Differentialrechnung ganz kurz
Beschreibung Differentialrechnung ganz kurz
Hallo! Heute möchte ich dir einmal die Differentialrechnung vorstellen. Und kurz zusammenfassen. In der Differentialrechnung bestimmt man bei Funktionen die Steigungen an einem bestimmten Punkt. Ein zentrales Thema der Differentialrechnung ist also, die Untersuchung einer bestimmten Stelle einer Funktion auf ihre Steigung. Um dir das Thema näher zu bringen, werde ich kurz wiederholen, was denn eigentlich die Steigung einer Funktion ist und wie man sie zum Beispiel bei Geraden bestimmt. Komplexer wird dies dann aber bei Parabeln. Dort ändert sich die Steigung nämlich permanent. Deshalb setzten wir bei solchen Funktionen dann die Differentialrechnung ein.
Transkript Differentialrechnung ganz kurz
Hallo. In der Differentialrechnung bestimmt man Steigungen von solchen Funktionsgraphen. Man nimmt sich also eine Stelle raus und fragt sich: "Wie groß ich die Steigung hier?" oder bestimmt das an einer anderen Stelle, hier oder hier oder hier. Das ist ein zentrales Thema der Differentialrechnung. Kurz zur Wiederholung. Du hast Steigungen an Geraden schon mal bestimmt. Ja, man guckt immer von links nach rechts und dann geht es hier halt nach oben, dass ist eine starke Steigung. Jetzt ist die Steigung nicht so stark, und wenn es so aussieht, dann haben wie ein Gefälle, dann ist die Steigung negativ. Man berechnet Steigungen von Geraden mit solchen Steigungsdreiecken, also wenn die Gerade so verläuft, dann kann man so ein Steigungsdreieck hier anlegen, so ist egal und dann berechnet man diese Seitenlänge geteilt durch diese Seitenlänge und die Zahl, die da herauskommt, ist die Steigung der Geraden. Wenn die Gerade so verläuft, dann kann man so ein Steigungsdreieck verwenden, ja so ungefähr und dann rechnet man auch diese Seite geteilt durch diese Seite und die Zahl die da heraus kommt ist dann die Steigung der Geraden, und wenn die so rum geht, dann kann man auch ein Dreieck, ein Steigungsdreieck verwenden, ja aber dann ist die Zahl, die daraus kommt, das durch das, negativ und auch dass ist dann die Steigung. So, jetzt geht das aber bei solchen krummen Funktionen nicht so, aber man hilft sich damit, wenn man jetzt zum Beispiel in diesem Punkt hier die Steigung bestimmen möchte, dann nimmt man eine Gerade und legt sie so an den Funktionsgraphen dran, dass diese Gerade diesen Funktionsgraphen in diesem Bereich hier nur in einem einzigen Punkt berührt. Ich wollte das eigentlich umklappen hier, damit du das besser sehen kannst. Also, diese schwarze Gerade berührt die Funktion in diesem Bereich nur in einem einzigen Punkt, sie schneidet hier zwar auch noch, aber uns geht es ja nur um diesen Bereich hier. Die Steigung dieser Gerade, dieser schwarzen Gerade hier, dass ist die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle und die Steigung dieser Geraden nennt man Ableitung. Die Steigung dieser Geraden ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle und die Ableitung ist ein zentraler Begriff der Differentialrechnung. Man kann das auch an anderen Stellen machen, ich kann hier auch so eine Gerade anlegen, diese Gerade heißt dann Tangente, wenn sie den Funktionsgraphen in diesem Bereich nur an einer Stelle schneidet. Ich kann auch hier eine Tangente anlegen, die Tangentensteigung hier ist dann 0 der Funktionsgraph hat an dieser Stelle die Steigung 0. 0 ist die Ableitung in diesem Punkt und da wäre es dann negativ, genau so wie hier, da bekämen wir dann eine negative Steigung. Ja, dass ist grafisch das was passiert. Mathematisch passiert Folgendes, da kann man ja nicht einfach jetzt eine Gerade oder eine Tangente dranlegen, eine Tangente ist ja eine Gerade, die eine solche Funktion in diesem Bereich nur in einem Punkt schneidet. Man nimmt sich dann verschiedene Punkte, also 2 zum Beispiel, und wenn man 2 Punkte hat, dann kann man hier so ein Steigungsdreieck sich konstruieren oder erstellen oder wie auch immer du das sagen möchtest und man kann dann die Steigung dieser Strecke bzw. der Gerade bestimmen, die durch diese Strecke da durchgeht mit diesem Steigungsdreieck. Jetzt ist aber diese Steigung nicht die Steigung in diesem Punkt und deshalb lässt man diesen zweiten Punkt hier dahin wandern, man nimmt hier einen Punkt und bestimmt auch noch mal diese Strecke und dann nimmt man hier noch einen Punkt und man geht immer näher daran, ja? Das ist jetzt ein Pfeil und der geht immer näher daran hier, dieser Punkt und je näher dieser zweite Punkt diesem ersten kommt, desto näher liegt die Steigung der Strecke zwischen den beiden Punkten an der tatsächlichen Tangentensteigung und das was passiert, wenn der zweite Punkt hier an den ersten drangeht, wenn die zusammenfallen, ja? Das ist das große Thema der Differentialrechnung und das wird dann noch mathematisch zu klären sein, was da genau los ist.
