Differentialrechnung ganz kurz 06:40 min

Hallo. In der Differentialrechnung bestimmt man Steigungen von solchen Funktionsgraphen. Man nimmt sich also eine Stelle raus und fragt sich: "Wie groß ich die Steigung hier?" oder bestimmt das an einer anderen Stelle, hier oder hier oder hier. Das ist ein zentrales Thema der Differentialrechnung. Kurz zur Wiederholung. Du hast Steigungen an Geraden schon mal bestimmt. Ja, man guckt immer von links nach rechts und dann geht es hier halt nach oben, dass ist eine starke Steigung. Jetzt ist die Steigung nicht so stark, und wenn es so aussieht, dann haben wie ein Gefälle, dann ist die Steigung negativ. Man berechnet Steigungen von Geraden mit solchen Steigungsdreiecken, also wenn die Gerade so verläuft, dann kann man so ein Steigungsdreieck hier anlegen, so ist egal und dann berechnet man diese Seitenlänge geteilt durch diese Seitenlänge und die Zahl, die da herauskommt, ist die Steigung der Geraden. Wenn die Gerade so verläuft, dann kann man so ein Steigungsdreieck verwenden, ja so ungefähr und dann rechnet man auch diese Seite geteilt durch diese Seite und die Zahl die da heraus kommt ist dann die Steigung der Geraden, und wenn die so rum geht, dann kann man auch ein Dreieck, ein Steigungsdreieck verwenden, ja aber dann ist die Zahl, die daraus kommt, das durch das, negativ und auch dass ist dann die Steigung.   So, jetzt geht das aber bei solchen krummen Funktionen nicht so, aber man hilft sich damit, wenn man jetzt zum Beispiel in diesem Punkt hier die Steigung bestimmen möchte, dann nimmt man eine Gerade und legt sie so an den Funktionsgraphen dran, dass diese Gerade diesen Funktionsgraphen in diesem Bereich hier nur in einem einzigen Punkt berührt. Ich wollte das eigentlich umklappen hier, damit du das besser sehen kannst. Also, diese schwarze Gerade berührt die Funktion in diesem Bereich nur in einem einzigen Punkt, sie schneidet hier zwar auch noch, aber uns geht es ja nur um diesen Bereich hier. Die Steigung dieser Gerade, dieser schwarzen Gerade hier, dass ist die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle und die Steigung dieser Geraden nennt man Ableitung. Die Steigung dieser Geraden ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle und die Ableitung ist ein zentraler Begriff der Differentialrechnung. Man kann das auch an anderen Stellen machen, ich kann hier auch so eine Gerade anlegen, diese Gerade heißt dann Tangente, wenn sie den Funktionsgraphen in diesem Bereich nur an einer Stelle schneidet. Ich kann auch hier eine Tangente anlegen, die Tangentensteigung hier ist dann 0 der Funktionsgraph hat an dieser Stelle die Steigung 0. 0 ist die Ableitung in diesem Punkt und da wäre es dann negativ, genau so wie hier, da bekämen wir dann eine negative Steigung. Ja, dass ist grafisch das was passiert. Mathematisch passiert Folgendes, da kann man ja nicht einfach jetzt eine Gerade oder eine Tangente dranlegen, eine Tangente ist ja eine Gerade, die eine solche Funktion in diesem Bereich nur in einem Punkt schneidet. Man nimmt sich dann verschiedene Punkte, also 2 zum Beispiel, und wenn man 2 Punkte hat, dann kann man hier so ein Steigungsdreieck sich konstruieren oder erstellen oder wie auch immer du das sagen möchtest und man kann dann die Steigung dieser Strecke bzw. der Gerade bestimmen, die durch diese Strecke da durchgeht mit diesem Steigungsdreieck. Jetzt ist aber diese Steigung nicht die Steigung in diesem Punkt und deshalb lässt man diesen zweiten Punkt hier dahin wandern, man nimmt hier einen Punkt und bestimmt auch noch mal diese Strecke und dann nimmt man hier noch einen Punkt und man geht immer näher daran, ja? Das ist jetzt ein Pfeil und der geht immer näher daran hier, dieser Punkt und je näher dieser zweite Punkt diesem ersten kommt, desto näher liegt die Steigung der Strecke zwischen den beiden Punkten an der tatsächlichen Tangentensteigung und das was passiert, wenn der zweite Punkt hier an den ersten drangeht, wenn die zusammenfallen, ja? Das ist das große Thema der Differentialrechnung und das wird dann noch mathematisch zu klären sein, was da genau los ist.

Es gibt ja Menschen die interessieren sich nicht ganz so dafür, die machen das nur, weil es in der Schule vorkommt und für die habe ich eine freundliche Feststellung zu machen. Es gibt Formeln, mit denen man solche Steigungen berechnen kann. Wir könnten zum Beispiel die Funktion nehmen f(x)=x², dann kann man die Ableitung bestimmen, die nennt sich dann f'(x)=2x, nur mal so als Beispiel. Wenn ich also bei der Stelle zum Beispiel, ist egal 5. Bei der Stelle 5 möchte ich wissen, wie groß ist, also ich setze für x 5 ein und ich möchte wissen: "Wie groß ist die Steigung dieser Funktion an dieser Stelle?" Dann muss ich einfach in diesen Term hier 5 einsetzen, dann rechne ich 2×5 und die Zahl 10 ist dann die Steigung der Funktion f(x)=x² an der Stelle 5. Damit will ich zeigen, diese Formeln, mit denen man solche Ableitungen bestimmen kann, mit denen man solche Steigungen bestimmen kann, sind in der Regel außerordentlich einfach und viel komplizierter wird es auch nicht, also was das reine Einsetzen in Formeln angeht. Ja, das so als Ausblick, viel Spaß damit, tschüss.