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Binomialverteilungen - p bestimmen - Zugverspätung 04:10 min

Binomialverteilungen - p bestimmen - Zugverspätung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilungen - p bestimmen - Zugverspätung kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne den gesuchten Prozentsatz.

    Tipps

    Es gilt:

    $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$

    Es gilt:

    $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{lll} P(X=0) &=& \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\ \\ &=& \binom{10}{0}\cdot 0,326^0\cdot (1-0,326)^{10-0} \\ \\ &=&0,0193463466549 \end{array}$

    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\leq 4)\geq 0,8$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Wert 1 $~p=0,326$

    $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

    • $P(X=0)=0,0193463466549$
    • $P(X=1)=0,0935743176481$
    • $P(X=2)=0,2036699168989$
    • $P(X=3)=0,2626959165540$
    • $P(X=4)=0,2223561133443$
    Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,8016$

    Wert 2 $~p=0,327$

    $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

    • $P(X=0)=0,2231005755758$
    • $P(X=1)=0,2623795323067$
    • $P(X=2)=0,2025016344523$
    • $P(X=3)=0,0926154264264$
    • $P(X=4)=0,0190612177324$
    Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,7997$

    Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,326$ unsere gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

    Wenn also höchstens $32,6\%$ aller Züge verspätet sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zügen verspätet sind, größer als $80\%$.

  • Gib die nötigen Formeln für die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ an.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, wie du die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen bei einer Bernoulli-Kette berechnen würdest.

    Es gibt $\binom{n}{k}$ Pfade mit $k$ Erfolgen. Wenn du $P(X=k)$ bestimmen möchtest, musst du alle diese Pfade berücksichtigen.

    Lösung

    Um die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ zu berechnen, müssen wir alle Pfade berücksichtigen, bei denen die Anzahl der Erfolge kleiner gleich $k$ sind. Hierzu addiert man die Wahrscheinlichkeiten der betroffenen Pfade:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)$
    Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen erhältst du wie folgt:

    • $P(e_{k;n})=p^k+(1-p)^{n-k}$
    Da es bei einer Bernoulli-Kette $\binom{n}{k}$ solcher Pfade gibt, müssen wir diesen Term noch mit dem Binomialkoeffizienten multiplizieren, um alle Pfade zu berücksichtigen, in denen genau $k$ Erfolge auftreten:

    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k+(1-p)^{n-k}$
  • Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Den Wert für $p$ erhältst du durch folgende Überlegung:

    • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem herkömmlichen Würfel (Augenzahlen von $1$ bis $6$) eine $3$ zu würfeln?

    Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

    Lösung

    Wir berechnen im Folgenden die kumulierte Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $40-$maligem Würfeln höchstens $5$ Mal eine $3$ gewürfelt wird?

    Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ entspricht $\frac 16$. Das ist bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit, mit der eine $3$ gewürfelt wird.

    Damit erhalten wir die folgende Berechnung:

    • $P(X=0)=\binom{40}{0}\cdot \left(\frac 16\right)^0\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-0} = 0,0006803778368$
    • $P(X=1)=\binom{40}{1}\cdot \left(\frac 16\right)^1\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-1} = 0,0054430226944$
    • $P(X=2)=\binom{40}{2}\cdot \left(\frac 16\right)^2\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-2} = 0,0212277885081$
    • $P(X=3)=\binom{40}{3}\cdot \left(\frac 16\right)^3\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-3} = 0,0537770642204$
    • $P(X=4)=\binom{40}{4}\cdot \left(\frac 16\right)^4\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-4} = 0,0994875688078$
    • $P(X=5)=\binom{40}{5}\cdot \left(\frac 16\right)^5\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-5} = 0,1432620990832$
    Damit ist:

    $\begin{array}{lll} P(X\leq 5) &=& P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\\ &\approx & 0,3239 \\ &=& 32,39\% \end{array}$

  • Bestimme die Erfolgswahrscheinlichkeit auf drei Nachkommastellen genau.

    Tipps

    Es ist $n=10$ und $k=2$.

    Du benötigst folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Ausschuss $p$ für $P(X\leq 2)\geq 0,9$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Wert 1 $~p=0,116$

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,291422211872058$
    • $P(X=1)=0,382409237298176$
    • $P(X=2)=0,225811789445303$
    Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,8996$

    Wert 2 $~p=0,115$

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,294735675445797$
    • $P(X=1)=0,382989860748775$
    • $P(X=2)=0,223951698234453$
    Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,9017$

    Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,115$ unsere gesuchte Ausschusswahrscheinlichkeit ist.

    Wenn also mit höchstens $11,5\%$ Ausschuss produziert wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei von zehn zufällig ausgewählten Staubsaugern Ausschussstücke sind, größer als $90\%$.

  • Bestimme die jeweiligen Ansätze.

    Tipps

    Die Formulierungen „mehr als“ und „weniger als“ schließen die jeweilige Grenze nicht ein.

    Eine Münze wird $50$ Mal geworfen. Mit $P(X=2)$ bezeichnen wir die Wahrscheinlich, dass genau $2$ Mal Kopf geworfen wird.

    Lösung

    Die Formulierungen können wir wie folgt mit Relationszeichen ausdrücken:

    • „mehr als $32$“ $~\rightarrow~>32$
    • „weniger als $32$“ $~\rightarrow~<32$
    • „mindestens $32$“ $~\rightarrow~\geq 32$
    • „höchstens $32$“ $~\rightarrow~\leq 32$
    • „genau $32$ Mal“ $~\rightarrow~=32$
    Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X=32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\geq 32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\leq 32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X>32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X<32)$.
  • Erschließe die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Es gilt für die Gegenwahrscheinlichkeit:

    $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)$

    Versuche es mit $p= 0,056$, $p= 0,069$ und $p= 0,078$.

    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\geq 3)\leq 0,15$ bestimmen. Das formulieren wir wie folgt:

    $P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2)\leq 0,15$

    Nun setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $1-P(X\leq 2)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $1-P(X\leq k)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k))$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Für $p=0,067$ folgt:

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,249823262108031$
    • $P(X=1)=0,358802970230183$
    • $P(X=2)=0,244778232102371$
    Damit ist $1-P(X\leq 2)\approx 0,1466$

    Wenn das Gerät also mit höchstens $15\%$ nicht funktionieren soll, dürfen alle Teile mit maximal $6,7\%$ nicht funktionieren.