Es gibt ja Menschen die interessieren sich nicht ganz so dafür, die machen das nur, weil es in der Schule vorkommt und für die habe ich eine freundliche Feststellung zu machen. Es gibt Formeln, mit denen man solche Steigungen berechnen kann. Wir könnten zum Beispiel die Funktion nehmen f(x)=x2, dann kann man die Ableitung bestimmen, die nennt sich dann f'(x)=2x, nur mal so als Beispiel. Wenn ich also bei der Stelle zum Beispiel, ist egal 5. Bei der Stelle 5 möchte ich wissen, wie groß ist, also ich setze für x 5 ein und ich möchte wissen: "Wie groß ist die Steigung dieser Funktion an dieser Stelle?" Dann muss ich einfach in diesen Term hier 5 einsetzen, dann rechne ich 2×5 und die Zahl 10 ist dann die Steigung der Funktion f(x)=x2 an der Stelle 5. Damit will ich zeigen, diese Formeln, mit denen man solche Ableitungen bestimmen kann, mit denen man solche Steigungen bestimmen kann, sind in der Regel außerordentlich einfach und viel komplizierter wird es auch nicht, also was das reine Einsetzen in Formeln angeht. Ja, das so als Ausblick, viel Spaß damit, tschüss.
Differentialrechnung ganz kurz Übung
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Beschreibe, wofür man die Differentialrechnung benötigt.
TippsDie Steigung einer Geraden durch zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ sowie $Q(x_2|y_2)$ ist gegeben durch
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,
die Differenz der y-Koordinaten geteilt durch die Differenz der x-Koordinaten.
Zeichne dir einen Funktionsgraphen.
Die Gerade durch zwei Punkte des Graphen ist eine Sekante. Halte den einen Punkt fest und wähle einen weiteren Punkt auf dem Graphen, welcher näher an diesem festen Punkt liegt als der vorherige.
Was fällt dir auf?
Fahre so fort, bis die beiden Punkte fast identisch sind.
Differenzieren ist im mathematischen Sinne ein anderes Wort für Ableiten.
LösungWofür benötigt man die Differentialrechnung?
Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle berechnen. Dies ist die Steigung der Tangente. Die Tangente ist eine Gerade, welche mit dem Graphen der Funktion in der Umgebung der gegebenen Stelle nur einen Punkt gemeinsam hat. Die Steigung der Funktion und der Tangenten ist an dieser Stelle gleich.
Die Steigung einer solchen Tangente kann wie folgt berechnet werden:
Man betrachtet zwei Punkte sowie die Gerade, welche durch diese beiden Punkte verläuft. Die Steigung dieser Geraden kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Wenn man einen der beiden Punkte auf dem Funktionsgraphen immer näher an den anderen Punkt heranbewegt, erhält man weitere Geraden. Deren Steigung nähert sich immer mehr der Steigung der Tangente an.
Die Steigung einer Funktion an einer Stelle wird auch als Ableitung der Funktion an dieser Stelle bezeichnet.
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Gib die Ableitungsfunktion der Funktion $f(x)=x^2$ sowie deren Steigung an der Stelle $x=5$ an.
