Brüche addieren 3 – allgemeine Methode

Brüche addieren 3 – allgemeine Methode Übung

• Beschreibe das Vorgehen bei der Addition von Brüchen.

  Tipps

  Es ist einfacher, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen. Daher ist es von Vorteil, Brüche zuerst zu kürzen und dann gleichnamig zu machen.

  Falls das Endergebnis einer Rechnung ein Bruch ist, sollte dieser vollständig gekürzt angegeben werden.

  Lösung

  Möchten wir zwei oder mehrere Brüche addieren, so müssen wir zunächst alle Summanden gleichnamig machen. Nur dann können wir Brüche addieren. Also eignet sich folgende Vorgehensweise für die Addition von Brüchen:

  1. Zunächst werden alle Summanden soweit wie möglich gekürzt. Es ist nämlich einfacher, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen.
  2. Nun bestimmt man das $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden. Hierfür gibt es unterschiedliche Methoden, wie beispielsweise der Vergleich der Vielfachenmengen oder auch die Primfaktorzerlegung.
  3. Jeder Bruch der Addition wird auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitert. Dafür werden jeweils Zähler und Nenner mit entsprechenden Faktoren multipliziert.
  4. Nun kann man die Brüche addieren, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
  5. Abschließend wird die so erhaltene Summe noch soweit wie möglich gekürzt.

• Bestimme die Summe der gegebenen Addition.

  Tipps

  Das $\text{kgV}$ zweier Zahlen ist das kleinste Vielfache, das beide Zahlen gemeinsam haben. Hierzu kannst du die Vielfachenmengen der betroffenen Zahlen wie folgt vergleichen:

  • $V_3=\{ 3;\ 6;\ 9;\ \color{#669900}{12};\ 15;\ \dots \}$
  • $V_4=\{ 4;\ 8;\ \color{#669900}{12};\ 16;\ \dots \}$

  Es gilt also:

  • $\text{kgV}(3;4)=12$

  Du addierst gleichnamige Brüche, indem du die Zähler addierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst.

  Lösung

  Bei der Durchführung der gegebenen Addition gehen wir wie folgt vor:

  1. Zunächst werden alle Summanden soweit wie möglich gekürzt.
  2. Nun bestimmt man das $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden.
  3. Jeder Bruch der Addition wird auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitert.
  4. Nun kann man die Brüche addieren, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
  5. Abschließend wird die so erhaltene Summe noch soweit wie möglich gekürzt.

  Wir betrachten nun die Addition: $~ \dfrac{34}{51}+\dfrac{38}{76}$

  Schritt 1

  Da es einfacher ist, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen, kürzen wir die Summanden soweit wie möglich, indem wir Zähler und Nenner durch den $\text{ggT}$ teilen:

  $\dfrac{34}{51}+\dfrac{38}{76} =\dfrac {2}{3}+\dfrac {1}{2}$

  Schritt 2

  Für die Bestimmung des $\text{kgV}$ gibt es unterschiedliche Methoden. Wir vergleichen im Folgenden die Vielfachenmengen der beiden Zahlen im Nenner:

  • $V_2=\{ 2;\ 4;\ \color{#669900}{6};\ 8;\ \dots \}$
  • $V_3=\{ 3;\ \color{#669900}{6};\ 9;\ \dots \}$

  Damit erhalten wir das folgende $\text{kgV}$:

  $\text{kgV}(2;3)=6$

  Schritt 3

  Nun machen wir die Brüche gleichnamig, indem wir ihre Nenner auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitern. Dafür werden jeweils Zähler und Nenner mit entsprechenden Faktoren multipliziert.

