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Binomialverteilung – Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit

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Martin Wabnik
Binomialverteilung – Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Binomialverteilung – Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit

In dieser Grundaufgabe zu Binomialverteilungen (binomialverteilten Zufallsgrößen) soll der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße bestimmt und die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet werden, dass die Anzahl der Erfolge gleich dem Erwartungswert ist.Alternativ kann auch die wahrscheinlichkeit einer anderen Anzahl von Erfolgen bestimmt werden. Solche Alternativen werden üblicherweise in Prüfungsaufgaben angegeben, damit man auch dann für einen Aufgabenteil die volle Punktzahl erreichen kann, wenn man einen dafür liegenden Aufgabenteil nicht lösen konnte. Wir schauen uns die Rechnung mit der Bernoulli-Formel an und sehen auch, wie wir die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Erfolgsanzahl aus einer Verteilungstabelle ablesen können.

Binomialverteilung – Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilung – Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ergibt sich aus „Anzahl der Versuche mal Erfolgswahrscheinlichkeit“.

    Die Aufgabe ist so gestellt, dass die Zufallsgröße $X$ tatsächlich gleich dem Erwartungswert sein kann und letzterer keine „krumme“ Zahl ist.

    Mit der Bernoulli-Formel können wir die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Erfolgsanzahlen $k$ berechnen.

    Lösung

    Um die Aufgabe zu lösen, ist zunächst der Erwartungswert zu bestimmen. Binomialverteilte Zufallsgrößen $X$ haben den Erwartungswert $E=n \cdot p$. Damit ist $E$ das Produkt aus der Anzahl der Versuche $n$ und der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$. In diesem Fall ist $n=30$ und $p=0,8$ und damit $E=30 \cdot 0,8=24$.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gleich einer bestimmten Erfolgsanzahl $k$ ist, berechnen wir mit der Bernoulli-Formel

    $P(X=k)={n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

    $k$ ist hier gleich $24$. Also erhalten wir:

    $P(X=24)={30\choose 24} \cdot 0,8^{24} \cdot 0,2^6\approx 0,1795$

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Wenn Gäste mehrfach befragt werden können, ist das wie das „Ziehen mit Zurücklegen“. Dadurch bleiben die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug gleich.

    Das Produkt aus „Anzahl der Erfolge“ und „Erfolgswahrscheinlichkeit“ ist der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße.

    Ist ein Befragter nicht begeistert von der Vorstellung, gilt dies nicht als Erfolg.

    Lösung

    Wir gehen davon aus, dass Gäste mehrfach befragt werden können, um sicherzustellen, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Befragten gleich ist. So können wir diese Aufgabe mit einer Binomialverteilung modellieren. Da es als Erfolg gilt, wenn ein Befragter mit „ja“ antwortet, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p =\frac{3}{4} =0,75$. Es werden $100$ Versuche durchgeführt und so können wir die Bernoulli-Formel auf die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ anwenden, deren Werte die möglichen Anzahlen der Erfolge unserer Befragung sind. Die Bernoulli-Formel ist wie folgt definiert:

    • $P(X=k)={n \choose k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$
    Mit $k=75$, $p=0,75$ und $n=100$ erhalten wir:

    • $P(X=75)={100 \choose 75} \cdot 0,75^{75} \cdot 0,25^{25} \approx 0,0918$
    Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ gleich dem Erwartungswert ist, ist also ungefähr gleich $0,0918$.

  • Analysiere die folgenden Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten der binomialverteilten Zufallsgröße $X$.

    Tipps

    Die Aufgabe ist so gemeint, dass nicht unbedingt Grübeln, sondern das Ausprobieren verschiedener Möglichkeiten zum Ziel führt.

    Du kannst dir für verschiedene feste $n \in \mathbb{N}$ die Entwicklung der Wahrscheinlichkeiten ansehen, falls die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ immer kleiner wird.

    In dieser Aufgabe geht es meist um die Wahrscheinlichkeit für $P(X=0)$.

    Lösung

    Der Erwartungswert ist für binomialverteilte Zufallsgrößen manchmal gleich der Anzahl der Erfolge mit der größten Wahrscheinlichkeit. Es kann aber auch vorkommen, dass es gar keine Erfolgsanzahl gibt, die gleich dem Erwartungswert ist, z. B. wenn $p =0,5$ und $n =99$ ist.

    Somit ist die Aussage, der Erwartungswert sei die Anzahl der Erfolge mit der größten Wahrscheinlichkeit, falsch.

    Dessen ungeachtet wird aber der größte Wert im Histogramm immer größer und geht gegen $1$, wenn für festes $n$ die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegen $0$ geht.

