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Änderungsrate – Beispiel und Definition 08:47 min

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Transkript Änderungsrate – Beispiel und Definition

Hallo. Es geht um die Änderungsrate und den Differenzenquotienten. Um das zu erklären, habe ich hier mal eine kleine Sache vorbereitet. Also, wenn du dieses Thema Differenzialrechnung in der Schule machst, dann könnte es ja sein, dass dir schon einmal die Frage begegnet ist: Was möchtest du denn mal werden? Also, gefragt ist dabei nach dem Berufswunsch. Und es kann ja sinnvoll sein, dass man sich einen Beruf aussucht, von dem man glaubt, dass er einem Spaß machen wird, oder von dem man glaubt, dass man ihn gut ausführen kann. Ebenfalls interessant ist sicherlich auch: Bringt dieser Beruf mir überhaupt Geld? Oder auch: Werde ich dann überhaupt in meinem Beruf arbeiten können? Das heißt: Wie ist die Beschäftigungssituation in der Sparte, die ich gewählt habe? Um das herauszufinden, für die Zukunft, könnte man sich die Vergangenheit angucken. Ich habe mal, rein fiktiv, dieses Beispiel genommen von Psychologen. Also mal angenommen, wir haben hier eine Zeitleiste. Die Zeiten sind hier in Jahren oder Jahrzehnten, ich weiß es nicht, das ist mir egal. Das ist nur ein Beispiel jetzt, um den Begriff Änderungsrate definieren zu können. Hier sind Anzahlen der beschäftigten Psychologen, in einer bestimmten Region oder in einem bestimmten Land, zum Beispiel. Das sind natürlich nicht 2,3 oder 4 Psychologen, sondern die Angaben sind in Hunderten oder Tausenden, je nachdem, wie groß die Region ist. Dann könnte es jetzt also sein, dass wir hier verschiedene Anzahlen von beschäftigten Psychologen in dieser Region, im Verlauf dieser Zeit, haben. Und jetzt ist die Frage: Wie geht es weiter, und was ist bisher passiert? Hier sieht man, dass es weniger Psychologen gegeben hat, also dass die Anzahl der beschäftigten Psychologen gesunken ist. Und dann ist sie hier wieder gestiegen. Und vielleicht möchte man das jetzt, wenn man eine Prognose entwickeln möchte, etwas genauer wissen. Dann kann man schon einmal rein grafisch diese Messpunkte hier verbinden. So zum Beispiel. Und dann bekommen wir eine Kurve, so sagt man, die jetzt also aus mehreren, geraden Stücken besteht. Du weißt, was ich meine. Dann kann man hier ganz gut sehen, dass es da wohl am stärksten gefallen ist und hier ist es am stärksten gestiegen und jetzt steigt es auch noch weiter. So ungefähr könnte man das interpretieren. Das ist aber nicht ganz genau. Um das jetzt genauer zu machen, und um einen Trend für die Zukunft ablesen zu können, wäre es gut, wenn man das, was man hier sieht, zahlenmäßig genau erfassen kann. Und dazu braucht man den Begriff der Änderungsrate. Das heißt, man möchte irgendwie formulieren können, und auch quantitativ, das heißt zahlenmäßig erfassen können, wie stark denn zum Beispiel hier die Anzahl der beschäftigten Psychologen gefallen ist und wie stark ist die Anzahl der beschäftigten Psychologen hier gestiegen, oder auf einem anderen Bereich, oder auf dem kleinen Bereich, oder auf diesem großen Bereich. Um diese Änderungsrate zu definieren, können wir uns Folgendes vorstellen: Wir wollen zum Beispiel wissen, wie war hier also der langfristige Trend seit diesem Tiefpunkt. Und dann könnten wir uns hier also einen Bereich aussuchen. Das ist jetzt beim Zeitpunkt 3,7 zum Beispiel, was immer das bedeuten soll, und hier beim Zeitpunkt 7,2. Dazwischen befindet sich ein Zeitraum und wir müssten gucken, wie stark sich die Anzahl der beschäftigten Psychologen in diesem Zeitraum geändert hat. Das macht man, indem man die Änderung durch die Zeit teilt. Dann bekommt man ein Maß für den Anstieg innerhalb dieses Zeitraums. So, das waren jetzt viele Wörter. Die braucht man dann nicht, wenn man klarere Begriffe hat. Deshalb kommt jetzt der Begriff Änderungsrate einmal etwas deutlicher definiert. Wir haben ein freundliches Koordinatensystem. Da befindet sich eine Funktion. Änderungsraten werden einfach für irgendwelche Funktionen definiert. Ist jetzt egal für welche, das soll ganz allgemein sein. Wir haben einen Punkt a und wir haben einen Punkt b und wir haben einen Funktionswert hier, am Punkt a, auf der x-Achse. Man sagt eigentlich: Stelle auf der x-Achse, nicht Punkt. Ein Punkt hat ja immer, hier im Koordinatensystem, 2 Koordinaten. Die Stelle auf der x-Achse ist einfach nur eine Zahl auf der x-Achse. Auf jeden Fall haben wir hier a auf der x-Achse und wir haben einen Funktionswert, nämlich f(a). Der ist hier. Und wir haben eine Stelle auf der x-Achse, b und einen Funktionswert, das ist f(b). Das schreibe ich hier hin. f(b) ist dort oben. Das ist unsere Situation zunächst mal. Ganz allgemein. Die Änderungsrate wird nun folgendermaßen definiert: Wir nehmen den rechts liegenden Funktionswert f(b) und ziehen den links liegenden Funktionswert f(a), ab. Wir rechnen also f(b)-f(a). Das Ganze teilen wir durch die rechts liegende Zahl auf der x-Achse minus die links liegende Zahl auf der x-Achse. Und das hier ist die Änderungsrate der Funktion f auf dem Intervall a bis b,  oder einfach auf [a,b]. Änderungsrate der Funktion f auf [a,b]. Das ist übrigens ein abgeschlossenes Intervall. Diese Änderungsrate nennt man auch Differenzenquotient. Warum? Weil hier eine Differenz ist und da eine Differenz und die beiden werden geteilt und dann ist das der Differenzenquotient. Das ist die Erklärung dazu.  Auf eine kleine Sache möchte ich noch hinweisen, denn ich habe eingangs gesagt, dass diese Sache hier, mit dem Verbinden der Messpunkte, nicht ganz genau ist. Das kann sich zum Beispiel so auswirken, dass wir hier zum Beispiel einen Messwert nicht kennen. Der Messwert könnte hier sein. Und dann hätten wir eigentlich so verbinden müssen. Wäre das tatsächlich richtig, dass die Anzahl der beschäftigten Psychologen hier so einen Knick macht, dann sieht natürlich die Prognose für die Zukunft ganz anders aus. Das bedeutet, dass man sich vielleicht nicht nur auf die Messwerte verlassen kann. Vielleicht braucht man noch ein paar mehr Möglichkeiten, einen solchen Verlauf hier genauer zu bestimmen. Da kommen wir auch noch zu, das etwas genauer zu machen. Das ist nämlich die momentane Steigung, die momentane Änderungsrate. Aber hier soll es erst mal gut sein mit den neuen Begriffen. Wir haben die Änderungsrate auf [a,b] und damit können wir dann erst mal arbeiten. Viel Spaß damit. Tschüss.

