Brüche addieren 3 – allgemeine Methode

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Grundlagen zum Thema Brüche addieren 3 – allgemeine Methode
Die Methode, mit der du alle Brüche addieren kannst, sieht so aus: - kürzen (falls möglich) - auf das kgV der Nenner erweitern - Zähler addieren - kürzen (falls möglich) Das Kürzen am Anfang macht die Rechnung einfacher, das Kürzen am Ende macht das Ergebnis einfacher. Man hat sich darauf geeinigt, dass das Ergebnis immer in gekürzter Form angegeben wird. Mit dieser Methode kannst du also alle Brüche auf die einfachst möglicher Weise addieren. Im Video wird diese Methode an zwei Beispielen gezeigt.
Brüche addieren 3 – allgemeine Methode Übung
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Beschreibe das Vorgehen bei der Addition von Brüchen.
TippsEs ist einfacher, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen. Daher ist es von Vorteil, Brüche zuerst zu kürzen und dann gleichnamig zu machen.
Falls das Endergebnis einer Rechnung ein Bruch ist, sollte dieser vollständig gekürzt angegeben werden.
LösungMöchten wir zwei oder mehrere Brüche addieren, so müssen wir zunächst alle Summanden gleichnamig machen. Nur dann können wir Brüche addieren. Also eignet sich folgende Vorgehensweise für die Addition von Brüchen:
- Zunächst werden alle Summanden soweit wie möglich gekürzt. Es ist nämlich einfacher, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen.
- Nun bestimmt man das $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden. Hierfür gibt es unterschiedliche Methoden, wie beispielsweise der Vergleich der Vielfachenmengen oder auch die Primfaktorzerlegung.
- Jeder Bruch der Addition wird auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitert. Dafür werden jeweils Zähler und Nenner mit entsprechenden Faktoren multipliziert.
- Nun kann man die Brüche addieren, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
- Abschließend wird die so erhaltene Summe noch soweit wie möglich gekürzt.
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Bestimme die Summe der gegebenen Addition.
TippsDas $\text{kgV}$ zweier Zahlen ist das kleinste Vielfache, das beide Zahlen gemeinsam haben. Hierzu kannst du die Vielfachenmengen der betroffenen Zahlen wie folgt vergleichen:
- $V_3=\{ 3;\ 6;\ 9;\ \color{#669900}{12};\ 15;\ \dots \}$
- $V_4=\{ 4;\ 8;\ \color{#669900}{12};\ 16;\ \dots \}$
- $\text{kgV}(3;4)=12$
Du addierst gleichnamige Brüche, indem du die Zähler addierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst.
LösungBei der Durchführung der gegebenen Addition gehen wir wie folgt vor:
- Zunächst werden alle Summanden soweit wie möglich gekürzt.
- Nun bestimmt man das $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden.
- Jeder Bruch der Addition wird auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitert.
- Nun kann man die Brüche addieren, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
- Abschließend wird die so erhaltene Summe noch soweit wie möglich gekürzt.
Schritt 1
Da es einfacher ist, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen, kürzen wir die Summanden soweit wie möglich, indem wir Zähler und Nenner durch den $\text{ggT}$ teilen:
$\dfrac{34}{51}+\dfrac{38}{76} =\dfrac {2}{3}+\dfrac {1}{2}$
Schritt 2
Für die Bestimmung des $\text{kgV}$ gibt es unterschiedliche Methoden. Wir vergleichen im Folgenden die Vielfachenmengen der beiden Zahlen im Nenner:
- $V_2=\{ 2;\ 4;\ \color{#669900}{6};\ 8;\ \dots \}$
- $V_3=\{ 3;\ \color{#669900}{6};\ 9;\ \dots \}$
$\text{kgV}(2;3)=6$
Schritt 3
Nun machen wir die Brüche gleichnamig, indem wir ihre Nenner auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitern. Dafür werden jeweils Zähler und Nenner mit entsprechenden Faktoren multipliziert.
$\dfrac {2}{3}+\dfrac {1}{2}=\dfrac {2\cdot 2}{3\cdot 2}+\dfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}=\dfrac {4}{6}+\dfrac {3}{6}$
