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Bernoulli und der Zufall

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Mandy F.
Bernoulli und der Zufall
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Bernoulli und der Zufall

Bernoulli-Experimenbte spielen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine wichtige Rolle. Daher befassen wir uns in diesem Video intensiver mit diesem Thema. Dabei wird anhand eines Beispiels erklärt, was man unter einem Bernoulli-Experiment und einer Bernoulli-Kette versteht. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten wird ein Baumdiagramm genutzt. So wird dir auf anschaulichem Wege gezeigt, wie Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Du wirst sehen, dass du dir einiges schon mithilfe deines Vorwissens erschließen kannst. Nun lernst du einen schnelleren Weg kennen, bei dem man nur eine einzige Formel verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Zuletzt erfährst du noch, wie der Name "Bernoulli"-Experiment zustande gekommen ist. In einer Zusammenfassung am Ende erhältst du alles Wichtige auf einen Blick.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. @Yoon Sojina Gib in den Taschenrechner 3 nCr 2 ein

    Von Joachim 14, vor 6 Monaten
  2. Wie wird n über k, also drei über zwei, drei?

    Von Yoon Sojina, vor 10 Monaten
  3. Super Video! Daumen hoch! :-)

    Von L Siebler97, vor mehr als 2 Jahren
  4. @Torstenfrosch: Versuch mal das folgende Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/binomialverteilung-binomialkoeffizient
    Außerdem sind wir gerade bei diesem Thema dabei, Videos nachzuproduzieren. Da gibt's also bald mehr zu. :)
    Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor etwa 3 Jahren
  5. Gutes Video! Alles super einfach erklärt ! Nur schade das es zu dem nötigen Vorwissen zum Teil nichts auf Sofatutor gibt...wie zum Beispiel zum Binominalkoeffizient oder der Binominalverteilung ..... aber da können schließlich Sie nichts für :)

    Von Torstenforsch, vor etwa 3 Jahren
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Bernoulli und der Zufall Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bernoulli und der Zufall kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften eines Bernoulli-Experiments an.

    Tipps

    Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei welchem der Ausgang unvorhersehbar ist.

    Schau dir ein Beispiel an. In einer Urne befinden sich fünf Kugeln. Davon sind zwei rot und drei grün.

    Nun wird aus dieser Urne dreimal eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt.

    Das ist ein $3$-stufiges Bernoulli-Experiment.

    In einer Urne befinden sich Kugeln mit drei verschiedenen Farben. Es wird dreimal mit Zurücklegen gezogen.

    • Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht.
    • Es gibt drei verschiedene Ausgänge des Experimentes.
    Dies ist kein Bernoulli-Experiment.

    Lösung

    Wir beschäftigen uns im Folgenden mit Bernoulli-Experimenten. Dazu wollen wir zunächst festhalten, was ein Bernoulli-Experiment ist.

    Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei man daran interessiert ist, ob ein Ereignis eintritt (Erfolg) oder nicht (Misserfolg).

    Statt „Erfolg“ oder „Misserfolg“ werden auch oft die Begriffe „Treffer“ oder „Nichttreffer“ beziehungsweise „Niete“ verwendet.

    Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Erfolges wird als Erfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten des Erfolges wird als Misserfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet.

    Liegt ein mehrstufiges Bernoulli-Experment vor, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Dabei darf sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe nicht ändern.

  • Beschrifte die einzelnen Größen in der Formel nach Bernoulli.

    Tipps

    Mit Hilfe der Formel nach Bernoulli kannst du die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge bei $n$-maligem Durchführen des Bernoulli-Experimentes berechnen.

    Du führst zum Beispiel ein Bernoulli-Experiment $10$-mal durch. Dabei interessierst du dich für die Wahrscheinlichkeit von $6$ Erfolgen. Du weißt nun umgekehrt, dass es $10-6=4$ Misserfolge geben muss.

    Der Term $\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}$ wird als Binomialkoeffizient bezeichnet.

    Dabei muss $n\ge k$ sein.

