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Binomialverteilung - n bestimmen - Bewerbungen 05:55 min

Binomialverteilung - n bestimmen - Bewerbungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilung - n bestimmen - Bewerbungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Anzahl der Versuche.

    Tipps

    Hier kann es praktisch sein, sich Gedanken über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu machen.

    Hat ein Ereignis $E$ mindestens die Wahrscheinlichkeit $p$, hat das Gegenereignis $\overline E$ höchstens die Wahrscheinlichkeit $1-p$.

    Würfelt man erst beim $n$-ten Mal eine $6$, hat man vorher $(n-1)$-mal keine $6$ geworfen.

    Lösung

    Ist die Wahrscheinlichkeit, bei $n$-maligem Würfeln mindestens eine „$6$“ zu würfeln, gleich $p$, ist die Wahrscheinlichkeit, bei $n$-maligem Würfeln keine „$6$“ zu werfen, gleich $1-p$. Statt also die Frage zu beantworten, wie oft man würfeln muss, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine „$6$“ zu würfeln, mindestens $0,5$ ist, können wir die Frage beantworten, wie oft man würfeln muss, damit die Wahrscheinlichkeit, keine „$6$“ zu würfeln, höchstens $0,5$ ist.

    Die Wahrscheinlichkeit, bei $n$-maligem Würfeln keine „$6$“ zu werfen, rechnen wir mit dem Term $\left( \frac{5}{6} \right)^n$ aus.

    Gesucht ist also das kleinste $n$, für das gilt, dass $\left( \frac{5}{6} \right)^n\leq 0,5$ ist.

    Es gilt:

    $\left( \frac{5}{6} \right)^3\approx 0,58$ und

    $\left( \frac{5}{6} \right)^4\approx 0,48$.

    Also ist die gesuchte Anzahl gleich $4$.

  • Gib die Anzahl der Jahre an.

    Tipps

    Wenn die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal „$6$ Richtige“ zu haben, größer als $50\%$ ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, keinmal „$6$ Richtige“ zu haben, kleiner als $50\%$.

    Du kannst durch systematisches Probieren zu der richtigen Jahreszahl gelangen. Viel bequemer ist es aber mit der zugehörigen Exponentialgleichung.

    Lösung

    Es gibt $ 49 \choose 6$ Möglichkeiten, sechs Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge aus 49 Kugeln zu ziehen. Deshalb gilt:

    $P($einmal $6$ Richtige$)=\frac{1}{{49 \choose 6} }$

    Für das Gegenereignis „Keinmal $6$ Richtige“ gilt dann:

    $P($nicht $6$ Richtige$)= 1-\frac{1}{{49 \choose 6} }$

    Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis $n$-mal hintereinander eintritt, ist dann:

    $P($bei $n$ Ziehungen keinmal $6$ Richtige$)= \left(1-\frac{1}{{49 \choose 6} } \right)^n$

    Wir suchen nun das kleinste $n\in \mathbb{N}$, für das die folgende Ungleichung richtig ist:

    $\left(1-\frac{1}{{49 \choose 6} } \right)^n < 0,5$

    Wollen wir das $n$ nicht durch Ausprobieren finden, können wir die Ungleichung logarithmieren und nach $n$ umstellen - also so, wie man normalerweise Exponentialgleichungen löst. Wir erhalten:

    $n > \frac{\ln(0,5)}{ \ln \left( 1- \frac{1}{{49 \choose 6}} \right)} \approx 9692842,3$

    Also ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Ungleichung richtig ist, $n= 9 692 843$.

    Geht man von einem Spiel pro Woche aus, erhält man die folgende Jahreszahl:

    $\frac{9692843 \cdot 7}{365}= 185890$

    Die richtige Lösung ist also: Man muss ungefähr $185 890$ Jahre Lotto spielen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal „$6$ Richtige“ zu haben, größer als $50\%$ ist.

    Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist dann $\approx 0,500000025$.