Schritt 4
Nun können wir die Brüche endlich addieren, indem wir die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:
$\dfrac {4}{6}+\dfrac {3}{6} =\dfrac {7}{6}$
Schritt 5
Da der Zähler größer ist als der Nenner, können wir diesen Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln:
$\dfrac {7}{6} =1\dfrac {1}{6}$
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Ermittle das $\text{kgV}$ der jeweiligen Zahlen.
TippsDu kannst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ ermitteln, indem du die Vielfachenmengen der jeweiligen Zahlen vergleichst. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(2;5)$ an:
- $V_2=\{ 2; 4; 6; 8; \color{#669900}{10}; 12; \dots \}$
- $V_5=\{ 5; \color{#669900}{10}; 15; \dots \}$
Du kannst auch mit Hilfe der Primfaktorzerlegung das $\text{kgV}$ bestimmen. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(4;6)$ an:
Primfaktorzerlegung
- $4 = 2^2$
- $6 = 2\cdot 3$
- $\text{kgV}(4; 6)=2^2\cdot 3=4\cdot 3=12$
LösungEs gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden notieren wir uns die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und vergleichen diese, um so das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden:
Beispiel 1: $~\text{kgV}(8;12)$
Die Vielfachenmengen sind:
- $V_{8}=\{ 8; 16;\color{#669900}{24}; 32; 40; \ ...\ \}$
- $V_{12}=\{ 12;\color{#669900}{24}; 36; \ ...\ \}$
- $~\text{kgV}(8;12)=24$
Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:
- $V_2=\{ 2; 4; \color{#669900}{6}; 8; \ ...\ \}$
- $V_3=\{ 3; \color{#669900}{6}; 9; 12; 15; \ ...\ \}$
- $~\text{kgV}(2;3)=6$
Für $8$ und $18$ erhalten wir folgende Vielfachenmengen:
- $V_{6}=\{ 6; 12; 18; \color{#669900}{24}; \ ...\ \}$
- $V_{8}=\{ 8; 16; \color{#669900}{24}; 32; \ ...\ \}$
- $~\text{kgV}(6;8)=24$
Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:
- $V_{12}=\{ 12; 24; \color{#669900}{36}; 48; \ ...\ \}$
- $V_{18}=\{ 18;\color{#669900}{36}; 54; \ ...\ \}$
- $~\text{kgV}(12;18)=36$
-
Prüfe die jeweiligen Aufgaben auf Richtigkeit.
TippsBeim Addieren ungleichnamiger Brüche gehst du wie folgt vor:
- Brüche wenn möglich kürzen
- $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen
- Brüche durch Erweitern gleichnamig machen
- Zähler addieren, gemeinsamen Nenner beibehalten
- wenn möglich kürzen
Du kürzt einen Bruch vollständig, indem du Zähler und Nenner jeweils durch ihren $\text{ggT}$ teilst.
LösungIm Folgenden rechnen wir nun die gegebenen Additionsaufgaben gemeinsam durch. Hierzu machen wir die zu addierenden Brüche zunächst gleichnamig, indem wir das $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen und die Brüche entsprechend auf dieses erweitern.
Beispiel 1: $~\dfrac 34+\dfrac 58$
Mit $\text{kgV}(4;8)=8$ erhalten wir folgende Berechnung:
- $\dfrac {3\cdot 2}{4\cdot 2}+\dfrac {5}{8}=\dfrac{6}{8}+\dfrac {5}{8}=\dfrac {11}{8}=1\dfrac {3}{8}$
Beispiel 2: $~\dfrac 29+\dfrac 56$
Mit $\text{kgV}(9;6)=18$ erhalten wir folgende Berechnung:
- $\dfrac {2\cdot 2}{9\cdot 2}+\dfrac {5\cdot 3}{6\cdot 3}=\dfrac{4}{18}+\dfrac {15}{18}=\dfrac {19}{18}=1\dfrac {1}{18}$
Beispiel 3: $~\dfrac {5}{28}+\dfrac {3}{8}$
Mit $\text{kgV}(28;8)=56$ erhalten wir folgende Berechnung:
- $\dfrac {5\cdot 2}{28\cdot 2}+\dfrac {3\cdot 7}{8\cdot 7}=\dfrac{10}{56}+\dfrac {21}{56}=\dfrac {33}{56}\neq \dfrac {1}{2}$
Beispiel 4: $~\dfrac {1}{11}+\dfrac {2}{3}$
Mit $\text{kgV}(11;3)=33$ erhalten wir folgende Berechnung:
- $\dfrac {1\cdot 3}{11\cdot 3}+\dfrac {2\cdot 11}{3\cdot 11}=\dfrac{3}{33}+\dfrac {22}{33}=\dfrac {25}{33}$
Beispiel 5: $~\dfrac {5}{13}+\dfrac {1}{3}$
Mit $\text{kgV}(13;3)=39$ erhalten wir folgende Berechnung:
- $\dfrac {5\cdot 3}{13\cdot 3}+\dfrac {1\cdot 13}{3\cdot 13}=\dfrac{15}{39}+\dfrac {13}{39}=\dfrac {28}{39}\neq \dfrac {26}{39}$
-
Gib die zugehörigen vollständig gekürzten Brüche an.
TippsDu kürzt einen Bruch vollständig, indem du Zähler und Nenner jeweils durch ihren größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilst. Sieh dir folgendes Beispiel an:
