Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung
Beschreibung Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung
Hallo. Wenn du bereits weißt, was die Änderungsrate einer Funktion ist, dann stelle ich dir in diesem Video nun eine Aufgabe vor, die ich mit dir gemeinsam lösen möchte. Solltest du noch etwas unsicher bei dem Thema „ Änderungsrate “ sein. Dann empfehle ich dir, zunächst mein Video „Änderungsrate, Differenzenquotient - Beispiel und Definition “ anzuschauen. Darin erkläre ich alles Grundlegende. Die Aufgabe im Video lautet nun folgendermaßen: Gegeben ist die Funktion f(x)=(1/12)x²+x-2, bei der auf den Intervallen [1;2], [-3;0], [-3;-1] und [-2;-2] die Änderungsrate berechnet werden soll.
Transkript Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung
Hallo: Eine Aufgabe zur Änderungsrate: Wir haben eine Funktion gegeben, und zwar f(x)=(1/12)x2+x-2 und sollen auf den Intervallen [1;2], [-3;0], [-3;-1] und [-2;-2] die Änderungsrate berechnen, einfach eine kleine Anwendungsaufgabe. Wir haben eine Formel für die Änderungsrate einer Funktion auf dem Intervall von a bis b, wir rechnen (f(b)-f(a))/(b-a). So, und für das 1. Intervall habe ich das hier schon mal aufgemalt. Wir müssen jetzt hier einfach für x stumpf die rechte Grenze des Intervalls einsetzen, das ist hier die 2. Das habe ich hier gemacht, dann haben wir hier 22, das ist hier, ja, /12, so, und dann haben wir hier 2 eingesetzt usw. Dann ist hier die Klammer wichtig, ja, wir wollen ja den Funktionswert f(a), also f(1), subtrahieren. Wenn wir f(1) ausrechnen, erhalten wir eine Summe, wenn wir eine Summe subtrahieren wollen, müssen wir immer die Klammer setzen. Sage ich noch mal, weil es immer wieder zu Fehlern führt. Gut, wenn man 1 einsetzt, dann haben wir hier 1/12, klar, weil 12=1 ist, und dann haben wir hier 1-2 und müssen das dann durch b-a teilen und das ist 2-1. Und bei dem Ganzen kommt heraus: 5/4. Ja, ich habe das vorher heimlich nachgerechnet. Man kann sich das ruhig ein bisschen überlegen, also wenn man das jetzt in den Taschenrechner eintippt oder das im Kopf rechnet, dann kann man das ja hier weglassen, nicht wahr, und da kann man ja -1 schreiben usw., also das darf man ruhig ein bisschen selbst nachrechnen. Zweites Intervall. Wir müssen einsetzen wieder die rechte Grenze als Erstes und dann die linke Grenze, den Funktionswert an der linken Grenze abziehen. Die linke Grenze ist in dem Fall -3 und wenn wir hier 0 einsetzen, ja, dann ist das 0 und wir haben -2 nur noch übrig. Ich sage das auch noch mal, weil manche Leute tippen auch dann 02 in den Taschenrechner ein, also, ein bisschen Mitdenken ist schon wichtig. Und dann hier wieder die Klammer, da muss man halt drauf achten, dann muss der Funktionswert bei -3 abgezogen werden, und ich habe also stumpf hier -3 eingesetzt. Und dann, wenn man das jetzt weiter umformt, kommt man letzten Endes auf einen Term, der so aussieht: (-2+4¼)/3 und das, kann man dann direkt sehen, das sind - nee, muss ich doch eben nachrechnen, wir haben 2¼ dann noch, 2¼ sind 9/4, durch 3 sind ¾. Die Änderungsrate auf dem Intervall [-3;0] ist ¾. Nächstes Intervall. Ja, ich glaube, das kann man einfach so hintereinander hier durchrechnen, einfach nur gucken, was man einsetzen muss und wie das aussieht. Wir müssen hier einsetzen die rechte Grenze und dann die linke Grenze. Also erst -1 einsetzen, -12 ist klar, +1, dann haben wir hier -1 und -2 da stehen und dann hier wieder minus - und dann habe ich das schon mal zusammengefasst und es kommen 2/3 raus. Ich muss jetzt nicht die ganze Rechnung erklären, nur für dich zum Vergleich. Ja, auch das musst du ja nicht so in den Taschenrechner eintippen, wenn du schon den Taschenrechner dafür benutzt. Du kannst dann ja auch ein bisschen mitdenken. Ja, das war's eigentlich dazu, denn das untere Intervall ist irgendwie Quatsch. Also das untere Intervall nicht, aber wir können die Änderungsrate nicht berechnen. Warum? Weil wir nicht durch 0 teilen können. Ja, wenn wir jetzt hier - wo ist die Formel? Da ist sie. Wenn wir hier -2-(-2) einsetzen, dann haben wir hier 0 stehen, wir können durch 0 nicht