Änderungsrate – Aufgabe mit Lösung 06:10 min

Hallo: Eine Aufgabe zur Änderungsrate: Wir haben eine Funktion gegeben, und zwar f(x)=(1/12)x2+x-2 und sollen auf den Intervallen [1;2], [-3;0], [-3;-1] und [-2;-2] die Änderungsrate berechnen, einfach eine kleine Anwendungsaufgabe. Wir haben eine Formel für die Änderungsrate einer Funktion auf dem Intervall von a bis b, wir rechnen (f(b)-f(a))/(b-a). So, und für das 1. Intervall habe ich das hier schon mal aufgemalt. Wir müssen jetzt hier einfach für x stumpf die rechte Grenze des Intervalls einsetzen, das ist hier die 2. Das habe ich hier gemacht, dann haben wir hier 22, das ist hier, ja, /12, so, und dann haben wir hier 2 eingesetzt usw. Dann ist hier die Klammer wichtig, ja, wir wollen ja den Funktionswert f(a), also f(1), subtrahieren. Wenn wir f(1) ausrechnen, erhalten wir eine Summe, wenn wir eine Summe subtrahieren wollen, müssen wir immer die Klammer setzen. Sage ich noch mal, weil es immer wieder zu Fehlern führt. Gut, wenn man 1 einsetzt, dann haben wir hier 1/12, klar, weil 12=1 ist, und dann haben wir hier 1-2 und müssen das dann durch b-a teilen und das ist 2-1. Und bei dem Ganzen kommt heraus: 5/4. Ja, ich habe das vorher heimlich nachgerechnet. Man kann sich das ruhig ein bisschen überlegen, also wenn man das jetzt in den Taschenrechner eintippt oder das im Kopf rechnet, dann kann man das ja hier weglassen, nicht wahr, und da kann man ja -1 schreiben usw., also das darf man ruhig ein bisschen selbst nachrechnen. Zweites Intervall. Wir müssen einsetzen wieder die rechte Grenze als Erstes und dann die linke Grenze, den Funktionswert an der linken Grenze abziehen. Die linke Grenze ist in dem Fall -3 und wenn wir hier 0 einsetzen, ja, dann ist das 0 und wir haben -2 nur noch übrig. Ich sage das auch noch mal, weil manche Leute tippen auch dann 02 in den Taschenrechner ein, also, ein bisschen Mitdenken ist schon wichtig. Und dann hier wieder die Klammer, da muss man halt drauf achten, dann muss der Funktionswert bei -3 abgezogen werden, und ich habe also stumpf hier -3 eingesetzt. Und dann, wenn man das jetzt weiter umformt, kommt man letzten Endes auf einen Term, der so aussieht: (-2+4¼)/3 und das, kann man dann direkt sehen, das sind - nee, muss ich doch eben nachrechnen, wir haben 2¼ dann noch, 2¼ sind 9/4, durch 3 sind ¾. Die Änderungsrate auf dem Intervall [-3;0] ist ¾. Nächstes Intervall. Ja, ich glaube, das kann man einfach so hintereinander hier durchrechnen, einfach nur gucken, was man einsetzen muss und wie das aussieht. Wir müssen hier einsetzen die rechte Grenze und dann die linke Grenze. Also erst -1 einsetzen, -12 ist klar, +1, dann haben wir hier -1 und -2 da stehen und dann hier wieder minus - und dann habe ich das schon mal zusammengefasst und es kommen 2/3 raus. Ich muss jetzt nicht die ganze Rechnung erklären, nur für dich zum Vergleich. Ja, auch das musst du ja nicht so in den Taschenrechner eintippen, wenn du schon den Taschenrechner dafür benutzt. Du kannst dann ja auch ein bisschen mitdenken. Ja, das war's eigentlich dazu, denn das untere Intervall ist irgendwie Quatsch. Also das untere Intervall nicht, aber wir können die Änderungsrate nicht berechnen. Warum? Weil wir nicht durch 0 teilen können. Ja, wenn wir jetzt hier - wo ist die Formel? Da ist sie. Wenn wir hier -2-(-2) einsetzen, dann haben wir hier 0 stehen, wir können durch 0 nicht teilen, egal, ob da oben dann auch 0 rauskommt oder nicht, es geht halt nicht. Und deshalb können wir mit dieser Methode die momentane Änderungsrate nicht bestimmen, wir können also nicht sagen, wie sich die Funktion in einem einzigen Punkt ändert. Das kann man bestimmen, aber nicht mit dieser Methode. Da kommen wir später noch drauf, wie man das bestimmt. Das ist eben Thema der Differenzialrechnung, wie man die Änderung in einem einzigen Punkt bestimmt. Eine kleine Zeichnung noch dazu. Es ist immer wichtig, dass du dir solche Funktionen vorstellst. Entweder hast du einen Taschenrechner, der zeichnen kann, oder du zeichnest von Hand, machst dir eine Wertetabelle oder GeoGebra, irgendein Computerprogramm, gibt auch andere, weiß ich nicht. So ungefähr sieht das aus und ich glaube, hier haben wir dann -3 oder so was, hier müsste das sein. Ja, nur zur Orientierung, hier haben wir 1. Wenn du Änderungsraten ausrechnest, dann stell dir bitte dazu die Zeichnung auch zur Verfügung, den Graphen der Funktion, und schau dir das an, ob das irgendwie hinhauen kann, was du da gerechnet hast. Das ist immer wichtig, gerade in der Analysis, dass du dir diese Funktionen irgendwie grob vorstellen kannst. Das war's. Viel Spaß damit. Tschüss!