Differentialrechnung ganz kurz

Differentialrechnung ganz kurz Übung

• Beschreibe, wofür man die Differentialrechnung benötigt.

  Tipps

  Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ sowie $Q(x_2|y_2)$ ist gegeben durch

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,

  die Differenz der y-Koordinaten geteilt durch die Differenz der x-Koordinaten.

  Zeichne dir einen Funktionsgraphen.

  Die Gerade durch zwei Punkte des Graphen ist eine Sekante. Halte den einen Punkt fest und wähle einen weiteren Punkt auf dem Graphen, welcher näher an diesem festen Punkt liegt als der vorherige.

  Was fällt dir auf?

  Fahre so fort, bis die beiden Punkte fast identisch sind.

  Differenzieren ist im mathematischen Sinne ein anderes Wort für Ableiten.

  Lösung

  Wofür benötigt man die Differentialrechnung?

  Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle berechnen. Dies ist die Steigung der Tangente. Die Tangente ist eine Gerade, welche mit dem Graphen der Funktion in der Umgebung der gegebenen Stelle nur einen Punkt gemeinsam hat. Die Steigung der Funktion und der Tangenten ist an dieser Stelle gleich.

  Die Steigung einer solchen Tangente kann wie folgt berechnet werden:

  Man betrachtet zwei Punkte sowie die Gerade, welche durch diese beiden Punkte verläuft. Die Steigung dieser Geraden kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

  Wenn man einen der beiden Punkte auf dem Funktionsgraphen immer näher an den anderen Punkt heranbewegt, erhält man weitere Geraden. Deren Steigung nähert sich immer mehr der Steigung der Tangente an.

  Die Steigung einer Funktion an einer Stelle wird auch als Ableitung der Funktion an dieser Stelle bezeichnet.

• Gib die Ableitungsfunktion der Funktion $f(x)=x^2$ sowie deren Steigung an der Stelle $x=5$ an.

  Tipps

  Zur Ableitung von Potenzen $x^n$ verwendet man die Potenzregel

  $(x^n)'=nx^{n-1}$.

  Durch $f'(x)$ wird angezeigt, dass es sich um die Ableitungsfunktion von $f(x)$ handelt.

  Die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle ist die Ableitung dieser Funktion an dieser Stelle.

  Lösung

  Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle. Eine solche Steigung wird näherungsweise berechnet über Sekantensteigungen.

  Damit man dies nicht jedes Mal machen muss, wenn es um Steigungen geht, gibt es verschiedene Ableitungsregeln.

  Eine solche ist die Potenzregel, mittels welcher man Potenzen $x^n$ ableiten kann. Die Regel lautet:

  $(x^n)'=nx^{n-1}$.

  Zum Beispiel $f(x)=x^2$. Hier wäre $n=2$ und somit

  $f'(x)=2x^{2-1}=2x^1=2x$.

  Dies ist auch eine Funktion. Man nennt sie die Ableitungsfunktion der Funktion und kennzeichnet sie mit $f'$.

  Wenn man nun die Steigung an einer gegebenen Stelle $x=5$ berechnen möchte, setzt man diesen Wert für $x$ in der Ableitungsfunktion $f'(x)=2x$ ein. Somit erhält man

  $m=f'(5)=2\cdot 5=10$.

• Ermittle die Steigung der Funktion an der gegebenen Stelle.

  Tipps

  Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist die Steigung der Tangente an der gegebenen Stelle.

  Allerdings stimmt auch: Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist die Ableitung dieser Funktion an dieser Stelle.

  Tatsächlich musst du den gegebenen $x$-Wert in die Ableitungsfunktion einsetzen.

  Lösung

  Bei der Differentialrechnung geht es auch um die Berechnung von Steigungen. Genauer gesagt: um die Steigung von Tangenten an den entsprechenden Funktionsgraphen.

  Die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle lässt sich durch die Ableitungsfunktion berechnen.

  Das bedeutet, dass man bei der Bestimmung einer Steigung immer auch die Ableitungsfunktion benötigt.

  Dafür gibt es verschiedene Regeln.

  • Die Potenzregel: $(x^n)'=nx^{n-1}$.
  • Die Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.
  • Die Konstantenregel: $(c)'=0$, wobei $c$ eine Konstante ist.
  • Die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.
  • Es gibt noch weitere Ableitungsregeln.

  Schauen wir uns einmal die verschiedenen Funktionen an.

  • Die Funktion $f(x)=2x^2-2$ besitzt die Ableitungsfunktion $f'(x)=4x$. Für $x=1$ erhält man die Steigung $m=4\cdot 1=4$. Wir haben die Stelle $x=1$ lediglich in die Ableitungsfunktion eingesetzt.
  • Die Funktion $f(x)=x^3-x^2$ besitzt die Ableitungsfunktion $f'(x)=3x^2-2x$. Für $x=2$ erhält man die Steigung $m=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8$.
  • Bei $f(x)=5$ haben wir die Ableitung $f'(x)=0$. Die Steigung an der Stelle $x=10$ ist $m=0$.
  • Zuletzt schauen wir uns die Funktion $f(x)=\frac12x^2-2x$ an. Ihre Ableitung lautet $f'(x)=x-2$. Für $x=3$ erhält man die Steigung $m=3-2=1$.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Zeichne dir die gegebenen Geraden in ein Koordinatensystem und ermittle die Steigungen mit Hilfe eines Steigungsdreiecks.