    Lösung

    Stelle dir das folgende Beispiel vor: Du hast einen Multiple-Choice-Test mit drei Fragen. Bei jeder der Fragen hast du vier Antwortmöglichkeiten, von denen eine korrekt ist. Wenn du nun vollkommen ahnungslos die Antworten ankreuzt, hast du eine Erfolgswahrscheinlichkeit von $p=\frac14$ bei jeder Frage. Die Misserfolgswahrscheinlichkeit beträgt dann $1-p=1-\frac14=\frac34$.

    Das dreistufige Bernoulli-Experiment ist hier in einem Baumdiagramm dargestellt. Jede Stufe (Spalte) entspricht dabei einer der drei Fragen. Jedes Mal hast du die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit. Der Übersicht halber sind die Wahrscheinlichkeiten nicht an jedem Ast zu sehen.

    Wir schauen uns nun das Ereignis $B$ „Es werden zwei Antworten richtig angekreuzt“ an.

    Es gibt insgesamt drei Pfade, bei denen genau zweimal $r$ auftaucht. Diese Pfade sind für Ereignis $B$ also interessant.

    Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du mit Hilfe der 1. Pfadregel berechnen. Vielleicht kennst du diese Regel auch als Produktregel:

    • $P(rrf)=\frac14\cdot \frac14\cdot \frac34$,
    • $P(rfr)=\frac14\cdot \frac34\cdot \frac14$ und
    • $P(frr)=\frac34\cdot \frac14\cdot \frac14$.
    Du siehst, jedes Mal kommt der Faktor $p=\frac14$ zweimal vor. Dies ist gerade die Anzahl der Erfolge. Der Faktor $1-p=\frac34$ kommt genau einmal vor. Dies ist die Anzahl der Misserfolge. Die Anzahl der Misserfolge ergibt sich dabei immer als Differenz aller Durchführungen und der Anzahl der Erfolge. Hier rechnest du bspw. $3 - 2 = 1$.

    Allgemein gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Pfades also:

    $p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    Dabei gilt:

    • $p$ ist die Erfolgs- und $1-p$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit.
    • $k$ ist die Anzahl der Erfolge und $n-k$ die Anzahl der Misserfolge.
    Nun musst du noch überlegen, wie viele solcher Pfade es gibt. Diese Frage beantwortet der Binomialkoeffizient $\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}=3$. Der Binomialkoeffizient $\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}$ gibt die Anzahl aller Möglichkeiten an, in einer Kette der Länge $n$ genau $k$ Erfolge zu haben.

    Somit kannst du nun die Formel nach Bernoulli aufstellen. Diese geht auf Jakob I. Bernoulli (1654-1705), einen Schweizer Mathematiker und Physiker, zurück. Die Formel hilft dir bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ genau $k$ Erfolge eintreffen:

    $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    Wir schauen uns abschließend noch einmal die einzelnen Größen an:

    • $n$ ist die Länge der Bernoulli-Kette, also die Anzahl der Durchführungen des Experimentes.
    • $k$ ist die Anzahl der Erfolge. Demzufolge ist $n-k$ die Anzahl der Misserfolge.
    • $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit und deren Gegenwahrscheinlickeit $1-p$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit.
  • Entscheide, ob ein Bernoulli-Experiment vorliegt.

    Tipps

    Man spricht von einem mehrstufigen Bernoulli-Experiment, wenn wir den Ausgang des Experiments in genau zwei Ereignisse (Erfolg und Misserfolg) aufteilen und sich die Erfolgswahrscheinlichkeit in jeder Stufe nicht ändert.

    Man verwendet auch oft den Begriff Bernoulli-Kette.

    Betrachte folgendes Beispiel:

    Du hast einen Behälter mit $10$ Kugeln vor dir. Jede Kugel ist entweder rot oder blau. Nun ziehst du $2$-mal und legst die Kugel, die du gezogen hast, immer wieder zurück.

    Dies ist ein mehrstufiges Bernoulli-Experiment.