TippsZur Ableitung von Potenzen $x^n$ verwendet man die Potenzregel
$(x^n)'=nx^{n-1}$.
Durch $f'(x)$ wird angezeigt, dass es sich um die Ableitungsfunktion von $f(x)$ handelt.
Die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle ist die Ableitung dieser Funktion an dieser Stelle.
LösungDie Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle. Eine solche Steigung wird näherungsweise berechnet über Sekantensteigungen.
Damit man dies nicht jedes Mal machen muss, wenn es um Steigungen geht, gibt es verschiedene Ableitungsregeln.
Eine solche ist die Potenzregel, mittels welcher man Potenzen $x^n$ ableiten kann. Die Regel lautet:
$(x^n)'=nx^{n-1}$.
Zum Beispiel $f(x)=x^2$. Hier wäre $n=2$ und somit
$f'(x)=2x^{2-1}=2x^1=2x$.
Dies ist auch eine Funktion. Man nennt sie die Ableitungsfunktion der Funktion und kennzeichnet sie mit $f'$.
Wenn man nun die Steigung an einer gegebenen Stelle $x=5$ berechnen möchte, setzt man diesen Wert für $x$ in der Ableitungsfunktion $f'(x)=2x$ ein. Somit erhält man
$m=f'(5)=2\cdot 5=10$.
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Ermittle die Steigung der Funktion an der gegebenen Stelle.
TippsDie Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist die Steigung der Tangente an der gegebenen Stelle.
Allerdings stimmt auch: Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist die Ableitung dieser Funktion an dieser Stelle.
Tatsächlich musst du den gegebenen $x$-Wert in die Ableitungsfunktion einsetzen.
LösungBei der Differentialrechnung geht es auch um die Berechnung von Steigungen. Genauer gesagt: um die Steigung von Tangenten an den entsprechenden Funktionsgraphen.
Die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle lässt sich durch die Ableitungsfunktion berechnen.
Das bedeutet, dass man bei der Bestimmung einer Steigung immer auch die Ableitungsfunktion benötigt.
Dafür gibt es verschiedene Regeln.
- Die Potenzregel: $(x^n)'=nx^{n-1}$.
- Die Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.
- Die Konstantenregel: $(c)'=0$, wobei $c$ eine Konstante ist.
- Die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.
- Es gibt noch weitere Ableitungsregeln.
- Die Funktion $f(x)=2x^2-2$ besitzt die Ableitungsfunktion $f'(x)=4x$. Für $x=1$ erhält man die Steigung $m=4\cdot 1=4$. Wir haben die Stelle $x=1$ lediglich in die Ableitungsfunktion eingesetzt.
- Die Funktion $f(x)=x^3-x^2$ besitzt die Ableitungsfunktion $f'(x)=3x^2-2x$. Für $x=2$ erhält man die Steigung $m=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8$.
- Bei $f(x)=5$ haben wir die Ableitung $f'(x)=0$. Die Steigung an der Stelle $x=10$ ist $m=0$.
- Zuletzt schauen wir uns die Funktion $f(x)=\frac12x^2-2x$ an. Ihre Ableitung lautet $f'(x)=x-2$. Für $x=3$ erhält man die Steigung $m=3-2=1$.
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Prüfe die folgenden Aussagen.
TippsZeichne dir die gegebenen Geraden in ein Koordinatensystem und ermittle die Steigungen mit Hilfe eines Steigungsdreiecks.
Der Scheitelpunkt einer Parabel ist je nach deren Öffnung der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.
Als Beispiel siehst du hier die Normalparabel zu $f(x)=x^2$ mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$.
Ganz allgemein erhält man die Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle dadurch, dass man diese Stelle in die Ableitungsfunktion einsetzt.
LösungDie Steigung von Geraden kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt werden:
- Verläuft eine Gerade parallel zur y-Achse, dann ist die x-Koordinate immer gleich. Die Steigung berechnet sich als Differenz der y-Koordinaten zweier Punkte dividiert durch die Differenz der x-Koordinaten. Die Differenz der x-Koordinaten ist immer gleich $0$. Da man durch $0$ nicht teilen kann, ist diese Steigung nicht definiert. Eine zur y-Achse parallele Gerade ist nicht der Graph einer linearen Funktion.
