Brüche dividieren – Erklärung 2 der Kehrwertregel (2)

Brüche dividieren – Erklärung 2 der Kehrwertregel (2) Übung

• Ergänze den Bruch im nächsten Rechenschritt.

  Tipps

  Die Kehrwertregel sieht allgemein so aus:

  Es wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.

  Lösung

  Wir können die Divisionsaufgabe mit Hilfe der Kehrwertregel in eine Multiplikation umwandeln. Dazu bilden wir den Kehrwert des hinteren Bruchs:

  $\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{3}$

  Diese Brüche können wir nun zusammenfassen. Die Reihenfolge im Nenner spielt bei einer Multiplikation keine Rolle (Kommutativgesetz), da sie das Ergebnis nicht beeinflusst:

  $\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5 \cdot 3}=\frac{4}{3 \cdot 5}$

• Bestimme das Ergebnis des Terms $\frac75 : \frac34$.

  Tipps

  Wende zuerst die Kehrwertregel an und fasse dann zusammen.

  Die allgemeine Kehrwertregel lautet:

  Lösung

  Der Term

  $\frac{7}{5} : \frac{3}{4}$

  lässt sich in wenigen Schritten lösen.

  Zuerst wenden wir die Kehrwertregel an. Das macht aus der Division eine Multiplikation und kehrt den hinteren Bruch um:

  $\frac{7}{5} \cdot \frac{4}{3}$

  Das können wir zusammenfassen:

  $\frac{7 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{28}{15}$

  Dieses Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen.

• Berechne das Ergebnis des Terms $\frac67 : \frac35$.

  Tipps

  Die allgemeine Kehrwertregel sieht so aus:

  Lösung

  Vereinfachen wir den Term einmal gemeinsam.

  Zunächst wenden wir die Kehrwertregel an:

  $\frac{6}{7} : \frac{3}{5} = \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{3}$

  Jetzt können wir die beiden Brüche zusammenfassen:

  $\frac{6 \cdot 5}{7 \cdot 3} = \frac{30}{21}$

  Zum Schluss kürzen wir diesen Bruch mit $3$ und erhalten als Ergebnis:

  $\frac{10}{7}$

• Entscheide, welches Ergebnis zu welchem Quotienten gehört.

  Tipps

  Dies ist die allgemeine Kehrwertregel:

  Vergiss nicht, so weit wie möglich zu kürzen.

  Jede ganze Zahl kann auch als Bruch dargestellt werden, indem diese ganze Zahl in den Zähler und eine $1$ in den Nenner geschrieben wird. Wir können sagen: Jede Zahl ergibt sich selbst, wenn sie durch $1$ geteilt wird.

  Lösung

  Diese Quotienten lösen wir gemeinsam und der Reihe nach.

  • $\frac{23}{3} : 5 = \frac{23}{3} : \frac{5}{1} = \frac{23}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{23}{15}$. Hier kann man nicht mehr kürzen.
  • $\frac{3}{9} : \frac{4}{3} = \frac{3}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$. Bei dieser Rechnung konnte man noch mit $9$ kürzen.
  • $3 : \frac{7}{5} = \frac{3}{1} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{7}$. Auch hier kann nicht weiter gekürzt werden.
  • $\frac{8}{3} : \frac{2}{5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$. Hier konnte man noch mit $2$ kürzen.

  Wie du siehst, lassen sich mit Hilfe der Kehrwertregel alle Arten von Quotienten, welche Brüche enthalten, lösen. Bedenke dabei immer, dass ganze Zahlen eine Bruchschreibweise besitzen.

• Gib die Kehrwertregel anhand des Terms $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ wieder.

  Tipps

  Ein Beispiel:

  Lösung

  Wir kennen die allgemeine Kehrwertregel so:

  $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

  Doch was bedeutet sie eigentlich? Der erste Bruch bleibt unverändert.

  Aus der Division ist eine Multiplikation geworden.

  Der hintere Bruch hat sich umgedreht. Man bildet seinen Kehrwert, der dieser Regel ihren Namen gibt.

  Wenn du zwei Brüche dividierst und die Kehrwertregel anwenden willst, musst du also den ersten, unveränderten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren.

• Prüfe, welcher der Brüche aus dem Doppelbruch $\frac{\frac{10}{9}}{4 : 7}$ hervorgegangen ist.

  Tipps

  Eine Division kann als Bruch verstanden werden:

  Ebenso kann ein Bruch in eine Division umgeschrieben werden:

  Die allgemeine Kehrwertregel lautet:

  Lösung

  Betrachten wir den Doppelbruch, brauchen wir uns nicht zu erschrecken. Wir können diesen in eine einfachere Divisionsaufgabe übersetzen, da ein Bruchstrich immer auch ein Geteilt-Zeichen ist. Somit würde dort stehen:

  $\frac{10}{9} : (4:7)$

  Die Division in der Klammer kann wiederum auch als Bruch verstanden werden. Somit könnten wir schreiben:

  $\frac{10}{9} : \frac{4}{7}$

  Dies ist eine Division zweier Brüche, die man mit Hilfe der Kehrwertregel schnell lösen kann:

  $\frac{10}{9} : \frac{4}{7} = \frac{10}{9} \cdot \frac{7}{4} = \frac{70}{36}$

  Dies können wir noch mit $2$ kürzen und erhalten so als Ergebnis:

  $\frac{35}{18}$