    Man betrachte z. B. die Folge der Wahrscheinlichkeiten für $k =0$ falls $n =100000$ ist:

    $p =0,1 \Rightarrow P(X =0) \approx 0$

    $p =0,01 \Rightarrow P(X =0) \approx 3,3072 \cdot 10^{-437}$

    $p =0,001 \Rightarrow P(X =0) \approx 3,5385 \cdot 10^{-44}$

    $p =0,0001 \Rightarrow P(X =0) \approx 4,5377 \cdot 10^{-5}$

    $p =0,00001 \Rightarrow P(X =0) \approx 0,3679$

    $p =0,000001 \Rightarrow P(X =0) \approx 0,9048$

    $p =0,0000001 \Rightarrow P(X =0) \approx 0,9900$

    Dennoch geht die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße $X$ gleich ihrem Erwartungswert ist, immer gegen $0$, falls für festes $n$ die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegen $0$ geht, denn $E$ befindet sich für z. B. $p_0 =\frac{1}{n+1}$ immer zwischen $0$ und $1$.

    Damit ist $0 \lneq E =n \cdot p \lneq 1$ für alle $p < p_0$. Somit ist $E$ keine natürliche Zahl und die Wahrscheinlichkeit für $X =E$ also gleich $0$.

    Zwar geht die Wahrscheinlichkeit für $0$ Erfolge gegen $1$, wenn $p$ für festes $n$ gegen $0$ geht. Da aber der Erwartungswert $E$ für genügend kleines $p$ immer zwischen $0$ und $1$ liegt, die Zufallsgröße $X$ aber nur ganzzahlige nicht-negative Werte annehmen kann, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen $0$ und $1$ immer $0$ und die Wahrscheinlichkeit für $X =E$ geht gegen $0$.

  • Bewerte die folgenden Aussagen bezüglich ihrer Richtigkeit.

    Tipps

    Um Aussagen den Erwartungswert betreffend zu beurteilen, ist es wichtig, sich an die Definition des Erwartungswertes zu halten. Die Definition des Erwartungswertes hat nichts mit Konvergenz zu tun.

    Wir gehen hier davon aus: Wenn die zu folgernde Aussage richtig ist, aber die Voraussetzung falsch ist, ist die ganze Folgerung falsch.

    Für welche $n$ und $p$ kann $X =E$ sein?

    Lösung

    Auch, wenn es immer wieder behauptet wird: Die relative Häufigkeit $h$ eines Ereignisses muss sich nicht bei der Wahrscheinlichkeit $p$ dieses Ereignisses für größer werdendes $n$ „einpendeln“. Dieses „Einpendeln“ setzt eine Gesetzmäßigkeit voraus, die der Zufälligkeit der Versuche widerspricht. So kann z. B. beim $n$-fachen Werfen eines Würfels auch für sehr großes $n$ das Ergebnis $e =(6;\;6;\;6;\;6;\; ...)$ auftreten.

    Stattdessen ist richtig: Je häufiger ein Zufallsversuch durchgeführt wird, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_E$ eines Ereignisses $E$ in der „Nähe“ der Wahrscheinlichkeit von $E$ liegt (wie immer man „Nähe“ – vernünftig – definieren möchte).

    Bei festem $p$ und größer werdendem $n$ wird das Histogramm der zugehörigen Binomialverteilung immer breiter und flacher. Sofern die Erwartungswerte Elemente der natürlichen Zahlen sind, gilt für festes $p$, dass $P(X =E)$ sogar gegen $0$ geht, falls $n$ über alle Grenzen wächst.

    Betrachten wir zur Veranschaulichung folgende Zahlen: Sei $p =0,5$, dann gilt:

    $ n =100 \Rightarrow E =50 \Rightarrow P(X =E) \approx 0,0796$

    $ n =1000 \Rightarrow E =500 \Rightarrow P(X =E) \approx 0,0252$

    $ n =10000 \Rightarrow E =5000 \Rightarrow P(X =E) \approx 0,00797865$

    $ n =100000 \Rightarrow E =50000 \Rightarrow P(X =E) \approx 0,00252313$

    $ n =1000000 \Rightarrow E =500000 \Rightarrow P(X =E) \approx 0,000797884$

  • Gib die passenden Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    In diesem Fall ist der jeweilige Erwartungswert gleich einer bestimmten Anzahl von Erfolgen.

    Die mit dem Erwartungswert ausgerechnete Erfolgsanzahl ist das „$k$“, welches in die Bernoulli-Formel eingesetzt wird.

    Mit der Bernoulli-Formel wird die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, dass die Zufallsgröße $X$ gleich einer bestimmten Anzahl von Erfolgen ist.