teilen, egal, ob da oben dann auch 0 rauskommt oder nicht, es geht halt nicht. Und deshalb können wir mit dieser Methode die momentane Änderungsrate nicht bestimmen, wir können also nicht sagen, wie sich die Funktion in einem einzigen Punkt ändert. Das kann man bestimmen, aber nicht mit dieser Methode. Da kommen wir später noch drauf, wie man das bestimmt. Das ist eben Thema der Differenzialrechnung, wie man die Änderung in einem einzigen Punkt bestimmt. Eine kleine Zeichnung noch dazu. Es ist immer wichtig, dass du dir solche Funktionen vorstellst. Entweder hast du einen Taschenrechner, der zeichnen kann, oder du zeichnest von Hand, machst dir eine Wertetabelle oder GeoGebra, irgendein Computerprogramm, gibt auch andere, weiß ich nicht. So ungefähr sieht das aus und ich glaube, hier haben wir dann -3 oder so was, hier müsste das sein. Ja, nur zur Orientierung, hier haben wir 1. Wenn du Änderungsraten ausrechnest, dann stell dir bitte dazu die Zeichnung auch zur Verfügung, den Graphen der Funktion, und schau dir das an, ob das irgendwie hinhauen kann, was du da gerechnet hast. Das ist immer wichtig, gerade in der Analysis, dass du dir diese Funktionen irgendwie grob vorstellen kannst. Das war's. Viel Spaß damit. Tschüss!
Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung Übung
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Berechne die Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall $I=[1;2]$.
TippsDie Formel zur Berechnung der Änderungsrate auf dem Intervall $I=[a;b]$ lautet
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Achte auf das Minuszeichen: Im Zähler muss der hintere Term geklammert werden.
Im Nenner steht die Differenz der Intervallgrenzen. Dies ist die Länge des Intervalls.
LösungEs soll die Änderungsrate der Funktion $f(x)=\frac1{12}x^2+x-2$ auf dem Intervall $I=[1;2]$ berechnet werden. Hierfür wird die folgende Formel verwendet:
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Wir erhalten also
$\begin{align*} \frac{f(2)-f(1)}{2-1}&=\frac{\frac1{12}\cdot2^2+2-2-\left(\frac1{12}+1-2\right)}{2-1}\\ &=\frac{\frac13-\left(-\frac{11}{12}\right)}{1}\\ &=\frac{15}{12}\\ &=\frac54. \end{align*}$
Dies ist die gesuchte Änderungsrate.
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Bestimme die Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall $I=[-3;0]$.
TippsBeachte die Reihenfolge bei der Verwendung der Formel. Diese darf nicht beliebig vertauscht werden, da dies zu Vorzeichenfehlern führen würde.
Im Nenner steht die Länge des Intervalls.
Beachte, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer die Vorzeichen in der Klammer vertauscht.
LösungDie Änderungsrate der Funktion $f(x)=\frac1{12}x^2+x-2$ auf dem Intervall $I=[-3;0]$ soll berechnet werden.
Man verwendet die Formel:
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Dabei ist $a=-3$ und $b=0$.
$\begin{align*} \frac{f(0)-f(-3)}{0-(-3)}&=\frac{-2-\left(\frac1{12}\cdot(-3)^2+(-3)-2\right)}{3}\\ &=\frac{-2-\left(-4\frac14\right)}{3}\\ &=\frac{2\frac14}{3}\\ &=\frac34. \end{align*}$
Dies ist die gesuchte Änderungsrate.
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Entscheide, zu welchem Intervall welche Änderungsrate gehört.
TippsVerwende jeweils für das Intervall $I=[a;b]$ die Formel
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Bilde die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen. Beachte dabei die Reihenfolge. Im Nenner steht die Länge des Intervalls.
Achte auf das Vorzeichen der Änderungsrate.
LösungDie Änderungsrate soll für die Funktion $f(x)=x^2+1$ auf verschiedenen Intervallen berechnet werden. Hierfür wird die Formel $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ verwendet. Dabei ist $a$ der linke und $b$ der rechte Intervallrand.
- $I=[0;1]$: $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{2-1}1=1$
- $I=[2;3]$: $\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{10-5}1=5$
- $I=[-2;0]$: $\frac{f(0)-f(-2)}{0-(-2)}=\frac{1-5}2=\frac{-4}2=-2$
- $I=[-1;4]$: $\frac{f(4)-f(-1)}{4-(-1)}=\frac{17-2}5=\frac{15}5=3$
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Berechne die Änderungsrate.