3 Kommentare
  1. Das Video war echt gut erklärt. Respekt

    Von Dietrich K., vor mehr als einem Jahr
  2. 0:35 Nachdem Geld angesprochen wurde, schaut Martin traurig nach unten. :-)

    Von Konsti5, vor etwa 4 Jahren
  3. Tolles Video!

    Von Schaefchenwolke888, vor mehr als 6 Jahren

Änderungsrate – Beispiel und Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Änderungsrate – Beispiel und Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu der Änderungsrate.

    Tipps

    Untersuche das Diagramm genauer:

    • Mache dir die Zeitintervalle steigender und fallender Beschäftigung klar.
    • Mache dir klar, wann die Steigung größer ist.

    Merke dir, dass die $y$-Werte durch die $x$-Werte geteilt werden.

    Weißt du noch, wie der Graph einer linearen Funktion gezeichnet wird?

    Richtig mit einem Steigungsdreick: Den Wert im Nenner der Steigung gehst du entlang der x-Richtung und den Wert im Zähler entlang der y-Richtung.

    Lösung

    Wenn man zu einer Begebenheit verschiedene Werte kennt, zum Beispiel die Anzahl der beschäftigten Psychologen zu einem bestimmten Zeitpunkt, kann man zu diesen Änderungsraten angeben.

    Die Änderungsrate gibt an, wie sich in einem bestimmten Zeitraum ein Bestand verändert hat:

    • Ist er gestiegen oder gefallen?
    • Wie stark ist er gestiegen oder gefallen?
    Um die Änderungsrate zu bestimmen, wird in einem bestimmten Zeitraum die zugehörige Änderung des Bestandes betrachtet.

    Diese Änderung wird durch die Zeit geteilt. Dies ist ein Maß für die Änderung.

  • Beschreibe, wie die Änderungsrate auch noch benannt wird.

    Tipps

    Bei der Addition gilt: Summand $+$ Summand $=$ Summe.

    Bei der Subtraktion gilt: Minuend $-$ Subtrahend $=$ Differenz.

    Was ist ein Quotient?

    Dies ist ein Bruch mit einem Zähler oben und einem Nenner unten.

    Lösung

    Was man hier sieht ist ein Bruch: Oben steht im Zähler eine Differenz und unten im Nenner ebenfalls eine Differenz.