$\dfrac 8{12}=\dfrac{8:4}{12:4}=\dfrac 23$
Es gilt nämlich: $\text{ggT}(8;12)=4$
Wenn du den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ zweier Nenner nicht findest, so kannst du den Bruch auch in mehreren Schritten kürzen. Da $8$ und $12$ gerade Zahlen sind, haben sie auf jeden Fall den Teiler $2$ gemeinsam. Also kürzen wir zunächst mit $2$ zu:
$\dfrac 8{12}=\dfrac{8:2}{12:2}=\dfrac 46$
Du siehst, dass Zähler und Nenner wieder gerade Zahlen sind, also kürzen wir nochmal mit $2$:
$\dfrac 46=\dfrac{4:2}{6:2}=\dfrac 23$
Wieder erhalten wir als vollständig gekürzten Bruch $\dfrac 23$.
LösungBeim vollständigen Kürzen der gegebenen Brüche gehen wir wie folgt vor:
- Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner. Hierzu vergleichen wir ihre Teilermengen.
- Dann teilen wir Zähler und Nenner jeweils durch ihren $\text{ggT}$.
Wir erhalten für Zähler und Nenner jeweils folgende Teilermengen:
- $T_{34}=\{ 1; 2;\color{#669900}{17}; 34 \}$
- $T_{51}=\{ 1; 3;\color{#669900}{17}; 51 \}$
- $\dfrac{34}{51}=\dfrac{34:17}{51:17}=\dfrac 23$
Die Teilermengen von Zähler und Nenner lauten:
- $T_{38}=\{ 1; 2; 19; \color{#669900}{38} \}$
- $T_{76}=\{ 1; 2; 4; 19; \color{#669900}{38} ; 76 \}$
- $\dfrac{38}{76}=\dfrac{38:38}{76:38}=\dfrac 12$
Wir erhalten für Zähler und Nenner jeweils folgende Teilermengen:
- $T_{33}=\{ 1; 3; \color{#669900}{11}; 33 \}$
- $T_{110}=\{ 1; 2; 5; 10;\color{#669900}{11}; 22; 55; 110 \}$
- $\dfrac{33}{110}=\dfrac{33:11}{110:11}=\dfrac 3{10}$
Nun ergeben sich folgende Teilermengen:
- $T_{46}=\{ 1; \color{#669900}{2}; 23; 46 \}$
- $T_{70}=\{ 1;\color{#669900}{2}; 5; 7; 10; 14; 35; 70 \}$
- $\dfrac{46}{70}=\dfrac{46:2}{70:2}=\dfrac {23}{35}$
-
Ermittle die Summe der Additionsaufgabe.
TippsEmittle zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden.
Erweitere alle Brüche auf das $\text{kgV}$ der Nenner. Addiere anschließend die gleichnamigen Brüche, indem du ihre Zähler addierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst.
Kürze die Summe vollständig, indem du Zähler und Nenner jeweils durch ihren größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilst.
LösungWir betrachten nun folgende Additionsaufgabe:
$\dfrac{2}{3}+2\dfrac{5}{12}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{6}+1\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{1}{4}$
Die gemischten Brüche wandeln wir zunächst in unechte Brüche um:
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{29}{12}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{6}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{1}{4}$
Um nun alle Brüche addieren zu können, müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Hierzu bestimmen wir zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden. Es folgt dann:
$\text{kgV}(3;12;4;24;6;8)=24$
Wir erweitern nun alle Brüche auf den Nenner $24$ und addieren ihre Zähler. Das Ergebnis kürzen wir so weit wie möglich. Wir erhalten dann folgende Rechnung:
$\begin{array}{ll} \\ & \dfrac{2\cdot 8}{3\cdot 8}+\dfrac{29\cdot 2}{12\cdot 2}+\dfrac{3\cdot 6}{4\cdot 6}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1\cdot 4}{6\cdot 4}+\dfrac{11\cdot 4}{6\cdot 4}+\dfrac{5\cdot 3}{8\cdot 3}+\dfrac{1\cdot 6}{4\cdot 6} \\ \\ =& \dfrac{16}{24}+\dfrac{58}{24}+\dfrac{18}{24}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{4}{24}+\dfrac{44}{24}+\dfrac{15}{24}+\dfrac{6}{24} \\ \\ =& \dfrac{162}{24} \\ \\ =& 6\dfrac{18}{24} \\ \\ =& 6\dfrac{3}{4} \end{array}$

Brüche gleichnamig machen

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Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen

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Brüche addieren – Übung 1

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24 Kommentare
Hallo Martin Wabnik
Hallo Marc 1
Ich fand es ziemlich gut
Schon gut
🥱