abschnitt die Trockenperiode beginnt, flaut das Wachstum stark ab, da es weder genug Sonne noch Regen gibt.

Im Schaubild ergibt sich ein Verhältnis von Höhe und Zeit, das man auch als Geschwindigkeit auffassen. Es beschreibt, wie der Baum wächst.

Nun schau dir einmal diese Steigungsdreiecke an. Sie sind in den drei Abschnitten sehr unterschiedlich. Angenommen man kann den ersten Abschnitt mit der Funktion f von x ist gleich ½ mal x beschreiben, den zweiten Abschnitt mit g von x ist gleich x hoch 3 und den dritten Abschnitt mit h von x ist gleich die Wurzel von x.

Der Differenzenquotient beschreibt das durchschnittliche Wachstum in cm pro Woche. Die Aufgabe lautet nun, die Differenzenquotienten der drei Abschnitte in einem Zeitraum von jeweils 4 Wochen zu vergleichen.

Für das Wachstum im ersten Abschnitt mit f von x ist gleich ½ mal x ergibt sich 2 - 0 geteilt durch 4 - 0. Das ergibt ½ cm pro Woche. Da es sich hier um eine Gerade handelt, hätte man das natürlich auch einfach ablesen können.

Für den zweiten Abschnitt mit g von x ist gleich x hoch 3 ergibt sich 64 - 0 geteilt durch 4 - 0. Das Wachstum ist mit 8 cm pro Woche in diesem Abschnitt besonders groß.

In der Trockenperiode mit h von x ist gleich Wurzel von x, beträgt der Differenzenquotient 2-0 geteilt durch 4-0. Das ergibt ein Wachstum von ½ cm pro Woche, dasselbe wie im ersten Abschnitt.

Das war es auch schon von mir. Es gibt noch viele weitere Beispiele , da die meisten Formen in der Natur und in vielen Anwendungsbereichen krummlinig sind. Der Differenzenquotient kommt hier also häufig zum Einsatz!

7 Kommentare
  1. @Melisadeniz38:
    Ja, man muss im Zähler die Werte in die Funktion einsetzen. Das wird im Video auch so gemacht. Nur werden da direkt die Werte aus der Tabelle benutzt, anstatt alles nochmal auszurechnen.
    Bei dem einen Beispiel mit f(x)=x² und f(4)-f(0) werden z.B. gleich die Werte 16 und 0 benutzt. Man könnte das aber auch schrittweise ausrechnen: f(4)=4²=4*4=16 und f(0)=0²=0*0=0.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 27 Tagen
  2. Ich habe Schritt zwei nicht verstanden müssen wir die funkionswerte nicht in die Formel einsetzen? Ich hab’s gemacht und bei mir kamen ganz andere Werte raus

    Von Melisadeniz38, vor etwa einem Monat
  3. Du solltest schon deine Rechnungen erklären und nicht einfach so da hinschreiben, so lernt man doch nichts...

    Von N Schwarz72, vor fast 3 Jahren
  4. Super erklärt!

    Von Fhoffmann1, vor fast 3 Jahren
  5. @Miriwawa: Die Zahlen erhältst du, indem du in die jeweiligen Funktionsgleichungen f(x), g(x) und h(x) für x "4" und "0" einsetzt: Bei f(x)=(1/2)*x heißt der Nenner statt x-x_0 dann 4-0 und der Zähler ergibt sich für f(x)-f(x_0) dann f(4)-f(0). f(4) ist (1/2)*4 =2 und f(0) ist (1/2)*0 =0. So ist der erste Zähler 2-0. Bei g(x)=x^3 bleibt wegen der gleichen Zahlen der Nenner gleich, der Zähler ergibt sich über g(4)-g(0) dieses Mal eine andere Differenz, weil die Funktion eine andere ist: g(4) ist 4^3, g(0) ist 0^3. Daher ergibt sich im Zähler dann 64-0. Bei h(x) gehst du nach dem gleichen Prinzip vor. Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Sarah Kriz, vor fast 5 Jahren
  1. Woher kommen die Zahlen in der Baumaufgabe?

    Von Miriwawa, vor fast 5 Jahren
  2. Wunderbar anschaulich und klar erklärt. Vielen Dank.

    Von Elisabeth 1, vor etwa 6 Jahren
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Differenzenquotient bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Differenzenquotient bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche der folgenden Aussagen richtig sind.

    Tipps

    Welche Differenz steht beim Differenzquotienten im Zähler und welche im Nenner? Präge dir das unbedingt ein.