    Es kann auf die Betrachtungsweise ankommen. Bei einem normalen Würfel gibt es die Ergebnisse $1,2,3,4,5 und 6$. Wenn du dich aber bspw. nur für „gerade“ und „ungerade“ Würfe interessierst, teilst du die Ergebnisse in genau zwei Ereignisse ein.

    Lösung

    Die Bernoulli-Formel ist oft sehr hilfreich. Du musst allerdings vorher prüfen, ob du sie überhaupt anwenden solltest bzw. ob es sich bei dem vorliegenden Experiment überhaupt um ein Bernoulli-Experiment handelt.

    Schauen wir uns die Voraussetzungen noch einmal genauer an.

    Es geht nur um Erfolg oder Misserfolg.

    Das bedeutet insbesondere, dass das Experiment nur zwei Ausgänge haben darf, die dich interessieren.

    • Beim Glücksrad 1 gibt es drei verschiedene Ausgänge, von denen jeder wichtig ist, da die Auszahlung sich danach richtet. Dies kann kein Bernoulli-Experiment sein.
    • Beim Würfel gibt es auch mehrere Ausgänge. Da Paul sich jedoch nur für gerade Augenzahl interessiert, ist dies der Erfolg. Der Misserfolg ist dann die ungerade Augenzahl.
    Die Erfolgswahrscheinlichkeiten dürfen sich nicht ändern.

    • Bei den Losen wird Paul diese nach dem Kauf sicher nicht zurücklegen. Das bedeutet, hier liegt ein Urnenmodell ohne Zurücklegen vor. Die Wahrscheinlichkeiten, also insbesondere die Erfolgswahrscheinlichkeit, ändern sich. Dies ist somit kein Bernoulli-Experiment.
    • Allgemein kannst du dir einen Zufallsversuch als Urnenmodell vorstellen: Wird mit Zurücklegen gezogen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht, ansonsten ändern sie sich.
    Die verbleibenden drei Zufallsexperimente Urne, Würfel und Glücksrad 2 sind somit Bernoulli-Experimente.

    Wie du an den Beispielen siehst, musst du bei der Entscheidung, ob es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt, sehr auf die Details achten.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$.

    Tipps

    Beachte, dass $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit ist. Du erhältst die Misserfolgswahrscheinlichkeit, indem du die Erfolgswahrscheinlichkeit von $1$ subtrahierst.

    Wie oft zieht Luke eine Kugel? Hier liegt ein vierstufiges Bernoulli-Experiment vor.

    Setze die bekannten Größen in die Formel nach Bernoulli ein und runde das Ergebnis, sofern nötig, auf vier Stellen nach dem Komma.

    Lösung

    Wir wissen bereits, dass es sich hier um ein Bernoulli-Experiment handelt. Wenn du die einzelnen Größen für die Formel nach Bernoulli bestimmt hast, kannst du diese in die Formel einsetzen. Die Formel lautet:

    $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    • $n$ ist die Länge der Bernoulli-Kette oder auch die Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experimentes. Hier gilt $n=4$.
    • $k$ ist die Anzahl der Erfolge, hier also $3$.
    • $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit. Da drei von fünf Kugeln grün sind, ist diese $\frac35=0,6$.
    Nachdem du alle Werte zugeordnet hast, musst du diese in die Formel einsetzen:

    $B_{4;0,6}(3)=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}\cdot 0,6^3\cdot \left(1-0,6\right)^{4-3}=0,3456$.

  • Bestimme die verschiedenen Größen für die Formel nach Bernoulli.

    Tipps

    $n$ ist die Länge der Bernoulli-Kette, also die Anzahl der Durchführungen des Bernoulli-Experimentes.

    $k$ ist die Anzahl der Erfolge. Dies sind hier die richtigen Antworten.

    $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit.

    Du hast vier Antwortalternativen, von denen genau eine richtig ist.

    Lösung

    Um die Formel nach Bernoulli anzuwenden, musst du dir jeweils deutlich machen, welche Größen du kennst. In dem Beispiel betrachtest du einen Multiple-Choice-Test, der $3$ Fragen beinhaltet. Jede Frage hat $4$ Antwortalternativen, von denen $1$ richtig und $3$ falsch sind. Du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass du genau $2$ Antworten korrekt rätst.