- Verläuft eine Gerade parallel zur x-Achse, dann ist die y-Koordinate immer gleich. Zur Berechnung der Steigung wird also immer $0$ durch etwas geteilt, das nicht $0$ ist. Die Steigung ist also immer gleich $0$.
Ein Beispiel hierfür ist $f(x)=x^2-4x+5$. Deren Ableitung ist $f'(x)=2x-4$. Setzt man nun $x=2$ in dieser Ableitung ein, erhält man $2\cdot 2-4=0$. Tatsächlich ist $2$ die x-Koordinate des Scheitelpunktes $S(2|1)$.
Allgemein erhält man die Steigung einer Funktion an einer Stelle dadurch, dass man diese Stelle in der Ableitung einsetzt: $f(x)=2x^2$ und $f'(x)=4x$. Für $x=3$ erhält man die Steigung $4\cdot 3=12$.
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Gib an, wie die Steigung von Funktionen bestimmt werden kann.
TippsDie Steigung dieser Geraden ist gegeben durch
$m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac56$.
Hier siehst du eine Parabel (grün) und eine Gerade (rot). Die Steigung der Geraden ist die Steigung der Parabel an der Stelle $x=1$.
Es gibt
- Tangenten, diese haben einen Berührpunkt mit einem Funktionsgraphen,
- Sekanten, diese verlaufen durch zwei Punkte des Funktionsgraphen, sowie
- Passanten, diese haben keine gemeinsamen Punkte mit dem Funktionsgraphen.
LösungEine kurze Wiederholung:
Die Steigung einer Tangente kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Wenn eine Gerade steigt (fällt), hat sie eine positive (negative) Steigung. Eine zu der x-Achse parallele Gerade hat die Steigung $0$.
Wenn eine Gerade stärker steigt, so ist die Steigung größer.
Dies gilt auch für fallende Geraden, wenn man den Absolutbetrag der Steigung betrachtet.
Auch Funktionen, deren Graphen nicht Geraden sind, besitzen Steigungen an verschiedenen Stellen für $x$. Diese Steigung ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle.
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Bestimme die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an den gegebenen Stellen.
TippsDu kannst jeweils mit Hilfe der Gitterlinien die Längen in einem Steigungsdreieck ablesen.
Beachte, dass die Steigung einer fallenden Gerade negativ ist.
Wenn du die Ableitungsfunktion von $f(x)=x^2$ kennst, kannst du die entsprechenden $x$-Werte dort einsetzen.
Die Ableitungsfunktion von $f(x)=x^2$ ist $f'(x)=2x$.
LösungDie Steigung einer Funktion an einer gegebenen Stelle kann man
- entweder mit einem Steigungsdreieck als Steigung der Tangente bestimmen
- oder die Ableitungsfunktion bestimmen und in diese die gegebene Stelle einsetzen.
- die vertikale Strecke, hellblau, ist zwei Einheiten lang und
- die horizontale, orange, eine Einheit.
Da die Ableitungsfunktion gegeben ist durch $f'(x)=2x$, kann auch jede der Steigungen durch Einsetzen bestimmt werden:
- $x=1$ führt zu der Steigung $m=f'(x)=2\cdot 1=2$, welche bereits mit Hilfe des Steigungsdreiecks ermittelt wurde.
- $x=2$ führt zu der Steigung $m=2\cdot 2=4$ und
- $x=-1$ zu $m=2\cdot (-1)=-2$.
Differenzenquotient bestimmen
Mittlere Änderungsrate – Mit einem Steigungsdreieck bestimmen
Mittlere Änderungsrate – Steigung einer Sekante
Mittlere Änderungsrate – Durchschnittsgeschwindigkeit
Änderungsrate – Beispiel und Definition
Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung
Mittlere und lokale Änderungsrate
Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele
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9 Kommentare
Danke! :-)
Puf, so einfach kanns sein wenn jemand sich ein paar Gedanken macht , um es verständlicher zu erklären.
Klasse Video!
Können Sie bitte nochmal eine Definition des Begriffes Ableitung in Ihren Worten schriftlich zusammenfassen?
P.S.: Das Video ist mal wieder super! Vielen Dank! :)
Danke Super!