Binomialverteilung – n bestimmen – Würfeln

Hallo, wir machen eine Übungsaufgabe zu Binomialverteilungen und es geht darum, wie oft wir mindestens würfeln müssen, um mit einer mindestens 90-prozentigen Wahrscheinlichkeit mindestens drei Sechsen zu erhalten. Und weil das jetzt ein bisschen viel mindestens ist, schauen wir uns die Sache erstmal grafisch optisch an mit ein paar Binomialverteilungen und dann bestimmen wir auch noch das Ergebnis. Hier ist der Aufgabentext. Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, drei Sechsen zu erhalten, mindestens 90 Prozent beträgt? Diese drei Sechsen sind in diesem Zusammenhang immer als mindestens drei sechsen zu interpretieren und nicht etwa als genau drei Sechsen. Um uns die Sache mal grundsätzlich klar zu machen, habe ich rein zufällig da mal was vorbereitet. Wir haben hier ein paar Grafiken von Binomialverteilungen mit den Parametern P gleich ein Sechstel und in diesem Fall hier n gleich zehn. Ja, die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu würfeln ist ein Sechstel und wir haben hier blau markiert die Wahrscheinlichkeit für mindestens drei Sechsen. Wenn wir 15-mal würfeln, ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens drei Sechsen schon verhältnismäßig, also im Verhältnis zur Gesamtwahrscheinlichkeit, schon größer als hier. Und dieser Trend setzt sich fort je häufiger wir würfeln. Wir sind hier bei n gleich 20 und der Anteil für mindestens drei Sechsen an der Gesamtwahrscheinlichkeit ist wieder größer geworden im Vergleich zu diesem Schaubild hier. Das geht so weiter. n gleich 25, n gleich 30 und hier bei n gleich 40 habe ich dann aufgehört die Sachen auszudrucken, weil der Anteil der Wahrscheinlichkeit für mindestens drei Sechsen an der Gesamtwahrscheinlichkeit hier schon wesentlich größer ist als 90 Prozent. Kommen wir zum schriftlichen Teil. Es geht um eine Zufallsgröße X, die soll die Anzahl der Sechsen zählen und die soll größer oder gleich drei sein, weil wir nach dem Ereignis mindestens drei Sechsen fragen. Die Wahrscheinlichkeit dafür soll mindestens 90 Prozent sein. Also, haben wir P von X größer gleich drei ist größer gleich 0,9. Nun ergibt es sich aus praktischen Gründen, dass wir diese Form von Wahrscheinlichkeiten nicht so gut nachgucken können. Stattdessen können wir Wahrscheinlichkeiten dieser Form, also P von X kleiner gleich eine bestimmte Zahl sehr einfach nachgucken in Tabellen, in Apps, im Taschenrechner, sonst wo. Deshalb wollen wir diese Aussage hier umformulieren. Wenn die Wahrscheinlichkeit für X größer gleich drei mindestens 90 Prozent ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für X kleiner gleich zwei höchstens zehn Prozent. Und die beiden Aussagen sind äquivalent. So wie kommen wir jetzt konkret zu unserem n? Wir gehen ungefähr so vor wie hier. Wir schauen einfach mehrere Binomialverteilungen nach. Ja, P ist immer ein Sechstel. Wir gucken uns verschiedene n an und bestimmen jeweils die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Erfolge. Und da werden wir folgendes feststellen, wenn n gleich 30 ist. Dann gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für X kleiner gleich zwei ungefähr gleich 0,1028 ist. Also, das ist größer als 0,1. Dann können wir weiter nachgucken bei n gleich 31 und da gilt P von X kleiner gleich zwei ist ungefähr gleich 0,0906 und das ist jetzt kleiner als zehn Prozent. Und jetzt schreiben wir unsere Erkenntnis noch vernünftig auf. Also, falls n größer gleich 31 ist, gilt P von X größer gleich drei ist größer gleich 0,9. So dann sind wir fertig. Wir haben gesehen, wie wir solche Aufgaben lösen können. Also, es geht um Binomialverteilungen. Wir haben die Erfolgswahrscheinlichkeit P gegeben und wir haben die Erfolgsanzahl k gegeben und wir suchen das n und das n bestimmen wir indem wir einfach mal was ausprobieren. Ja, auch das gibt es in der Mathematik, dass man was ausprobiert, kann ja nichts passieren. Die Mathematik geht nicht kaputt dadurch. Viel Spaß damit. Tschüss.