    Lösung

    Mit den Angaben für $n$ und $p$ rechnen wir mit der Beziehung $E =n \cdot p$ zunächst den Erwartungswert $E$ aus. Den errechneten Wert setzen wir dann für $k$ in die Bernoulli-Formel ein. Wir erhalten dann folgende Rechnungen:

    Beispiel 1: $~n =10$ und $p =0,5$

    $E = 10 \cdot 0,5 =5$

    $P(X =5) ={10 \choose 5} \cdot 0,5^{5} \cdot (1-0,5)^{10-5} \approx 0,2461$

    Beispiel 2: $~n =500$ und $p =0,5$

    $E =500 \cdot 0,5 =250$

    $P(X =250) ={500 \choose 250} \cdot 0,5^{250} \cdot (1-0,5)^{500-250} \approx 0,0357$

    Beispiel 3: $~n =100$ und $p =0,3$

    $E =100 \cdot 0,3 =30$

    $P(X =30) ={100 \choose 30} \cdot 0,5^{30} \cdot (1-0,5)^{100-30} \approx 0,0868$

    Beispiel 4: $~n =100$ und $p =0,1$

    $E =100 \cdot 0,1 =10$

    $P(X =10) ={100 \choose 10} \cdot 0,5^{10} \cdot (1-0,5)^{100-10} \approx 0,1319$

    Nach diesem üppigen Zahlenhaufen muss diese Aufgabe noch nicht vorbei sein. Es lassen sich gewisse Regelmäßigkeiten feststellen. Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit, wenn sich $p$ ändert und $n$ gleich bleibt? Welche Entwicklung lässt sich beobachten, wenn $p$ fest bleibt und $n$ immer größer wird?

  • Untersuche die nachfolgenden Behauptungen.

    Tipps

    Um die Aufgabe zu lösen, kannst du einige Werte ausrechnen und vergleichen.

    Es geht in dieser Aufgabe nicht darum, die Behauptungen zu beweisen – dazu sind sie auch zu „schwammig“ formuliert – sondern darum, etwaige Trends zu bemerken.

    Die Histogramme binomialverteilter Zufallsgrößen können sehr zu Veranschaulichung und zum Aufspüren von Gesetzmäßigkeiten beitragen.

    Lösung

    Ist $n =10$ und $p =0,1$, ist der Erwartungswert gleich $1$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Erfolge angibt, gleich ihrem Erwartungswert ist, ist dann $ \approx 0,3874$.

    Ist $n =100$ und $p =0,01$, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ gleich ihrem Erwartungswert ist, $ \approx 0,3697$.

    Ist $n =1000$ und $p =0,001$, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ gleich ihrem Erwartungswert ist, $ \approx 0,3681$.

    Die Werte deuten an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ gleich ihrem Erwartungswert ist, tatsächlich ungefähr gleich bleibt. Führt man diese oben angedeutete Folge von Wahrscheinlichkeiten weiter, konvergiert diese übrigens gegen den Grenzwert $\frac{1}{e}$.

    Ist die Wahrscheinlichkeit genauso klein, wie die Anzahl der Versuche groß ist (z. B. $p =\frac{1}{10}$; $n =10$ oder $p =\frac{1}{100}$; $n =100$), geht die Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg auch gegen den Grenzwert $\frac{1}{e}$ und nicht gegen $1$.

    Um zu beurteilen, ob die Erfolgsanzahlen mit „verhältnismäßig großen“ Wahrscheinlichkeiten mehr „streuen“, können wir uns die Erfolgsanzahlen (im Intervall, welches möglichst symmetrisch um den Erwartungswert liegt) ansehen, auf die z. B. höchstens $90 \%$ der Wahrscheinlichkeit entfallen. Sei dafür z. B. $n =200$, dann gilt für $p =0,5$:

    $P(89 \le X \le 111) \approx 0,8964$

    Sei nun $p =0,001$. Es gilt:

    $P(0 \le X \le 1) \approx 0,9825$ und $P(X =0) \approx 0,8186$

    Der Bereich, in dem sich höchstens $90\%$ der Wahrscheinlichkeit befindet, ist also für $p =0,001$ auf die Erfolgsanzahl $1$ beschränkt, während er für $p=0,5$ viel weiter gestreut ist.

    Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit nahe Null, z. B. bei $0,001$ und ist z. B. $n =10 $, dann liegt „fast“ die ganze Wahrscheinlichkeit tatsächlich bei $X=0$. Je größer $n$ wird, desto mehr bewegt sich der Großteil der Wahrscheinlichkeit von $0$ weg. Z. B. ist $P(X=0) \approx 0067$ falls $n =5000$ ist.

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