  • Ordne den Zeitspannen die Verletzungswahrscheinlichkeiten zu.

    Tipps

    Es kann sinnvoll sein, sich die Wahrscheinlichkeiten von Gegenereignissen zu überlegen.

    Ist die Wahrscheinlichkeit, sich nicht zu verletzen, gleich $p$, so ist die Wahrscheinlichkeit, sich dreimal hintereinander nicht zu verletzen, gleich $p^3$.

    „Verletzungswahrscheinlichkeit“ bedeutet: sich mindestens einmal verletzen.

    Lösung

    Wir können einen Stanzvorgang als Bernoulli-Experiment verstehen: Eine Verletzung soll ein „Erfolg“ sein. Wir gehen von einer Erfolgswahrscheinlichkeit von einem Hunderttausendstel aus. Also ist die Wahrscheinlichkeit, sich nicht zu verletzen, gleich

    $1- \frac{1}{100\,000}$

    Da mehrere Stanzvorgänge ausgeführt werden und die Wahrscheinlichkeit, sich zu verletzen, bei jedem Vorgang gleich bleiben soll, haben wir zu jeder Anzahl $n$ von Stanzvorgängen eine Bernoulli-Kette und damit auch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$, deren Werte die Anzahlen der „Erfolge“ sind.

    Zu verschiedenen Anzahlen $n$ von Stanzvorgängen suchen wir nun die Wahrscheinlichkeiten für $X \geq 1$.

    Es gilt: $P(X \geq 1) = 1 - P(X =0)$

    Bei $n$ Versuchsdurchführungen haben wir:

    $P(X =0) = \left( 1- \frac{1}{100\,000} \right)^n$,

    also auch

    $P(X \geq 1)= 1- \left( 1- \frac{1}{100\,000} \right)^n$.

    Dauert ein Stanzvorgang $30$ Sekunden, sind das an einem Arbeitstag $960$ Stanzvorgänge. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Verletzung ist dann unter einem Prozent, denn:

    $P(X \geq 1)= 1- \left( 1- \frac{1}{100\,000} \right)^{960} \approx 0,0096$.

    Nach $230$ Arbeitstagen, also nach einem Jahr eine Verletzungswahrscheinlichkeit von ca. $89\%$, denn:

    $P(X \geq 1)= 1- \left( 1- \frac{1}{100\,000} \right)^{220800} \approx 0,890$.

    Nach $10$ Jahren liegt die Verletzungswahrscheinlichkeit bei ca. $99,99999997\%$, denn:

    $P(X \geq 1)= 1- \left( 1- \frac{1}{100\,000} \right)^{2208000} \approx 0,9999999997$.

    Diese Beispielaufgabe ist deshalb so instruktiv, weil man an ihr schön sehen kann, wie das persönliche Sicherheitsempfinden und die harte, mathematisch belegte Realität auseinander liegen können. Wir Menschen denken nicht exponentiell, sondern linear. Wir denken: Wenn jetzt das Risiko gering ist, dass ich mich verletze, wird das in den nächsten Jahren auch noch so sein. Aber die Mathematik zeigt uns: Führt man einen risikobehafteten Vorgang immer wieder aus, führt er mit ziemlicher Sicherheit irgendwann zum Unfall.

  • Leite die Bestimmung von $n$ her.

    Tipps

    Um das minimale $n$ herzuleiten, schreiben wir als erstes auf, was für dieses $n$ gelten soll.

    Kommt die Gleichungsvariable im Exponenten vor, hilft oft das Logarithmieren der Gleichung.

    Teilen wir eine Ungleichung durch eine negative Zahl, kehrt sich die Ungleichung um.

    Lösung

    Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird $p_{_E} < p_{_1}$ angenommen, da $n$ ansonsten gleich $1$ ist.