    Der Differenzenquotienten einer Funktion f auf einem Intervall $[x_0,x]$ ist gegeben durch $D=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

    Überlege dir die geometrische Bedeutung des Differenzenquotienten.

    Lösung

    Die 1, 2. und 5. Aussage sind richtig:

    • Der Differenzenquotient dient dazu, einen Mittelwert für die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Bereich anzugeben.
    • Dies entspricht gerade der Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten.
    • Diese Steigung kann mittels eines Steigungsdreiecks bestimmt werden.
    Die restlichen Aussagen sind hingegen falsch:
    • Der Differenzenquotienten einer Funktion f auf einem Intervall $[x_0,x]$ ist gegeben durch $D=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Beim Differenzenquotienten wird die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der x-Werte geteilt und nicht umgekehrt.
    • Bei $f(x)=x^2$ und $I=[0;4]$ hat sich ein Fehler bei der Bestimmung der Funktionswerte eingeschlichen. Es sollte richtigerweise heißen $D=\frac{4^2-0^2}{4-0}$ statt $D=\frac{4-0^2}{4-0}$.

  • Vervollständige die Definition des Differenzenquotienten.

    Tipps

    Weißt du noch, was ein Steigungsdreieck ist? Wofür benötigst du ein Steigungsdreieck?

    Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Gerade durch zwei Punkte $P(p_1|p_2)$ sowie $Q(q_1|q_2)$ ist gegeben durch

    $m=\frac{q_2-p_2 } {q_1-p_1 }$.

    Ein Punkt auf dem Funktionsgraphen zu der Funktion f lautet $P(x|f(x))$.

    Lösung

    Beim Differenzenquotienten handelt es sich um einen Quotienten. Sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen Differenzen. Im Zähler die der Funktionswerte und im Nenner die der x-Koordinaten. Das kennst du vielleicht noch vom Steigungsdreieck.

    An dem Beispiel der Funktion $f(x)=x^2$ und dem Intervall $[1;2]$ heißt dies: Du betrachtest die Steigung der Sekante durch die Punkte $P(1|f(1))$ sowie $Q(2|f(2))$. Somit hast du mit der Formel für die Berechnung der Steigung gerade $D=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=3$. Dies ist ein sinnvoller Wert für die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $[1;2]$.

    Merke dir: Der Differenzenquotient gibt also die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte bzw. den mittleren Anstieg der Funktion auf dem entsprechenden Intervall an.

  • Bestimme die richtigen und die fehlerhaften Differenzenquotienten.

    Tipps

    Wie wird der Differenzenqoutient berechnet? Bei den Beispielen ist jeweils einer richtig und einer falsch.

    Im Differenzenquotienten steht im Zähler die Differenz der Funktionswerte, im Nenner die der entsprechenden x-Werte. Achte bitte auf die Reihenfolge.

    Wenn du die Definition angewendet hast, musst du nur noch die richtigen Funktionswerte berechnen.

    Lösung

    Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Steigung auf einem Intervall $I=[a;b]$ an. Dabei steht im Zähler die Differenz der Funktionswerte an den Intervallrändern: $f(b)-f(a)$ und im Nenner die Differenz der x-Werte $b-a$, also die Länge des Intervalls.

    • Für $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $I=[0;4]$ ist also $D=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{16-0}{4-0}=4$. Der Fehler in der anderen Rechnung liegt darin, dass die Intervallgrenzen im Nenner miteinander vertauscht sind.
    • Beim zweiten Beispiel wäre die richtige Lösung $D=\frac{f(6)-f(2)}{6-2}=\frac{36-4}{4}=8$. Bei der falschen Lösung ist der Funktionswert an der Stelle $x=2$ nicht richtig.
    • Beim dritten Beispiel lautet die korrekte Lösung $D=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{64-0}{4}=16$. Der Fehler liegt in der Berechnung des Funktionswertes $f(4)$.
    • Und im letzten Beispiel ist die korrekte Lösung $D=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}$. Bei der falschen Lösung ist im Zähler die Reihenfolge der Funktionswerte vertauscht.

  • Bestimme, in welchem Zeitraum der Baum am schnellsten wächst.

    Tipps

    Skizziere mal den Verlauf der Funktion $f(x)=10+\sqrt{x}$ und zeichne darin die entsprechenden Steigungsdreiecke ein.

    Berechne für jedes Intervall den Differenzenquotienten.

