Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung

Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung Übung

• Berechne die Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall $I=[1;2]$.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung der Änderungsrate auf dem Intervall $I=[a;b]$ lautet

  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Achte auf das Minuszeichen: Im Zähler muss der hintere Term geklammert werden.

  Im Nenner steht die Differenz der Intervallgrenzen. Dies ist die Länge des Intervalls.

  Lösung

  Es soll die Änderungsrate der Funktion $f(x)=\frac1{12}x^2+x-2$ auf dem Intervall $I=[1;2]$ berechnet werden. Hierfür wird die folgende Formel verwendet:

  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Wir erhalten also

  $\begin{align*} \frac{f(2)-f(1)}{2-1}&=\frac{\frac1{12}\cdot2^2+2-2-\left(\frac1{12}+1-2\right)}{2-1}\\ &=\frac{\frac13-\left(-\frac{11}{12}\right)}{1}\\ &=\frac{15}{12}\\ &=\frac54. \end{align*}$

  Dies ist die gesuchte Änderungsrate.

• Bestimme die Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall $I=[-3;0]$.

  Tipps

  Beachte die Reihenfolge bei der Verwendung der Formel. Diese darf nicht beliebig vertauscht werden, da dies zu Vorzeichenfehlern führen würde.

  Im Nenner steht die Länge des Intervalls.

  Beachte, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer die Vorzeichen in der Klammer vertauscht.

  Lösung

  Die Änderungsrate der Funktion $f(x)=\frac1{12}x^2+x-2$ auf dem Intervall $I=[-3;0]$ soll berechnet werden.

  Man verwendet die Formel:

  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Dabei ist $a=-3$ und $b=0$.

  $\begin{align*} \frac{f(0)-f(-3)}{0-(-3)}&=\frac{-2-\left(\frac1{12}\cdot(-3)^2+(-3)-2\right)}{3}\\ &=\frac{-2-\left(-4\frac14\right)}{3}\\ &=\frac{2\frac14}{3}\\ &=\frac34. \end{align*}$

  Dies ist die gesuchte Änderungsrate.

• Entscheide, zu welchem Intervall welche Änderungsrate gehört.

  Tipps

  Verwende jeweils für das Intervall $I=[a;b]$ die Formel

  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Bilde die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen. Beachte dabei die Reihenfolge. Im Nenner steht die Länge des Intervalls.

  Achte auf das Vorzeichen der Änderungsrate.

  Lösung

  Die Änderungsrate soll für die Funktion $f(x)=x^2+1$ auf verschiedenen Intervallen berechnet werden. Hierfür wird die Formel $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ verwendet. Dabei ist $a$ der linke und $b$ der rechte Intervallrand.

  • $I=[0;1]$: $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{2-1}1=1$
  • $I=[2;3]$: $\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{10-5}1=5$
  • $I=[-2;0]$: $\frac{f(0)-f(-2)}{0-(-2)}=\frac{1-5}2=\frac{-4}2=-2$
  • $I=[-1;4]$: $\frac{f(4)-f(-1)}{4-(-1)}=\frac{17-2}5=\frac{15}5=3$

• Berechne die Änderungsrate.

  Tipps

  Überlege dir zunächst, was $a$ und was $b$ ist, und setze diese dann in der Funktionsgleichung ein.

  Die Änderungsrate ist eine ganze Zahl.

  Lösung

  Um die Änderungsrate der Funktion $f(x)=x^2-2x+2$ auf dem Intervall $I=[1;3]$ zu berechnen, wird die oben stehende Formel

  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  verwendet. In diesem Beispiel ist $a=1$ und $b=3$. Nun können diese Grenzen in die Lücken eingesetzt werden:

  $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{3^2-2\cdot3+2-(1^2-2\cdot1+2)}{3-1}$.

  Das vereinfacht sich zu

  $\frac{5-1}{2}$.

  Also ist die gesuchte Änderungsrate $\frac42=2$.

• Gib die Formel für die Berechnung der Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall an.

  Tipps

  Die Änderungsrate wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.

  Bilde die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen und teile sie durch die Länge des Intervalls.

  Beachte die Reihenfolge.

  Wie kann man sich merken, ob die Differenz der Funktionswerte oder der $x$-Werte im Zähler steht? Hierfür kann man sich das Steigungsdreieck zur Zeichnung des Graphen einer linearen Funktion mit der Steigung $m=\frac cd$ vorstellen:

  • Man geht $d$ Einheiten in positiver $x$-Richtung und
  • $c$ Einheiten nach oben, falls $c$ positiv ist, und sonst $c$ Einheiten nach unten.

  Lösung

  Wie lautet die Formel zur Bestimmung der Änderungsrate auf einem Intervall?

  Sie lautet $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  • Man bildet die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen $f(b)-f(a)$ und teilt diese
  • durch die Differenz der Intervallgrenzen.

  Man könnte auch sowohl im Zähler als auch im Nenner die Reihenfolge vertauschen, was nichts am Ergebnis ändern würde:

  $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.

  Wie kann man sich merken, ob die Differenz der Funktionswerte oder der $x$-Werte im Zähler steht. Hierfür kann man sich das Steigungsdreieck zur Zeichnung des Graphen einer linearen Funktion mit der Steigung $m=\frac cd$ vorstellen:

  • Man geht $d$ Einheiten in positiver x-Richtung und
  • $c$ Einheiten nach oben, falls $c$ positiv ist, und sonst $c$ Einheiten nach unten.

• Bestimme den rechten Intervallrand.

  Tipps

  Verwende für das Intervall $I=[a;b]$ die Formel

  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Du erhältst eine Gleichung, die nach $b$ gelöst werden muss.

  Du kannst die $3$. binomische Formel $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$ anwenden.

  Lösung

  Mit der Formel für die Änderungsrate erhält man

  $\frac{f(b)-f(2)}{b-2}=\frac{b^2+1-5}{b-2}=\frac{b^2-4}{b-2}$.

  Wenn man den Zähler mit der $3$. binomischen Formel umwandelt zu $(b+2)\cdot(b-2)$, kann gekürzt werden zu

  $\frac{b^2-4}{b-2}=\frac{(b+2)\cdot(b-2)}{b-2}=b+2$.

  Es muss $b+2=7$ gelten. Durch Subtraktion von $2$ erhält man die gesuchte linke Intervallgrenze $b=5$.