  Der Scheitelpunkt einer Parabel ist je nach deren Öffnung der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.

  Als Beispiel siehst du hier die Normalparabel zu $f(x)=x^2$ mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$.

  Ganz allgemein erhält man die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle dadurch, dass man diese Stelle in die Ableitungsfunktion einsetzt.

  Lösung

  Die Steigung von Geraden kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt werden:

  • Verläuft eine Gerade parallel zur y-Achse, dann ist die x-Koordinate immer gleich. Die Steigung berechnet sich als Differenz der y-Koordinaten zweier Punkte dividiert durch die Differenz der x-Koordinaten. Die Differenz der x-Koordinaten ist immer gleich $0$. Da man durch $0$ nicht teilen kann, ist diese Steigung nicht definiert. Eine zur y-Achse parallele Gerade ist nicht der Graph einer linearen Funktion.
  • Verläuft eine Gerade parallel zur x-Achse, dann ist die y-Koordinate immer gleich. Zur Berechnung der Steigung wird also immer $0$ durch etwas geteilt, das nicht $0$ ist. Die Steigung ist also immer gleich $0$.

  Damit kann auch erklärt werden, dass die Steigung einer Parabel im Scheitelpunkt immer $0$ ist. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist, je nach Öffnung der Parabel, immer der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Legt man in einen solchen Punkt eine Tangente, dann verläuft diese parallel zur x-Achse.

  Ein Beispiel hierfür ist $f(x)=x^2-4x+5$. Deren Ableitung ist $f'(x)=2x-4$. Setzt man nun $x=2$ in dieser Ableitung ein, erhält man $2\cdot 2-4=0$. Tatsächlich ist $2$ die x-Koordinate des Scheitelpunktes $S(2|1)$.

  Allgemein erhält man die Steigung einer Funktion an einer Stelle dadurch, dass man diese Stelle in der Ableitung einsetzt: $f(x)=2x^2$ und $f'(x)=4x$. Für $x=3$ erhält man die Steigung $4\cdot 3=12$.

• Gib an, wie die Steigung von Funktionen bestimmt werden kann.

  Tipps

  Die Steigung dieser Geraden ist gegeben durch

  $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.

  Hier siehst du eine Parabel (grün) und eine Gerade (rot). Die Steigung der Geraden ist die Steigung der Parabel an der Stelle $x=1$.

  Es gibt

  • Tangenten, diese haben einen Berührpunkt mit einem Funktionsgraphen,
  • Sekanten, diese verlaufen durch zwei Punkte des Funktionsgraphen, sowie
  • Passanten, diese haben keine gemeinsamen Punkte mit dem Funktionsgraphen.

  Natürlich kann eine Tangente auch weitere gemeinsame Punkte mit einem Funktionsgraphen haben. Betrachtet wird dabei aber immer die nähere Umgebung des Berührpunktes.

  Lösung

  Eine kurze Wiederholung:

  Die Steigung einer Tangente kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

  Wenn eine Gerade steigt (fällt), hat sie eine positive (negative) Steigung. Eine zu der x-Achse parallele Gerade hat die Steigung $0$.

  Wenn eine Gerade stärker steigt, so ist die Steigung größer.

  Dies gilt auch für fallende Geraden, wenn man den Absolutbetrag der Steigung betrachtet.

  Auch Funktionen, deren Graphen nicht Geraden sind, besitzen Steigungen an verschiedenen Stellen für $x$. Diese Steigung ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle.

• Bestimme die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an den gegebenen Stellen.

  Tipps

  Du kannst jeweils mit Hilfe der Gitterlinien die Längen in einem Steigungsdreieck ablesen.

  Beachte, dass die Steigung einer fallenden Gerade negativ ist.

  Wenn du die Ableitungsfunktion von $f(x)=x^2$ kennst, kannst du die entsprechenden $x$-Werte dort einsetzen.

  Die Ableitungsfunktion von $f(x)=x^2$ ist $f'(x)=2x$.

  Lösung

  Die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle kann man

  • entweder mit einem Steigungsdreieck als Steigung der Tangente bestimmen
  • oder die Ableitungsfunktion bestimmen und in diese die gegebene Stelle einsetzen.

  Nebenan ist beispielhaft das Bestimmen der Steigung der Tangente für $x=1$ zu sehen:

  • die vertikale Strecke, hellblau, ist zwei Einheiten lang und
  • die horizontale, orange, eine Einheit.

  Die Steigung ergibt sich als Quotient der vertikalen Länge und der horizontalen: $m=\frac21=2$.

  Da die Ableitungsfunktion gegeben ist durch $f'(x)=2x$, kann auch jede der Steigungen durch Einsetzen bestimmt werden:

  • $x=1$ führt zu der Steigung $m=f'(x)=2\cdot 1=2$, welche bereits mit Hilfe des Steigungsdreiecks ermittelt wurde.
  • $x=2$ führt zu der Steigung $m=2\cdot 2=4$ und
  • $x=-1$ zu $m=2\cdot (-1)=-2$.