    Als erstes schreiben wir auf, was wir eigentlich wollen. Wir wollen ein minimales $n \in \mathbb{N}$ finden, für das Folgendes gilt:

    $P(X_n \geq 1) \geq p_{_1}$

    Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg ist genau dann mindestens gleich $p_{_1}$, wenn die Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg höchstens gleich $1-p_{_1}$ ist. Also:

    $P(X_n = 0) \leq 1-p_{_1}$

    Die Wahrscheinlichkeit für „$n$-mal hintereinander keinen Erfolg“ berechnen wir mit $(1-p_{_E})^n$. Also erhalten wir:

    $(1-p_{_E})^n \leq 1-p_{_1}$

    Das Logarithmieren (zur Basis $e$) beider Seiten der Gleichung ergibt dann:

    $\ln \left( (1-p_{_E})^n \right) \leq \ln(1-p_{_1})$

    Wir können $\log_{a}(b^n) = n \cdot \log_{a}(b)$ anwenden und erhalten:

    $n \cdot \ln \left( 1-p_{_E} \right) \leq \ln(1-p_{_1})$

    Wir können jetzt durch $\ln \left( 1-p_{_E} \right)$ teilen.

    Wegen $1-p_{_E} < 1$ ist $\ln(1-p_{E}) < 0$. Beim Teilen einer Ungleilchung durch eine negative Zahl wird aus dem $\leq$-Zeichen ein $\geq$-Zeichen. Deshalb erhalten wir:

    $n \geq \frac{\ln(1-p_{_1})}{\ln \left( 1-p_{_E} \right)}$

  • Berechne die passende Versuchsanzahl.

    Tipps

    Falls $1-P \left( X \leq (k-1) \right) \leq 1-p$ ist, ist auch $P(X \geq k) \geq p$.

    Mit der Formel aus Tipp 1 kannst du das gesuchte $n$ in einer Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten finden.

    Für eine feste Erfolgswahrscheinlichkeit $p_E$ und feste $k$ und $p$ kannst du verschiedene $n$ ausprobieren.

    Lösung

    Wenn das gesuchte $n$ aus einer Tabelle mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden soll, kann statt der Formel $P(X \geq k) \geq p$ auch die Formel

    $1-P \left( X \leq (k-1) \right) \leq 1-p$

    verwendet werden. Ansonsten können die Lösungen durch das Ausprobieren verschiedener Werte für $n$ direkt gefunden werden.

    Es gilt:

    $p_E = 0,5$; $p = 0,9$ $\Rightarrow P(X\geq 9 ) \approx 0,8950$ falls $n=23$ und

    $p_E = 0,5$; $p = 0,9$ $\Rightarrow P(X\geq 9 ) \approx 0,9242$ falls $n=24$.

    Also ist die minimale Versuchsanzahl $n$, für die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ Werte größer gleich $9$ annimmt, größer gleich $0,9$ ist, gleich $24$.

    $p_E = 0,25$; $p = 0,95$ $\Rightarrow P(X \geq 3 ) \approx 0,9394$ falls $n=22$ und

    $p_E = 0,25$; $p = 0,95$ $\Rightarrow P(X \geq 3 ) \approx 0,9508$ falls $n=23$.

    Also ist die minimale Versuchsanzahl $n$, für die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ Werte größer gleich $3$ annimmt, größer gleich $0,95$ ist, gleich $23$.

    $p_E = 0,1$; $p = 0,95$ $\Rightarrow P(X \geq 1 ) \approx 0,9477$ falls $n=28$ und

    $p_E = 0,1$; $p = 0,95$ $\Rightarrow P(X \geq 1 ) \approx 0,9529$ falls $n=29$.

    Also ist die minimale Versuchsanzahl $n$, für die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ Werte größer gleich $1$ annimmt, größer gleich $0,95$ ist, gleich $29$.

    $p_E = 0,4$; $p = 0,95$ $\Rightarrow P(X \geq 7 ) \approx 0,9441$ falls $n=26$ und

    $p_E = 0,4$; $p = 0,95$ $\Rightarrow P(X \geq 7 ) \approx 0,9579$ falls $n=27$.