  $\dfrac {2}{3}+\dfrac {1}{2}=\dfrac {2\cdot 2}{3\cdot 2}+\dfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}=\dfrac {4}{6}+\dfrac {3}{6}$

  Schritt 4

  Nun können wir die Brüche endlich addieren, indem wir die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:

  $\dfrac {4}{6}+\dfrac {3}{6} =\dfrac {7}{6}$

  Schritt 5

  Da der Zähler größer ist als der Nenner, können wir diesen Bruch noch in einen gemischten Bruch umwandeln:

  $\dfrac {7}{6} =1\dfrac {1}{6}$

• Ermittle das $\text{kgV}$ der jeweiligen Zahlen.

  Tipps

  Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ ermitteln, indem du die Vielfachenmengen der jeweiligen Zahlen vergleichst. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(2;5)$ an:

  • $V_2=\{ 2; 4; 6; 8; \color{#669900}{10}; 12; \dots \}$
  • $V_5=\{ 5; \color{#669900}{10}; 15; \dots \}$

  Du kannst auch mit Hilfe der Primfaktorzerlegung das $\text{kgV}$ bestimmen. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(4;6)$ an:

  Primfaktorzerlegung

  • $4 = 2^2$
  • $6 = 2\cdot 3$

  Nun multiplizierst du die Primfaktoren mit den höchsten Potenzen und erhältst:

  • $\text{kgV}(4; 6)=2^2\cdot 3=4\cdot 3=12$

  Lösung

  Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden notieren wir uns die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und vergleichen diese, um so das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden:

  Beispiel 1: $~\text{kgV}(8;12)$

  Die Vielfachenmengen sind:

  • $V_{8}=\{ 8; 16;\color{#669900}{24}; 32; 40; \ ...\ \}$
  • $V_{12}=\{ 12;\color{#669900}{24}; 36; \ ...\ \}$

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also $24$ und wir schreiben:

  • $~\text{kgV}(8;12)=24$

  Beispiel 2: $~\text{kgV}(2;3)$

  Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

  • $V_2=\{ 2; 4; \color{#669900}{6}; 8; \ ...\ \}$
  • $V_3=\{ 3; \color{#669900}{6}; 9; 12; 15; \ ...\ \}$

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also die $6$. Dieses geben wir wie folgt an:

  • $~\text{kgV}(2;3)=6$

  Beispiel 3: $~\text{kgV}(6;8)$

  Für $8$ und $18$ erhalten wir folgende Vielfachenmengen:

  • $V_{6}=\{ 6; 12; 18; \color{#669900}{24}; \ ...\ \}$
  • $V_{8}=\{ 8; 16; \color{#669900}{24}; 32; \ ...\ \}$

  Das kleinste gemeinsame Vielfache können wir nun wie folgt angeben:

  • $~\text{kgV}(6;8)=24$

  Beispiel 4: $~\text{kgV}(12; 18)$

  Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

  • $V_{12}=\{ 12; 24; \color{#669900}{36}; 48; \ ...\ \}$
  • $V_{18}=\{ 18;\color{#669900}{36}; 54; \ ...\ \}$

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist demnach wie folgt gegeben:

  • $~\text{kgV}(12;18)=36$

• Prüfe die jeweiligen Aufgaben auf Richtigkeit.

  Tipps

  Beim Addieren ungleichnamiger Brüche gehst du wie folgt vor:

  1. Brüche wenn möglich kürzen
  2. $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen
  3. Brüche durch Erweitern gleichnamig machen
  4. Zähler addieren, gemeinsamen Nenner beibehalten
  5. wenn möglich kürzen

  Du kürzt einen Bruch vollständig, indem du Zähler und Nenner jeweils durch ihren $\text{ggT}$ teilst.

  Lösung

  Im Folgenden rechnen wir nun die gegebenen Additionsaufgaben gemeinsam durch. Hierzu machen wir die zu addierenden Brüche zunächst gleichnamig, indem wir das $\text{kgV}$ der Nenner bestimmen und die Brüche entsprechend auf dieses erweitern.