    Das Ergebnis einer Division nennt man Quotient.

    Deshalb wird die Änderungsrate auch als Differenzenquotient bezeichnet.

  • Gib die Definition der Änderungsrate an.

    Tipps

    Wie kann man sich behalten, welche Differenz im Zähler und welche im Nenner steht: Der Graph einer linearen Funktion kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks gezeichnet werden. Dabei ist die Steigung $m=\frac cd$ als Bruch gegeben. Der Wert im Nenner gibt an, wie weit man entlang der $x$-Achse und der im Zähler entlang der $y$-Achse geht.

    Die Änderungsrate wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.

    Achte auf die Reihenfolge, da ansonsten gegebenenfalls ein Vorzeichenfehler entstehen kann.

    Lösung

    Die Änderungsrate einer Funktion ist auf einem Intervall, hier $I=[a;b]$, definiert.

    Es wird die Differenz der Funktionswerte an den Intervallrändern gebildet: $f(b)-f(a)$.

    Diese Differenz wird durch die Intervalllänge $b-a$ geteilt:

    $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

    Natürlich könnte man auch sowohl im Zähler als auch im Nenner die Reihenfolge ändern:

    $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.

    Da ein Quotient aus zwei Differenzen gebildet wird, wird die Änderungsrate auch als Differenzenquotient bezeichnet.

    Wie kann man sich merken, welche Differenz im Zähler und welche im Nenner steht: Der Graph einer linearen Funktion kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks gezeichnet werden. Dabei ist die Steigung $m=\frac cd$ als Bruch gegeben. Der Wert im Nenner gibt an, wie weit man entlang der $x$-Achse geht. Der Wert im Zähler gibt an, wie weit man entlang der $y$-Achse geht.

  • Bestimme die Änderungsrate der Funktion $f(x)=x^2$ auf verschiedenen Intervallen.

    Tipps

    Übertrage den Graphen der Funktion auf ein Blatt und schaue dir die verschiedenen Steigungen auf den Intervallen an.

    Die Änderungsraten haben Werte von $1$ bis $5$.

    Die Formel zur Berechnung der Änderungsrate auf dem Intervall $I=[a;b]$ lautet:

    $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

    Lösung

    Die Definition der Änderungsrate auf dem Intervall $I=[a;b]$ lautet

    $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

    Hier ist $f(x)=x^2$.

    • $I=[0;1]$: $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1^2-0^2}{1}=\frac11=1$
    • $I=[0;2]$: $\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{2^2-0^2}{2}=\frac42=2$
    • $I=[1;2]$: $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{2^2-1^2}{1}=\frac31=3$
    • $I=[1;3]$: $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{3^2-1^2}{2}=\frac82=4$
    • $I=[1;4]$: $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{4^2-1^2}{3}=\frac{15}3=5$

  • Entscheide, wie groß die Änderungsrate ist.

    Tipps

    Ziehe von der Anzahl der beschäftigten Psychologen 2014 die von 2010 ab.

    Die Änderungsrate ist definiert als Quotient aus Differenzen.

    Die Änderungsrate ist gegeben als der Quotient der Änderung der Anzahlen und der Zeit.

    Die Änderungsrate ist hier eine ganze Zahl.

    Lösung

    Bekannt ist die Zahl der beschäftigten Psychologen:

    • 2010: $500$ und
    • 2014: $1700$.
    Die Differenz der Anzahl beträgt $1700-500=1200$.

    Die Differenz der Jahre beträgt $2014-2010=4$.

    Wenn man nun die Differenzen dividiert, erhält man die Änderungsrate

    $\frac{1200}{4}=300$.

    Was besagt die Änderungsrate? In der Zeit von $2010$ bis $2014$ ist die Zahl der beschäftigten Psychologen pro Jahr im Schnitt um $300$ gestiegen.

  • Ordne der jeweiligen Funktion die Änderungsrate zu.

    Tipps

    Der Nenner ist immer gleich, da das gleiche Intervall betrachtet wird.

    Setze sowohl den rechten Intervallrand $b$ als auch den linken $a$ in der Funktionsgleichung ein.

    Lösung

    Die Änderungsrate ist definiert als Quotient aus Differenzen: Wir teilen die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der $x$-Werte. Damit gilt für die einzelnen Beispiele:

    • $f(x)=5$: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{5-5}{b-a}=0$
    • $g(x)=x$: $\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=\frac{b-a}{b-a}=1$
    • $h(x)=5x$: $\frac{h(b)-h(a)}{b-a}=\frac{5b-5a}{b-a}=\frac{5(b-a)}{b-a}=5$
    • $k(x)=2x+1$: $\frac{k(b)-k(a)}{b-a}=\frac{2b+1-(2a+1)}{b-a}=\frac{2b-2a}{b-a}=\frac{2(b-a)}{b-a}=2$