    Also ist die minimale Versuchsanzahl $n$, für die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ Werte größer gleich $7$ annimmt, größer gleich $0,95$ ist, gleich $27$.

  • Deute die Sprichwörter – wenn möglich – in einem mathematischen Zusammenahng.

    Tipps

    Ein Sprichwort kann passen, wenn es darin um Zufallsversuche gehen kann.

    In den passenden Sprichwörtern geht es um Vorgänge, die einen bestimmten Effekt haben können oder auch nicht.

    Verläuft ein Vorgang immer gleich, ist es wohl kein Zufallsversuch.

    Lösung

    Der Krug geht so lange zum Brunnen, bis er bricht: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Krug bei einmaligem Wasser holen vom Brunnen zerbricht, ist sehr gering. Doch erfahrungsgemäß hält kein Krug ewig. Mit genügend vielen Wiederholungen des Zufallsversuchs „Einmaliges Wasserholen mit einem bestimmten Krug“ wird es immer wahrscheinlicher, dass das unwahrscheinliche Zerbrechen des Kruges doch noch eintritt.

    Auch ein blindes Huhn findet mal ein Korn: Stellen wir uns dieses Sprichwort einmal bildlich vor, sehen wir ein Huhn, welches einfach irgendwo versucht, Körner zu finden. Zwar ist es unwahrscheinlich, dass dieses Huhn bei einmaligem Picken ein Korn findet, wenn das Huhn dies aber oft genug macht, wird die Wahrscheinlichkeit, doch noch ein Korn zu finden, beliebig groß – falls das Huhn unbeschränkt oft picken kann.

    Im übertragenen Sinn geht es in diesem Sprichwort um eine Person, der trotz mangelnder Fähigkeiten auch mal etwas gelingt – wenn sie es oft genug probiert. Dieser Zusammenhang ist dem Volksmund wohlbekannt und kommt z.B. in „Glück hat auf Dauer nur der Tüchtige.“ zum Ausdruck.

    Einmal findet jeder seinen Meister: „Seinen Meister finden“ bedeutet hier: Auf eine Person treffen, die etwas viel besser kann als man selbst. Je nachdem, wie weit man auf dem eigenen Fachgebiet fortgeschritten ist, kann die Wahrscheinlichkeit, auf eine solche Person zu treffen, sehr gering sein. Je mehr Personen man aber trifft, desto wahrscheinlicher wird es, dass mindestens ein Erfolg – also ein „Meister“ – doch noch eintritt.

    Heutzutage wirkt diese Sichtweise ziemlich antiquiert, da Fachleute sich untereinander nicht in „besser“ oder „schlechter“ einordnen, sondern normalerweise versuchen, voneinander zu lernen. Außerdem gibt es mittlerweile so viele unterschiedliche Fach- und Wissensgebiete, dass man sich eigentlich immer riesig freut, wenn man überhaupt auf jemanden trifft, der im eigenen Fach firm ist und auch an den gleichen Themen arbeitet.

    Ganz anders verhält es sich mit den anderen Sprichwörtern.

    Übung macht zwar den Meister, aber das ist kein stochastischer Prozess, denn hier gibt es keinen Zufallsversuch. Wenn eine Person etwas übt, kann sie etwas immer besser, bis sie es schließlich zu Meisterschaft bringt. Mit jedem Üben kommt also etwas mehr Fähigkeit hinzu.

    In die gleiche Richtung zielen die Sprichwörter „Kleinvieh macht auch Mist.“ und „Steter Tropfen höhlt den Stein.“ Auch wenn ein Kleinvieh nicht viel Mist macht, addiert sich das bei viel Vieh zu einem großen Misthaufen. Und der einzelne Tropfen auf dem Stein hat wenig Auswirkung auf den Stein, aber über viele Jahre betrachtet können so Höhlen entstehen.