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Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung

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Team Entdeckungsreise
Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung

Was kann man mit quantitativen Daten machen, die bei Beobachtungen, Messungen und Befragungen gesammelt wurden? Dieser Frage gehen wir nun auf den Grund. Statistik ist die Lehre der Methoden, die auf diese Daten angewendet werden können. Du lernst Daten tabellarisch und graphisch darzustellen. Außerdem wirst du statistische Kennzahlen wie das arithmetische Mittel berechnen können. Als Maß für die Variationsbreite der Daten kannst du die Spannweite bestimmen, welche den Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert darstellt. Anhand von Beispielen ermittelst du auch die durchschnittliche Abweichung vom Durchschnittswert, also die sogenannte mittlere absolute Abweichung.

Transkript Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung

Thema dieses Films sind die Grundlagen der Statistik. Ob in Zeitschriften, in der Schule, in der Technik, in den Nachrichten, ja selbst im Sport. Immer wieder stoßen wir auf statistische Auswertungen. Zunächst einmal ist Statistik nichts anderes, als die übersichtliche Zusammenfassung von Daten, die durch Beobachtungen, Messungen oder Befragungen gewonnen wurden. Eine einfache Form statistischer Auswertung kennt jeder aus der Schule. Wird eine Klassenarbeit zurückgegeben, steht neben der eigenen Note oft eine tabellarische Zusammenfassung aller Noten der ganzen Klasse. Diese Daten kann man auch graphisch auswerten. Dazu trägt man für jede Note eine Säule auf. Die Höhe der Säulen entspricht jeweils der Anzahl der Schüler, die die entsprechende Note geschrieben haben. Man sieht sofort, die meisten Schüler haben eine 3 oder eine 4. Zusammen mit diesem Notenspiegel wird meist auch die Durchschnittsnote genannt. Dieser Durchschnitt ist die erste wichtige statistische Kennzahl. In unserem Beispiel wird er errechnet, indem jede Note mit der Anzahl der Schüler, die diese Note bekommen haben, multipliziert wird. Die Produkte werden addiert und die Summe schließlich durch die Gesamtzahl der Schüler dividiert. Hier ergibt das die Durchschnittsnote 3,2. Ein anderes Beispiel. Jetzt wollen wir herausfinden, wie lang der Schulweg unserer Schüler ist. Dazu wird zunächst der Schulweg jedes einzelnen Schülers gemessen. Das Ergebnis ist eine ziemlich unübersichtliche Tabelle. Auch die graphische Darstellung als Säulendiagramm bringt hier noch keine wirklichen Erkenntnisse. Interessanter wird es, wenn auch hier der Durchschnitt berechnet wird. Alle Weglängen werden also addiert und die Summe dann wieder durch die Anzahl der Schüler dividiert. Der durchschnittliche Schulweg ist also etwa 707 Meter lang. Diese statistische Kennzahl berücksichtigt aber eine wichtige Eigenschaft unserer Daten nicht, nämlich ihre Verschiedenheit, die sogenannte „Variationsbreite“. Denn was nützt es einem Schüler zu wissen, dass der durchschnittliche Schulweg nur 707 Meter beträgt, wenn er selbst einen fast doppelt so langen Weg hat? Ein anderes Beispiel. In einem Fluss mit der Durchschnittstiefe 53 Zentimeter, kann man sich stehen die Haare nass machen, man muss nur die falsche Stelle im Fluss erwischen. An der graphischen Darstellung kann man das sehr gut erkennen. Diese Variationsbreite von Messungen oder Beobachtungen nennt man „Streuung“. Um verschiedene Mess- oder Beobachtungsreihen richtig beurteilen zu können, brauchen wir daher ein Maß für die Streuung. Ein einfaches Maß dafür ist die „Spannweite“. Sie ist die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum einer Datenreihe. Also zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Im Beispiel mit den Schulwegen beträgt die Spannweite die Differenz zwischen 1342 und 136 Metern, also ganze 1206 Meter. Auch bei der Flusstiefe ist die Spannweite ein sehr geeignetes Maß für die Streuung. Denn bei einer an sich harmlosen Durchschnittstiefe von 0,53 Metern, ist die Spannweite von 2,47 Metern doch eine deutliche Warnung, sich nicht auf den reinen Durchschnitt zu verlassen. Ganz anders sieht das bei den Klassenarbeitsnoten aus. Hier kommen wir auf eine Spannweite von 6 - 1, also 5. Innerhalb dieser Spannweite befinden sich normalerweise die Noten ziemlich vieler Arbeiten, sie hat daher kaum Aussagekraft. Hier wird ein anderes Maß für die Streuung benötigt. Dazu wird nun erst einmal für jeden Schüler die Differenz seiner Note zur Durchschnittsnote als Absolutwert berechnet und dann wird der arithmetische Mittelwert dieser Absolutwerte berechnet. Dieser Wert, die mittlere absolute Abweichung, gibt an, wie groß die durchschnittliche Abweichung vom Durchschnittswert ist. Bei unseren Schulnoten ist er eine wesentlich aussagekräftigere Maßzahl für die Streuung, als die Spannweite. In dieser Klasse beträgt die durchschnittliche Abweichung vom Klassendurchschnitt 3,2 ganze 0,96. Vergleichen wir diese Noten nun mit denen, die die Parallelklasse geschrieben hat. Die Durchschnittsnote ist dort mit 3,2 identisch, genau wie die Spannweite 5. Berechnet man aber die mittlere absolute Abweichung, erhält man einen ganz anderen Wert, nämlich nur 0,58. Er zeigt an, dass die Schüler der Parallelklasse im Durchschnitt eher Noten geschrieben haben, die nahe am Klassendurchschnitt liegen. Es gibt also eine ganz andere Notenverteilung, wie auch die graphische Darstellung zeigt. Fassen wir zusammen: Statistik ist die Lehre von Methoden, mit denen quantitative Daten, die durch Beobachtungen, Messungen oder Befragungen gewonnen wurden, beurteilt werden können. Diese Daten können tabellarisch und graphisch dargestellt werden. Wesentliche statistische Kennzahlen, mit denen Datensammlungen beschrieben werden können, sind der Durchschnitt, genauer gesagt das arithmetische Mittel. Und als Maße für die Variationsbreite der Daten die Spannweite, also der Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Und die mittlere absolute Abweichung, also die durchschnittliche Abweichung vom Durchschnittswert.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. gut