    Auf dem Intervall $[x_1,x_2]$ hat die Funktion f den Differenzenquotienten $D=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

    Lösung

    Das mittlere Wachstum in einem bestimmten Zeitraum ist ein schönes Anwendungsbeispiel für den Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient für jedes Intervall $I=[a;b]$ ist $D=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, du musst nun nur noch die entsprechenden Funktionswerte berechnen und bist schon fast am Ziel.

    Die Sortierungsreihenfolge für die Intervalle lautet wie folgt:

    • $I=[0;1]$: $D=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1-0}{1-0}=1$
    • $I=[0;4]$: $D=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}$
    • $I=[1;4]$: $D=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{2-1}{4-1}=\frac{1}{3}$
    • $I=[0;16]$: $D=\frac{f(16)-f(0)}{16-0}=\frac{4-0}{16-0}=\frac{1}{4}$
    • $I=[1;16]$: $D=\frac{f(16)-f(1)}{16-1}=\frac{4-1}{16-1}=\frac{1}{5}$

  • Erläutere, wie du einen Differenzenquotienten berechnen kannst.

    Tipps

    Was steht im Differenzenquotienten im Zähler bzw. im Nenner? Wo steht die Differenz der Funktionswerte bzw. der x-Werte? Präge dir dies gut ein, damit du es nicht vertauschst.

    Die y-Koordinate eines Punktes auf einem Funktionsgraphen ist gerade der Funktion ausgewertet an der x-Koordinate.

    Die Differenz der x-Werte ist die Länge des betrachteten Intervalls.

    Lösung

    Wir betrachten die Funktion $f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x$ auf dem Intervall $I=[2;5]$. Du kannst zu einer Funktion die mittlere Steigung in einem bestimmten Bereich ausrechnen. Dies ist gerade der Differenzenquotient.

    • Hierfür teilst du die Differenz der Funktionswerte, hier $f(5)-f(2)$, durch die Differenz der x-Werte, hier $5-2=3$. Dies ist die Länge des Intervalls.
    • Du erhältst also $D=\frac{2,5-(-2)}{3}=\frac{4,5}{3}=1,5$ als mittlere Steigung auf dem Intervall $I=[2,5]$.

  • Entscheide, welcher Differenzenquotient zu welchem Intervall gehört.

    Tipps

    Du musst unter anderem den Differenzenquotienten für $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $I=[2,3]$ aufschreiben und dem entsprechendem Intervall zuordnen.

    Im Zähler des Differenzenquotienten steht die Differenz der Funktionswerte.

    Im Nenner des Differenzenquotienten steht immer die Länge des Intervalls.

    Lösung

    Bei Differenzenquotienten steht im Zähler die Differenz der Funktionswerte und im Nenner steht immer die Länge des Intervalls. Betrachtest du eine Funktion f auf einem Intervall $I=[x_0,x]$, dann ist der Differenzenquotient als $D=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ definiert.

    Bei zwei Zuordnungen ist es recht einfach, da hier einfach nur die Definition des Differenzenquotienten steht: Das entsprechende Intervall erkennst du zum einen am Zähler, z.B. $f(\boldsymbol{4})-f(\boldsymbol{1})=16-1$, oder am Nenner, z.B. $\boldsymbol{4}-\boldsymbol{1}$.

    • $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ gehört also zum Intervall $I=[1,4]$.
    • $\frac{g(3)-g(2)}{3-2}$ kannst du dem Intervall $I=[2,3]$ zuordnen.
    Bei den anderen Differenzenquotienten kannst du entweder die Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=2\cdot x+1$ einsetzen oder dich wieder an der Länge des Intervalls orientieren. Betrachten wir z.B. die Funktion f auf dem Intervall $I=[2,3]$, so berechnen wir den Differenzenquotienten als $D=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5$. Mit einem scharfen Blick auf den Nenner hättest du aber auch sofort das passende Intervall ausmachen können; dort steht eine Eins und das einzige Intervall mit Intervalllänge 1 ist $I=[2,3]$. Für die anderen Funktionen kannst du ganz ähnlich vorgehen, wenn du beachtest, dass das Intervall $I=[0,2]$ die Länge 2 und das Intervall $I=[1,4]$ die Länge 3 hat.

    • Zu $I=[2,3]$ gehört $D=\frac{9-4}{\boldsymbol{1}}=5$.
    • Die Differenzenquotienten $D=\frac{4-0}{\boldsymbol{2}}=2$ und $D=\frac{5-1}{\boldsymbol{2}}=2$ kannst du dem Intervall $I=[0,2]$ zuordnen.
    • Zum Intervall $I=[1,4]$ gehört zusätzlich noch der Quotient $D=\frac{9-3}{\boldsymbol{3}}=2$.