    • $n:$ Da jede Frage ein Bernoulli-Experiment darstellt, ist die Länge der Bernoulli-Kette hier die Anzahl der Fragen. Es gilt $n=3$.
    • $k:$ Da du die Wahrscheinlichkeit für $2$ korrekte Antworten wissen willst, ist $k=2$.
    • $n-k$: Die Anzahl der Misserfolge ergibt sich aus der Differenz $n-k = 3-2 =1$.
    • $p:$ Da es bei jeder Frage genau eine richtige aus vier Antwortalternativen gibt, gilt $p= \frac14$.
    • $1-p:$ Die Misserfolgswahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Differenz $1-p = 1 - \frac14 = \frac34$.
    Nun kannst du beginnen zu rechnen:

    $B_{3,\frac14}(2)=\begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\cdot \left(\frac14\right)^2\cdot \left(\frac34\right)^1=\frac9{64}\approx0,1406$.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass du genau zwei korrekte Antworten errätst, liegt also bei $14,06~\%$.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

    Tipps

    Verwende die Formel nach Bernoulli: $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    $n$ ist dabei die Anzahl, wie oft Luke eine Kugel zieht. $p$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luke bei einem Zug eine grüne Kugel zieht. Sie entspricht dem Verhältnis von grünen Kugeln zu allen Kugeln.

    $k$ stellt immer in Abhängigkeit von der Aufgabe den Parameter dar, der die Anzahl der Erfolge festlegt.

    Bei $C$ und $D$ musst du mehrere Wahrscheinlichkeiten addieren. Mach dir dazu klar, was bspw. die Aussage „höchstens eine grüne Kugel“ bedeutet. Welche $k$ erfüllen die Bedingung?

    Lösung

    Bei allen folgenden Berechnungen verwendest du die Formel nach Bernoulli. Diese lautet:

    $B_{n,p}(k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

    Jedes Mal ist $n=5$ und $p=0,6$.

    Die ersten beiden Wahrscheinlichkeiten sind sogenannte Punktwahrscheinlichkeiten.

    $A$: „Luke zieht keine grüne Kugel.“

    $P(A)=B_{5;0,6}(0)=\begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}\cdot 0,6^0\cdot 0,4^5=0,01024\approx 0,0102$

    $B$: „Luke zieht drei grüne Kugeln.“

    $P(B)=B_{5;0,6}(3)=\begin{pmatrix} 5\\3 \end{pmatrix}\cdot 0,6^3\cdot 0,4^2=0,3456$

    Die nächsten beiden Wahrscheinlichkeiten sind Intervallwahrscheinlichkeiten. Für deren Berechnung addierst du Punktwahrscheinlichkeiten.

    $C$: „Luke zieht höchstens eine grüne Kugel.“

    Das bedeutet, dass Luke entweder genau $0$ oder genau $1$ grüne Kugel zieht. Also gilt:

    $P(C)=B_{5;0,6}(0)+B_{5;0,6}(1)$.

    Die Wahrscheinlichkeit $B_{5;0,6}(0)=0,01024$ hast du bereits oben berechnet. Außerdem gilt:

    $B_{5;0,6}(1)=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}\cdot 0,6^1\cdot 0,4^4=0,0768$.

    Nun kannst du die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren:

    $P(C)=0,01024+0,0768=0,08704\approx 0,0870$.

    $D$: „Luke zieht mindestens vier grüne Kugeln.“

    Auch hier musst du wieder addieren:

    $P(D)=B_{5;0,6}(4)+B_{5;0,6}(5)$.

    Es gilt:

    $B_{5;0,6}(4)=\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}\cdot 0,6^4\cdot 0,4^1=0,2592$;

    $B_{5;0,6}(5)=\begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}\cdot 0,6^5\cdot 0,4^0=0,07776$.

    Zuletzt kannst du die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren:

    $P(D)=0,2592+0,07776=0,33696\approx 0,3370$.

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