    Von Ninio, vor 3 Monaten
  2. Jetzt hab ich es endlich verstanden! :-) (-;

    Von Soether, vor 3 Monaten
  3. Cooles Video!

    Von Cathleen 1, vor 4 Monaten
  4. cool gemacht # läuft

    Von Stefanrath 81, vor fast 3 Jahren
  5. gut

    Von Emily S., vor fast 3 Jahren
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Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Beschreibende Statistik – Lageparameter und Streuung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was die Statistik ist und gib einige wichtige Kennzahlen der Statistik an.

    Tipps

    Auf einer korrigierten Klassenarbeit stehen in der Regel folgende Informationen:

    • Note des Schülers oder der Schülerin
    • tabellarische Zusammenfassung aller Noten der Klasse
    • Durchschnittsnote

    Wenn man bei den Noten einer Klassenarbeit zusätzlich wissen möchte, wie sehr die Noten vom Durchschnitt abweichen, berechnet man die mittlere absolute Abweichung.

    Lösung

    Die Statistik ist die Lehre von Methoden, mit denen quantitative Daten beurteilt werden können. Solche Daten kann man durch Beobachtungen, Messungen oder Befragungen gewinnen und tabellarisch sowie graphisch darstellen.

    Sicherlich ist dir schon mal aufgefallen, dass auf einer korrigierten Arbeit neben deiner Note eine Tabelle mit allen Noten der Klasse angegeben war. Meistens findest du neben dieser Tabelle noch eine Durchschnittsnote, die sich wie folgt berechnet: Du multiplizierst jede Note mit der zugehörigen Anzahl und summierst die so entstandenen Produkte. Die Summe teilst du durch die Anzahl der Schüler, die die Arbeit geschrieben haben.

    Allerdings ist der Durchschnitt, also das arithmetische Mittel, nicht die einzige statistische Kennzahl. So gibt es auch noch Kennzahlen, welche die Variationsbreite (auch Streuung), also die Verschiedenheit der Daten beschreiben.

    Diese sind zum Beispiel:

    • Die Spannweite, die den Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert wiedergibt.
    • Die mittlere absolute Abweichung, die die durchschnittliche Abweichung vom Durchschnittswert wiedergibt.
  • Bestimme jeweils das arithmetische Mittel und die mittlere absolute Abweichung.