TippsÜberlege dir zunächst, was $a$ und was $b$ ist, und setze diese dann in der Funktionsgleichung ein.
Die Änderungsrate ist eine ganze Zahl.
LösungUm die Änderungsrate der Funktion $f(x)=x^2-2x+2$ auf dem Intervall $I=[1;3]$ zu berechnen, wird die oben stehende Formel
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
verwendet. In diesem Beispiel ist $a=1$ und $b=3$. Nun können diese Grenzen in die Lücken eingesetzt werden:
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{3^2-2\cdot3+2-(1^2-2\cdot1+2)}{3-1}$.
Das vereinfacht sich zu
$\frac{5-1}{2}$.
Also ist die gesuchte Änderungsrate $\frac42=2$.
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Gib die Formel für die Berechnung der Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall an.
TippsDie Änderungsrate wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.
Bilde die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen und teile sie durch die Länge des Intervalls.
Beachte die Reihenfolge.
Wie kann man sich merken, ob die Differenz der Funktionswerte oder der $x$-Werte im Zähler steht? Hierfür kann man sich das Steigungsdreieck zur Zeichnung des Graphen einer linearen Funktion mit der Steigung $m=\frac cd$ vorstellen:
- Man geht $d$ Einheiten in positiver $x$-Richtung und
- $c$ Einheiten nach oben, falls $c$ positiv ist, und sonst $c$ Einheiten nach unten.
LösungWie lautet die Formel zur Bestimmung der Änderungsrate auf einem Intervall?
Sie lautet $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
- Man bildet die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen $f(b)-f(a)$ und teilt diese
- durch die Differenz der Intervallgrenzen.
$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.
Wie kann man sich merken, ob die Differenz der Funktionswerte oder der $x$-Werte im Zähler steht. Hierfür kann man sich das Steigungsdreieck zur Zeichnung des Graphen einer linearen Funktion mit der Steigung $m=\frac cd$ vorstellen:
- Man geht $d$ Einheiten in positiver x-Richtung und
- $c$ Einheiten nach oben, falls $c$ positiv ist, und sonst $c$ Einheiten nach unten.
-
Bestimme den rechten Intervallrand.
TippsVerwende für das Intervall $I=[a;b]$ die Formel
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Du erhältst eine Gleichung, die nach $b$ gelöst werden muss.
Du kannst die $3$. binomische Formel $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$ anwenden.
LösungMit der Formel für die Änderungsrate erhält man
$\frac{f(b)-f(2)}{b-2}=\frac{b^2+1-5}{b-2}=\frac{b^2-4}{b-2}$.
Wenn man den Zähler mit der $3$. binomischen Formel umwandelt zu $(b+2)\cdot(b-2)$, kann gekürzt werden zu
$\frac{b^2-4}{b-2}=\frac{(b+2)\cdot(b-2)}{b-2}=b+2$.
Es muss $b+2=7$ gelten. Durch Subtraktion von $2$ erhält man die gesuchte linke Intervallgrenze $b=5$.
Differenzenquotient bestimmen
Mittlere Änderungsrate – Mit einem Steigungsdreieck bestimmen
Mittlere Änderungsrate – Steigung einer Sekante
Mittlere Änderungsrate – Durchschnittsgeschwindigkeit
Änderungsrate – Beispiel und Definition
Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung
Mittlere und lokale Änderungsrate
Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele
Differentialrechnung ganz kurz
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3 Kommentare
Sie haben in einem Video gesagt, dass sie das Thema der Momentanen Änderungsrate nochmal behandeln. Haben sie ein Video darüber gemacht??? Ich finde das nämlich nicht!!!!
@Claudia Currey:
Soweit ich dich verstanden habe, meinst du die Berechnung des ersten Intervalls f(b)-f(a). Du setzt einmal für das erste Intervall für b 2 und dann für a 1 ein.
Wenn du 2 in die Funktion einsetzt ergibt das, wie du richtig erkannt hast für den ersten Termn 1/3. Hier bleibt allerdings 2^2/12 stehen, d.h. es wird nicht gekürzt.
Nach dem Minus wird allerdings 1 in die Funktion eingesetzt. Wenn du 1 in die Funktion einsetzt lautet der erste Term der rechtebn Klammer 1/12. Diese 1/12 haben aber nichts mit der 1/3 oder 2^2/12 zu tun.
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
Hallo,
Sie wollen in die Funktion 1/12 x^2 ' 2 einsetzen. 2 zum Quadrat sind 4, aber wieso wird dann aus dem 1/12 nicht 1/3?