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Brüche durch Brüche dividieren (2)

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Martin Wabnik
Brüche durch Brüche dividieren (2)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche durch Brüche dividieren (2)

Wie teilt man zwei beliebige Brüche durcheinander? Du findest hier zwei verschiedene Erklärungen für den Rechenweg anhand des Beispiels 3/2 : 1/4. Zu Beginn des Videos werden wir den Bruchstreifen verwenden, um dir anschaulich zu erklären, warum 3: 1/4 = 12 ist. Wie hilft uns dieses Ergebnis nun weiter in Bezug zu unserer Anfangsaufgabe 3/2 : 1/4 ? Versuche es anhand des Bruchstreifens zu verstehen! Wenn du nicht mit dem Bruchstreifen auf die Lösung kommst, dann kannst du auch auf anderem Wege zur Lösung kommen. Weißt du noch wie? Mit der Kehrwertregel! Wir zeigen dir im Video mehrere Möglichkeiten zum Ziel zu gelangen. So bist du zukünftig flexibler beim dividieren von Brüchen! Viel Spaß!

Transkript Brüche durch Brüche dividieren (2)

Hallo. Teilen durch Brüche. Was passiert, wenn man Brüche hat, deren Zähler keine Einsen mehr sind. Z. B. könnten wir mal teilen (3/2)/(1/4). Das ist gefragt. (3/2)/(1/4). Und wie können wir uns das vorstellen? Wir wissen ja, 3, das kommt hier als Nebenrechnung dazu, 3/(1/4), das ist 3×4, also 12. Warum ist 3/(1/4) 12? Nun 4/4 passen auf ein Ganzes, deshalb heißen die Dinger ja Viertel. Auf 2 Ganze passen doppelt so viele, auf 3 Ganze passen 3 mal so viele Viertel, wie auf ein Ganzes. Also 3×(4/4) passen auf 3 Ganze. Jetzt möchte ich aber nicht wissen, was ist 3/(1/4), sondern was ist (3/2)/(1/4)?. Und da kann ich mich ganz stumpf anstellen. Da sage ich einfach: Wenn 3/(1/4) 12 ist, dann nehme ich jetzt einfach, wenn ich hiervon die Hälfte nehme, auch von den Vierteln die Hälfte. Also sind das 12/2. Wenn 12 dieser Viertel auf 3 Ganze passen, dann passen 12 dieser Hälften auf 3 Hälften, oder, rein optisch gesehen: Das sind die Viertel, das sind die 3 Ganzen. Ich nehme jetzt nur die Hälften davon, jetzt nehme ich hiervon auch die Hälften und überlege mir: Wie viele passen da drauf? 1,2,3,4 Hälften passen auf die Hälfte eines Ganzen. 3x4 Hälften passen dann auch auf 3 Hälften. So. Und das kann man sich auch mit der Kehrwertregel überlegen, das heißt, wir fragen uns: Gilt hier auch die Kehrwertregel? Die Kehrwertregel besagt ja: Du kannst einen Bruch teilen, indem Du mit dem Kehrwert multiplizierst. Die Frage ist: Ist das hier sinnvoll? Der Kehrwert von 1/4 ist 4/1, also einfach Zähler und Nenner umdrehen. Und 3×4 ist 12, das bleibt also hier so stehen und 2×1 ist 2. Was man dazu noch sagen muss: So lässt man das Ergebnis ja nicht stehen, denn es wird immer gekürzt. Ergebnisse sollen immer gekürzt sein. Das erhöht einfach die Lesbarkeit, das ist besser so. Genauso, wie man mit Messer und Gabel isst. Das ist einfach vernünftig, das so zu machen, zumindest hier in Deutschland. Und 12/2 gekürzt ist 6/1, also 6. Da kann ich hier einfach die 6 hinschreiben. 12/2 ist 6. Also kommt da auch die 6 hin. Und das ist das Endergebnis. Wir hatten hier einen Bruch, der nicht mehr die 1 als Zähler hat. Naja. Und was hier passiert, wenn jetzt der zweite Bruch auch nicht mehr die 1 als Zähler hat, das kommt dann in den nächsten Filmen. Bis dahin viel Spaß. Tschüss.