  Beispiel 1: $~\dfrac 34+\dfrac 58$

  Mit $\text{kgV}(4;8)=8$ erhalten wir folgende Berechnung:

  • $\dfrac {3\cdot 2}{4\cdot 2}+\dfrac {5}{8}=\dfrac{6}{8}+\dfrac {5}{8}=\dfrac {11}{8}=1\dfrac {3}{8}$

  Also wurde diese Aufgabe korrekt durchgeführt.

  Beispiel 2: $~\dfrac 29+\dfrac 56$

  Mit $\text{kgV}(9;6)=18$ erhalten wir folgende Berechnung:

  • $\dfrac {2\cdot 2}{9\cdot 2}+\dfrac {5\cdot 3}{6\cdot 3}=\dfrac{4}{18}+\dfrac {15}{18}=\dfrac {19}{18}=1\dfrac {1}{18}$

  Auch diese Aufgabe ist demnach korrekt.

  Beispiel 3: $~\dfrac {5}{28}+\dfrac {3}{8}$

  Mit $\text{kgV}(28;8)=56$ erhalten wir folgende Berechnung:

  • $\dfrac {5\cdot 2}{28\cdot 2}+\dfrac {3\cdot 7}{8\cdot 7}=\dfrac{10}{56}+\dfrac {21}{56}=\dfrac {33}{56}\neq \dfrac {1}{2}$

  Diese Aufgabe wurde also nicht korrekt durchgeführt.

  Beispiel 4: $~\dfrac {1}{11}+\dfrac {2}{3}$

  Mit $\text{kgV}(11;3)=33$ erhalten wir folgende Berechnung:

  • $\dfrac {1\cdot 3}{11\cdot 3}+\dfrac {2\cdot 11}{3\cdot 11}=\dfrac{3}{33}+\dfrac {22}{33}=\dfrac {25}{33}$

  Auch diese Addition ist also korrekt.

  Beispiel 5: $~\dfrac {5}{13}+\dfrac {1}{3}$

  Mit $\text{kgV}(13;3)=39$ erhalten wir folgende Berechnung:

  • $\dfrac {5\cdot 3}{13\cdot 3}+\dfrac {1\cdot 13}{3\cdot 13}=\dfrac{15}{39}+\dfrac {13}{39}=\dfrac {28}{39}\neq \dfrac {26}{39}$

  Diese Addition wurde demnach falsch durchgeführt.

• Gib die zugehörigen vollständig gekürzten Brüche an.

  Tipps

  Du kürzt einen Bruch vollständig, indem du Zähler und Nenner jeweils durch ihren größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilst. Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac 8{12}=\dfrac{8:4}{12:4}=\dfrac 23$

  Es gilt nämlich: $\text{ggT}(8;12)=4$

  Wenn du den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ zweier Nenner nicht findest, so kannst du den Bruch auch in mehreren Schritten kürzen. Da $8$ und $12$ gerade Zahlen sind, haben sie auf jeden Fall den Teiler $2$ gemeinsam. Also kürzen wir zunächst mit $2$ zu:

  $\dfrac 8{12}=\dfrac{8:2}{12:2}=\dfrac 46$

  Du siehst, dass Zähler und Nenner wieder gerade Zahlen sind, also kürzen wir nochmal mit $2$:

  $\dfrac 46=\dfrac{4:2}{6:2}=\dfrac 23$

  Wieder erhalten wir als vollständig gekürzten Bruch $\dfrac 23$.

  Lösung

  Beim vollständigen Kürzen der gegebenen Brüche gehen wir wie folgt vor:

  • Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner. Hierzu vergleichen wir ihre Teilermengen.
  • Dann teilen wir Zähler und Nenner jeweils durch ihren $\text{ggT}$.

