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Cosinsufunktion – Punktsymmetrie 05:16 min

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Transkript Cosinsufunktion – Punktsymmetrie

Hallo! Hier habe ich mal eine Schlangenlinie aufgemalt und habe dann hier eine vertikale Achse gezogen, die y-Achse. Kann ich auch dranschreiben. Deshalb wird das Ganze zu einer Cosinusfunktion. Hätte ich hier die Achse gemalt, dann wäre es eine Sinusfunktion gewesen. Egal, jetzt sind wir bei der Cosinusfunktion und diese Cosinusfunktion ist punktsymmetrisch zu allen Nullstellen. Man kann also sagen cos((k+0,5)×π+x)=-cos((k+0,5)×π-x). Die äußeren Klammern habe ich nicht gesprochen und zwar deshalb, weil ich gesagt habe „Cosinus von“ und wenn man dieses „von“ ausspricht, dann bedeutet das halt, dass diese äußeren Klammern hier stehen. Man sagt ja auch, wenn man “f von x” sagt, sagt man ja nicht “f von Klammer auf x Klammer zu”, sondern einfach “f von x” und meint dabei die Klammer. Gut, wie kann man sich das hier am Graphen vorstellen, dass da eine Punktsymmetrie existiert? Wir gehen zu irgendeiner Nullstelle des Graphen, die Nullstellen liegen ja bei 0,5×π oder bei -0,5×π oder bei 1,5×π oder bei -1,5×π und so weiter. Und zu irgendeiner Nullstelle können wir also jetzt gedanklich hingehen, dann gehen wir ein Stück in die eine Richtung und ein Stück in die andere Richtung. Das hier steht hier in Form von plus x und minus x, wenn x positiv ist, dann ist plus x hier, wenn x negativ ist, ist plus x hier. Deshalb habe ich jetzt hier das x nicht drangeschrieben, weil sonst Schüler immer wieder auf die Idee kommen, dieses x hier müsse positiv sein, weil da plus x steht, aber ich kann ja für x auch negative Zahlen einsetzen. Also wir gehen das Stück in die eine Richtung, schauen uns den Funktionswert an, wir gehen ein Stück gleicher Länge in die andere Richtung, schauen uns auch den Funktionswert an und stellen fest, dass die Beträge gleich sind, das heißt die Längen dieser Strecken hier sind gleich. Und die eine Zahl ist positiv, die andere ist negativ, sie sind Gegenzahlen voneinander, additive Gegenzahlen, um das noch genauer zu sagen. Und das gilt für alle x, für alle Funktionswerte, für alle Strecken die man hier die eine und andere Richtung geht. Außer wenn man jetzt ganz genau ist, bei den Nullstellen, dann ist es natürlich nicht so, dass die eine Nullstelle...also wenn ich jetzt von hier bis dahin gehe und von hier bis dahin, dann sind beide Funktionswerte null und dann ist nicht die eine null positiv und die andere negativ, aber das ist jetzt vielleicht auch ein bisschen kleinkariert, darauf rumzureiten. Ich möchte es noch einmal anschaulich zeigen hier mit diesem Zeigerdiagramm. Wir gehen zu einer Nullstelle der Cosinusfunktion, die ist zum Beispiel hier oder da. Da ist der Abstand oder die Strecke, die jetzt vom Punkt des Einheitskreises zur vertikalen Achse hinführt direkt, die ist gleich null, wenn jetzt zwei Zeiger hier gegengleich rotieren, also immer plus x, minus x, dann stellen wir fest, die x-Koordinaten beider Punkte hier auf dem Einheitskreis haben gleichen Betrag aber unterschiedliche Vorzeichen. Das gilt, egal wie weit wir hier die Zeiger rotieren lassen, für alle möglichen Winkel. Da zeige ich es nochmal, die Strecken sind gleich, sie haben unterschiedliche Vorzeichen. Wenn sie dann bei null sind haben sie kein Vorzeichen, aber dann sind sie auch gleich. Eine Sache fehlt noch. Wenn es schon mal hier so da steht, möchte ich auch mal zeigen wie man sich die Punktsymmetrie vorstellen kann. Man muss quasi hier den Graphen auseinanderschneiden, das mache ich jetzt auch mal. An einer Nullstelle den Graphen auseinanderschneiden und dann so herumdrehen, und dann sind die beiden Funktionsgraphen deckungsgleich, das kannst du jetzt nicht ganz genau sehen, weil es nicht durchsichtig ist, aber ich glaube das kann man erkennen. Wenn ich jetzt von hier so rumdrehe um diesen Punkt herum, dass dann die beiden Graphen deckungsgleich werden und so sieht das dann aus, wenn man jetzt drunter guckt, findet man quasi den gleichen Funktionsgraphen wieder vor. Bitte schön, das ist die Punktsymmetrie. Viel Spaß damit, tschüss!