11 Kommentare

11 Kommentare
  1. habe jetzt die aufgaben gemacht und es endlich verstanden

    Von Natascha B., vor mehr als 2 Jahren
  2. Habe mir dieses Video angesehen es aber immer noch nicht verstanden

    Von Natascha B., vor mehr als 2 Jahren
  3. Ehrenmann!

    Von Kerstin Wilken, vor mehr als 3 Jahren
  4. gut

    Von H Medina, vor mehr als 3 Jahren
  5. bester Lehrer!!!!

    Von rouven s., vor etwa 4 Jahren
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Brüche durch Brüche dividieren (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche durch Brüche dividieren (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe anhand des Quotienten $\frac32 : \frac14$, wie ein Bruch durch einen Bruch geteilt wird.

    Tipps

    Wie oft passt ein Viertel in ein Ganzes?

    Richtig, viermal.

    Dann passen sicher $2\cdot4=8$ Viertel in zwei Ganze.

    Wenn zum Beispiel

    $4:\frac13=12$

    ist, dann ist

    $4:\frac13:3=\frac{12}3$.

    Du könntest die Rechnung auch mit der Kehrwertregel durchführen. Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert dieses Bruches multipliziert.

    Lösung

    Wie kann man einen Bruch, dessen Zähler keine $1$ ist, durch einen anderen Bruch teilen?

    Dies wird hier an dem Beispiel $\frac32:\frac14$ gezeigt:

    • $3:\frac14=3\cdot 4=12$, denn ein Viertel passt zwölfmal in drei Ganze.
    • Wie erhält man damit $\frac32:\frac14$?
    • Wenn $3:\frac14$ gerade $12$ ergibt, halbiere ich auf beiden Seiten zu $\frac32:\frac14=\frac{12}2=6$.
    Wenn ich also den Dividenden, also die Zahl, welche geteilt wird, halbiere (drittele, viertele, ...), halbiert (drittelt, viertelt, ...) sich auch das Ergebnis.

  • Berechne das Ergebnis des Terms $\frac32 : \frac14$ mit der Kehrwertregel.

    Tipps

    Der Kehrwert von $\frac15$ ist $\frac51=5$.

    Du kannst durch einen Bruch teilen, indem du mit dessen Kehrwert multiplizierst.

    Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

    Wenn in einem Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner der gleiche Faktor vorkommt, so kann man diesen kürzen.

    Ein Beispiel kannst du hier sehen.

    Lösung

    Das Ergebnis der obigen Aufgabe kann man auch mit der Kehrwertregel berechnen: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

    Die entsprechende Rechnung ist hier zu sehen.

    Der Kehrwert von $\frac14$, dem Bruch, durch den geteilt wird, ist $\frac41=4$.

    Nun kann man die beiden Brüche $\frac32$ sowie $\frac41$ multiplizieren. Hierfür multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

    $\frac32\cdot \frac41=\frac{12}2$.

    Dieser Bruch kann noch mit $2$ gekürzt werden zu

    $\frac{12}2=\frac{12:2}{2:2}=\frac61=6$.

  • Bilde von jedem der Brüche den Kehrwert.

    Tipps

    Du erhältst den Kehrwert eines beliebigen Bruches, indem du Zähler und Nenner vertauschst.

    Kann man auch den Kehrwert einer Zahl bilden?

    Sicher, jede Zahl $\large{x}$ lässt sich schreiben als $\large{\frac{x}{1}}$. Nun siehst du leichter, wie sich Zähler und Nenner bei ganzen Zahlen vertauschen lassen.

    Hier siehst du als Beispiel den Kehrwert von $6$ und umgekehrt den von $\frac16$.

    Wenn du von dem Kehrwert eines Bruches wieder den Kehrwert bildest, bist du beim Ausgangsbruch.

    Lösung

    Nach der Kehrwertregel kann man durch einen Bruch teilen, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

    Aber wer oder was ist eigentlich dieser Kehrwert? Wird damit gemessen, wie gut ein neuer Besen kehrt???