  Beispiel 1: $~\frac{34}{51}$

  Wir erhalten für Zähler und Nenner jeweils folgende Teilermengen:

  • $T_{34}=\{ 1; 2;\color{#669900}{17}; 34 \}$
  • $T_{51}=\{ 1; 3;\color{#669900}{17}; 51 \}$

  Mit $\text{ggT}(34;51)=17$ können wir den betrachteten Bruch nun vollständig kürzen zu:

  • $\dfrac{34}{51}=\dfrac{34:17}{51:17}=\dfrac 23$

  Beispiel 2: $~\frac{34}{51}$

  Die Teilermengen von Zähler und Nenner lauten:

  • $T_{38}=\{ 1; 2; 19; \color{#669900}{38} \}$
  • $T_{76}=\{ 1; 2; 4; 19; \color{#669900}{38} ; 76 \}$

  Mit $38$ können wir den Bruch also vollständig kürzen zu:

  • $\dfrac{38}{76}=\dfrac{38:38}{76:38}=\dfrac 12$

  Beispiel 3: $~\frac{33}{110}$

  Wir erhalten für Zähler und Nenner jeweils folgende Teilermengen:

  • $T_{33}=\{ 1; 3; \color{#669900}{11}; 33 \}$
  • $T_{110}=\{ 1; 2; 5; 10;\color{#669900}{11}; 22; 55; 110 \}$

  Mit $\text{ggT}(33;110)=11$ können wir den betrachteten Bruch wie folgt kürzen:

  • $\dfrac{33}{110}=\dfrac{33:11}{110:11}=\dfrac 3{10}$

  Beispiel 4: $~\frac{46}{70}$

  Nun ergeben sich folgende Teilermengen:

  • $T_{46}=\{ 1; \color{#669900}{2}; 23; 46 \}$
  • $T_{70}=\{ 1;\color{#669900}{2}; 5; 7; 10; 14; 35; 70 \}$

  Mit $\text{ggT}(46;70)=2$ kürzen wir den Bruch wie folgt:

  • $\dfrac{46}{70}=\dfrac{46:2}{70:2}=\dfrac {23}{35}$

• Ermittle die Summe der Additionsaufgabe.

  Tipps

  Emittle zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden.

  Erweitere alle Brüche auf das $\text{kgV}$ der Nenner. Addiere anschließend die gleichnamigen Brüche, indem du ihre Zähler addierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst.

  Kürze die Summe vollständig, indem du Zähler und Nenner jeweils durch ihren größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilst.

  Lösung

  Wir betrachten nun folgende Additionsaufgabe:

  $\dfrac{2}{3}+2\dfrac{5}{12}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{6}+1\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{1}{4}$

  Die gemischten Brüche wandeln wir zunächst in unechte Brüche um:

  $\dfrac{2}{3}+\dfrac{29}{12}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{11}{6}+\dfrac{5}{8}+\dfrac{1}{4}$

  Um nun alle Brüche addieren zu können, müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Hierzu bestimmen wir zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ der Nenner aller Summanden. Es folgt dann:

  $\text{kgV}(3;12;4;24;6;8)=24$

  Wir erweitern nun alle Brüche auf den Nenner $24$ und addieren ihre Zähler. Das Ergebnis kürzen wir so weit wie möglich. Wir erhalten dann folgende Rechnung:

  $\begin{array}{ll} \\ & \dfrac{2\cdot 8}{3\cdot 8}+\dfrac{29\cdot 2}{12\cdot 2}+\dfrac{3\cdot 6}{4\cdot 6}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1\cdot 4}{6\cdot 4}+\dfrac{11\cdot 4}{6\cdot 4}+\dfrac{5\cdot 3}{8\cdot 3}+\dfrac{1\cdot 6}{4\cdot 6} \\ \\ =& \dfrac{16}{24}+\dfrac{58}{24}+\dfrac{18}{24}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{4}{24}+\dfrac{44}{24}+\dfrac{15}{24}+\dfrac{6}{24} \\ \\ =& \dfrac{162}{24} \\ \\ =& 6\dfrac{18}{24} \\ \\ =& 6\dfrac{3}{4} \end{array}$