    Tipps

    Das arithmetische Mittel ist der Durchschnitt. Den Durchschnitt der Noten einer Klasse berechnest du, indem du jede Note mit der zugehörigen Anzahl multiplizierst und die so entstandenen Produkte addierst. Die Summe teilst du noch durch die Gesamtzahl der Schüler.

    Die mittlere absolute Abweichung erhältst du, indem du für jeden Schüler den Betrag, also den Absolutwert der Differenz von seiner Note und der Durchschnittsnote bestimmst. Dann addierst du diese Beträge und teilst diese Summe wieder durch die Gesamtzahl der Schüler.

    Hier ein Rechenbeispiel:

    $ \begin{array}{l|c|c|c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Klasse 8a} & 3 & 2 & 11 & 7 & 2 & 0 \end{array} $

    Für das arithmetische Mittel multiplizieren wir zunächst jede Note mit der zugehörigen Schüleranzahl. Es folgt:

    $ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} 1\cdot 3=3 & 2\cdot 2=4 & 3\cdot 11=33 & 4\cdot 7=28 & 5\cdot 2=10 & 6\cdot 0=0 \end{array} $

    Nun addieren wir die Produkte und teilen durch die Gesamtzahl der Schüler, also $25$:

    $(3+4+33+28+10+0):25=78:25=3,12$

    Lösung

    Im Folgenden beschäftigen wir uns mit den beiden statistischen Kennzahlen „arithmetisches Mittel“ und „mittlere absolute Abweichung“:

    • Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt genannt, ist ein Lageparameter.
    • Die mittlere absolute Abweichung ist ein Streuungsparameter.
    Diese Kennzahlen werden für die Verteilung der Schulnoten wie folgt berechnet:

    arithmetisches Mittel

    1. Note mit der zugehörigen Schüleranzahl multiplizieren.
    2. Alle so entstandenen Produkte addieren.
    3. Summe durch Gesamtzahl der Schüler teilen.
    mittlere absolute Abweichung

    1. Den Betrag der Differenz zwischen jeder Note und dem arithmetischen Mittel berechnen.
    2. Die Beträge mit der Schüleranzahl der jeweiligen Note multiplizieren.
    3. Alle so entstandenen Produkte addieren.
    4. Summe durch die Gesamtzahl der Schüler teilen.
    Damit erhalten wir folgende Werte:

    Klasse 8b - arithmetisches Mittel

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2 & 5 & 8 & 7 & 2 & 1 \end{array}$

    Wir bestimmen zunächst die Produkte:

    • $1\cdot 2=2$
    • $2\cdot 5=10$
    • $3\cdot 8=24$
    • $4\cdot 7=28$
    • $5\cdot 2=10$
    • $6\cdot 1=6$
    Nun addieren wir alle Produkte und teilen durch die Gesamtzahl der Schüler, also durch $2+5+8+7+2+1=25$. Wir erhalten dann das folgende arithmetische Mittel:

    • $(2+10+24+28+10+6):25=80:25=3,2$
    Klasse 8b - mittlere absolute Abweichung

    Nun müssen wir zunächst die Differenz zwischen jeder Note und der Durchschnittsnote berechnen.

    • $\vert 1-3,2\vert=2,2$
    • $\vert 2-3,2\vert=1,2$
    • $\vert 3-3,2\vert=0,2$
    • $\vert 4-3,2\vert=0,8$
    • $\vert 5-3,2\vert=1,8$
    • $\vert 6-3,2\vert=2,8$
    Jetzt multiplizieren wir die Beträge jeweils mit der Schüleranzahl der zugehörigen Note. Wir erhalten:

    • $2,2\cdot 2=4,4$
    • $1,2\cdot 5=6$
    • $0,2\cdot 8=1,6$
    • $0,8\cdot 7=5,6$
    • $1,8\cdot 2=3,6$
    • $2,8\cdot 1=2,8$
    Nun können wir diese Produkte addieren und durch die Gesamtzahl der Schüler, also $25$ teilen:

    • $(4,4+6+1,6+5,6+3,6+2,8):25=24:25=0,96$
    Klasse 8c - arithmetisches Mittel

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 19 & 1 & 2 & 1 \end{array}$

    Genauso gehen wir nun bei diesem Notenspiegel vor und erhalten das gleiche arithmetische Mittel, nämlich $3,2$.