    Spaß beiseite, der Kehrwert eines Bruches entsteht aus einem Bruch durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

    Hier siehst du eine Tabelle mit verschiedenen Brüchen und deren Kehrwert:

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Bruch}&\rightarrow&\text{Kehrwert}\\ \hline \frac45&\rightarrow&\frac54\\ \hline 5&\rightarrow&\frac15\\ \hline \frac18&\rightarrow&8\\ \hline \frac54&\rightarrow&\frac45\\ \hline \frac72&\rightarrow&\frac27\\ \hline \frac27&\rightarrow&\frac72\\ \end{array}$

  • Prüfe die folgenden Aussagen zu Brüchen, Kehrwerten und Quotienten.

    Tipps

    Wenn du bei einer Aussage denkst, dass sie falsch ist, genügt es, wenn du ein Gegenbeispiel findest.

    Jede natürliche (ganze Zahl) lässt sich als Bruch schreiben. Ein Beispiel siehst du hier.

    Wende hier die Kehrwertregel an und kürze dann.

    Lösung

    Kann man einen Bruch auch durch eine natürliche Zahl teilen?

    Klar geht das! Man schreibt dazu die Zahl $x$ als Bruch $\frac{x}1$ und verwendet dann die Kehrwertregel.

    Zum Beispiel:

    $\frac13:5=\frac13\cdot \frac15=\frac1{3\cdot 5}$.

    An diesem Beispiel erkennst du schon, dass du den Nenner mit dieser Zahl multiplizierst. Dies ist kein Beweis für die Aussage, dass man einen Bruch durch eine natürliche Zahl teilt, indem man den Nenner mit der Zahl multipliziert. Man kann dies auch allgemein nachweisen:

    $\frac ab:c=\frac ab:\frac c1=\frac ab\cdot \frac1c=\frac a{b\cdot c}$.

    Dabei sind $a$, $b$ und $c$ natürliche Zahlen. Zusätzlich müssen $b$ und $c$ ungleich $0$ sein.

    Was passiert, wenn man einen Bruch durch sich selbst teilt?

    Dies sei hier an einem Beispiel gezeigt. Auch hier kann man dies allgemein nachweisen:

    $\frac23:\frac23=\frac23\cdot\frac32=\frac66=1$.

  • Beschreibe die einzelnen Schritte bei der Verwendung der Kehrwertregel, wenn du den Term $\frac32 : \frac14$ berechnest.

    Tipps

    Du erhältst den Kehrwert eines Bruches, indem du Zähler und Nenner vertauschst.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Kehrwertregel.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Multiplizieren zweier Brüche.

    Der resultierende Bruch kann noch gekürzt werden zu $\frac25$.

    Lösung

    Es ist $\frac32:\frac14=\frac32\cdot \frac41=\frac{3\cdot4}{2\cdot1}=\frac{12}2$.

    Warum ist das so?

    • Zunächst einmal wird mit dem Kehrwert von $\frac14$ (dieser ist $\frac41$) multipliziert.
    • Dann werden die beiden Brüche multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
    Der resultierende Bruch $\frac{12}2$ kann noch gekürzt werden zu

    $\frac{12}2=\frac{12:2}{2:2}=\frac61=6$.

  • Berechne das jeweilige Ergebnis der Quotienten.

    Tipps

    Verwende die Kehrwertregel. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

    Kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl zu teilen. Ein Beispiel kannst du hier sehen.

    Wenn mehrere Male hintereinander dividiert wird, so wird von links nach rechts gerechnet.

    Wenn du einen Bruch durch sich selbst teilst, kommt immer $1$ heraus.

    Lösung

    In dieser Aufgabe kannst du nochmal die Kehrwertregel üben. Diese besagt, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.

    • $3:\frac15=3\cdot\frac51=15$.
    • $3:\frac35=3\cdot \frac53=\frac{15}3=5$.
    • $\frac32:\frac35=\frac32\cdot \frac53=\frac{15}6=\frac52=2,5$
    • $\frac32:\frac35:\frac52=\frac32\cdot \frac53:\frac52=\frac52:\frac52=\frac52\cdot \frac25=\frac{10}{10}=1$.

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