    Klasse 8c - mittlere absolute Abweichung

    Das Vorgehen ist auch hier das gleiche. Wir erhalten diesmal eine mittlere absolute Abweichung von $0,58$. Das bedeutet, dass die Schüler der Klasse 8c im Durchschnitt eher Noten geschrieben haben, die Nahe am arithmetischen Mittel liegen.

  • Ordne den Zeugnissen die zugehörigen Diagramme zu.

    Tipps

    Notiere dir zunächst die Anzahl der jeweiligen Noten für jedes Zeugnis und vergleiche diese dann mit den Höhen der Säulen.

    Lösung

    Wir erstellen zunächst für jedes Zeugnis eine Tabelle, in die wir eintragen, wie häufig eine Note auf dem Zeugnis vorkommt:

    Zeugnis 1

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 2 & 3 & 1 \end{array}$

    Zeugnis 2

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 1 & 2 & 3 \end{array}$

    Zeugnis 3

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 2 & 2 & 2 \end{array}$

    Zeugnis 4

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Note} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Anzahl} & 1 & 3 & 2 \end{array}$

    Damit erhalten wir die hier abgebildeten Säulendiagramme.

  • Ermittle die jeweiligen statistischen Kennzahlen.

    Tipps

    Du kannst zunächst eine Tabelle erstellen, in die du die jeweiligen Noten und die zugehörigen Anzahlen einträgst.

    Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem Maximal- und Minimalwert.

    Die mittlere absolute Abweichung erhältst du wie folgt:

    1. Den Betrag der Differenz zwischen jeder Note und dem arithmetischen Mittel berechnen.
    2. Die Beträge mit der Anzahl der jeweiligen Note multiplizieren.
    3. Alle so entstandenen Produkte addieren.
    4. Summe durch die Gesamtzahl der Fächer teilen.
    Lösung

    Wir erstellen uns zunächst eine Tabelle mit den Noten und den zugehörigen Anzahlen:

    $\begin{array}{c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array}$

    Nun berechnen wir die Kennzahlen.

    arithmetisches Mittel

    Zunächst erweitern wir die Tabelle um eine Spalte, in die wir die Produkte der jeweiligen Noten und ihrer zugehörigen Anzahlen eintragen:

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} & \text{Produkt} \\ \hline 1 & 2 & 1\cdot 2=2 \\ 2 & 4 & 2\cdot 4=8 \\ 3 & 4 & 3\cdot 4=12 \end{array}$

    Nun addieren wir die Produkte und teilen durch die Gesamtzahl der Noten bzw. die Anzahl der Fächer, also $10$:

    $(2+8+12):10=22:10=2,2$

    mittlere absolute Abweichung

    Diesmal brauchen wir die Beträge der Differenzen zwischen jeder Note und dem arithmetischen Mittel. Also erweitern wir die Tabelle um eine Spalte, in die wir diese Differenzen eintragen:

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} & \text{Differenz} \\ \hline 1 & 2 & \vert 1-2,2\vert = 1,2 \\ 2 & 4 & \vert 2-2,2\vert = 0,2 \\ 3 & 4 & \vert 3-2,2\vert = 0,8 \end{array}$

    Die Beträge der Differenzen multiplizieren wir nun mit den jeweiligen Anzahlen der Noten. So erhalten wir eine weitere Spalte:

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Note} & \text{Anzahl} & \text{Differenz} & \text{Produkt} \\ \hline 1 & 2 & \vert 1-2,2\vert = 1,2 & 1,2\cdot 2=2,4 \\ 2 & 4 & \vert 2-2,2\vert = 0,2 & 0,2\cdot 4=0,8 \\ 3 & 4 & \vert 3-2,2\vert = 0,8 & 0,8\cdot 4=3,2 \end{array}$

    Nun addieren wir die Produkte und teilen wieder durch $10$:

    $(2,4+0,8+3,2):10=6,4:10=0,64$

    Spannweite

    Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem Maximal- und dem Minimalwert der Daten. Hier ist der größte Wert die Note $3$ und der kleinste Wert die Note $1$. Die Spannweite ist also:

    $3-1=2$

  • Definiere die statistischen Kennzahlen.

    Tipps

    Hier siehst du ein Säulendiagramm zu einer Datensammlung. Das arithmetische Mittel ist mittels einer Linie und die Spannweite mittels einer Fläche gekennzeichnet.

    Lösung

    Die Statistik ist die Lehre von Methoden, mit denen quantitative Daten, die durch Beobachtungen, Messungen oder Befragungen gewonnen wurden, beurteilt werden können. Diese Daten können tabellarisch und graphisch dargestellt werden. Wesentliche statistische Kennzahlen, mit denen Datensammlungen beschrieben werden können, sind zum Beispiel das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung.

    Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt genannt, ist ein Lageparameter. Es gibt einen durchschnittlichen Wert der Daten an. In Klassenarbeiten wird zum Beispiel häufig die Durchschnittsnote angegeben. Mit Hilfe des arithmetischen Mittels lassen sich jedoch keine Rückschlüsse auf die Spannweite schließen. Wird die Durchschnittstiefe eines Flusses beispielsweise mit $0,53~\text{m}$ angegeben, kann der Eindruck entstehen, dass der Fluss insgesamt sehr flach ist. Eine Spannweite von $2,5~\text{m}$ ist aber dennoch möglich und zeigt, dass der Fluss an manchen Stellen deutlich tiefer ist.

    Die Spannweite sowie die mittlere absolute Abweichung sind Streuungsparameter, die die Variationsbreite einer Datensammlung beschreiben. Wir können diese wie folgt definieren:

    • Die Spannweite gibt die Differenz zwischen dem Maximal- und Minimalwert einer Datensammlung an.
    • Die mittlere absolute Abweichung gibt die durchschnittliche Abweichung vom Durchschnittswert wieder.
  • Bestimme jeweils das arithmetische Mittel und die mittlere absolute Abweichung.

    Tipps

    Um das arithmetische Mittel zu bestimmen, musst du für jede einzelne Person die Anzahl ihrer Siege über die drei Jahre addieren und durch die Anzahl der betroffenen Jahre dividieren.

    Lösung

    Wir müssen nun für jede einzelne Person jeweils das arithmetische Mittel und die mittlere absolute Abweichung berechnen.

    • Um das arithmetische Mittel zu bestimmen, müssen wir für jede einzelne Person die Anzahl ihrer Siege über die drei Jahre addieren und durch die Anzahl der betroffenen Jahre dividieren.
    • Um die mittlere absolute Abweichung zu bestimmen, müssen wir für jede einzelne Person die Beträge der Differenzen zwischen ihren Siegen und dem arithmetischen Mittel addieren und durch die Anzahl der betroffenen Jahre dividieren.
    So erhalten wir folgende Werte:

    Anna

    Zunächst übertragen wir die Siege von Anna in eine Tabelle:

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Jahr} & 2016 & 2017 & 2018 \\ \hline \text{Anzahl der Siege} & 8 & 5 & 10 \end{array}$

    Nun addieren wir alle Siege und teilen durch die Anzahl der Jahre, also $3$, um das arithmetische Mittel zu berechnen:

    $(8+5+10):3=23:3=7,\overline{6}\approx 7,67$

    Für die mittlere absolute Abweichung addieren wir die Beträge der Differenzen zwischen ihren Siegen und dem arithmetischen Mittel und dividieren die Summe wieder durch $3$:

    $(\vert 8-7,\overline{6}\vert+\vert 5-7,\overline{6}\vert +\vert 10-7,\overline{6}\vert ):3=5,\overline{3}:3=1,\overline{7}\approx 1,78$

    Ben

    Wir gehen genauso vor und erhalten das folgende arithmetische Mittel:

    $(3+2+3):3=2,\overline{6}\approx 2,67$

    Die mittlere absolute Abweichung ist:

    $(\vert 3-2,\overline{6}\vert+\vert 2-2,\overline{6}\vert +\vert 3-2,\overline{6}\vert ):3=1,\overline{3}:3=0,\overline{4}\approx 0,44$

    Leo

    Das arithmetische Mittel ist:

    $(4+7+3):3=4,\overline{6}\approx 4,67$

    Für die mittlere absolute Abweichung erhalten wir:

    $(\vert 4-4,\overline{6}\vert+\vert 7-4,\overline{6}\vert +\vert 3-4,\overline{6}\vert ):3=4,\overline{6}:3=1,\overline{5}\approx 1,56$

    Tim

    Wir erhalten das folgende arithmetische Mittel:

    $(5+6+4):3=5$

    Die mittlere absolute Abweichung ist:

    $(\vert 5-5\vert+\vert 6-5\vert +\vert 4-5\vert ):3=2:3=0,\overline{6}\approx 0,67$

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