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Addition von Brüchen

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Team Digital
Addition von Brüchen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Addition von Brüchen

Brüche

Stell dir vor, du schneidest zwei Pizzen in jeweils sechs gleichgroße Teile. Allerdings fallen dir beim Tragen die Pizzen herunter, und ein paar der Stücke landen auf dem Boden. Von der ersten Pizza ist nur noch ein Stück essbar und von der zweiten sind es vier.

Das kannst du auch als Brüche aufschreiben:

$\text{Von der ersten Pizza ist noch ein Stück übrig: } \frac{1}{6}$

$\text{Von der zweiten Pizza sind noch vier Stück übrig: } \frac{4}{6}$

Über dem Bruchstrich steht der Zähler. Er gibt die Anzahl der Stücke an. Unter dem Bruchstrich steht der Nenner, der die Einteilung angibt. Nach ihm ist der Bruch außerdem benannt. Hier sagt man also: Ein Sechstel und Vier Sechstel. Beide Brüche haben den gleichen Nenner. Man nennt sie deswegen auch gleichnamige Brüche. Aber wie addiert man Brüche?

Die Addition von Brüchen

Gleichnamige Brüche addieren

Möchtest du gleichnamige Brüche addieren, fragst du dich, wie viele Stücke es insgesamt gibt. Bei den zwei Pizzen also, wieviele Sechstel insgesamt noch essbar sind. Deswegen lassen wir den Nenner unverändert und addieren einfach die Zähler:

$\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$

Es sind also noch fünf Sechstel übrig.

Brüche addieren – Erklärung

Schauen wir uns an, wie es aussieht, wenn die Pizzen in jeweils sieben Teile geschnitten wurden. Dieses Mal sind bei der ersten Pizza drei Stücke übrig und bei der zweiten zwei. Die Nenner sind wieder gleich, deswegen müssen wir nur die Zähler addieren:

$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Es sind also noch fünf Siebtel übrig. Wenn du mehrere Brüche addieren willst, die denselben Nenner haben, kannst du genauso vorgehen.

Aber wie müssen wir vorgehen, wenn wir zwei Pizzen haben, die in unterschiedlich viele Stücke geschnitten wurden?

Ungleichnamige Brüche addieren Beispiel 1

Wir stellen uns vor, wir haben zwei Pizzen und von jeder ist noch ein Stück übrig. Allerdings wurde eine Pizza in sechs gleichgroße Stücke geschnitten und die andere in drei. Dann haben wir die Brüche:

$\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{3}$

Der Nenner ist bei beiden Brüchen unterschiedlich. Solche Brüche nennen wir ungleichnamig. Ungleichnamige Brüche können wir nicht einfach so addieren, wir müssen erst eine gemeinsame Unterteilung für beide Brüche finden. Wenn wir uns das Bild anschauen, können wir erkennen, dass wir die gedrittelte Pizza leicht in Sechstel unterteilen können – wir müssen nur alle Stücke halbieren.

Das können wir auch rechnerisch machen. Dazu müssen wir den Drittel-Bruch mit zwei erweitern. Das bedeutet, dass wir Zähler und Nenner mit zwei multiplizieren:

$\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6}$

Jetzt haben wir wieder gleiche Nenner bei beiden Brüchen. Man nennt das auch “die Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen”. Die gleichnamigen Brüche können wir jetzt wieder einfach addieren, indem wir die Zähler addieren:

$\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Im letzten Schritt haben wir noch mit drei gekürzt. Insgesamt haben wir also eine halbe Pizza.

Beispiel 2

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel mit ungleichnamigen Brüchen an. Dieses Mal haben wir eine Pizza in fünf Stücke geschnitten, von denen noch drei übrig sind. Die andere Pizza haben wir halbiert, und es ist noch eine Hälfte übrig. Wenn wir da als Brüche schreiben, erhalten wir:

$\frac{3}{5}$ und $\frac{1}{2}$

Hier müssen wir beide Brüche erweitern, um auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen. Zuerst nehmen wir die erste Pizza, und halbieren alle Teile. Das ist so, als hätten wir die Pizza in zehn Stücke geschnitten. Rechnerisch müssen wir dazu den Bruch mit zwei erweitern.

$\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} $

Bei der zweiten Pizza müssen wir die Hälfte in fünf Teile zerlegen, damit wir auch hier zehntel erhalten. Rechnerisch müssen wir dazu den Bruch mit Fünf erweitern.

$\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 1}{ 5 \cdot 2} = \frac{5}{10}$

Jetzt haben wir wieder zwei gleichnamige Brüche, und können wie gewohnt addieren:

$\frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{11}{10}$

Das Ergebnis ist mehr als eine ganze Pizza! Solle Brüche werden unechte Brüche genannt. Die Brüche $\frac{6}{10}$ und $\frac{5}{10}$ heißen echte Brüche, weil sie echte Anteile eines Ganzen sind. Wenn du mehrere Brüche addieren willst, die unterschiedliche Nenner haben, musst du alle Brüche auf einen Nenner bringen.

Unechte und echte Brüche addieren

Zum Schluss betrachten wir ein Beispiel, bei dem wir einen echten und einen unechten Bruch haben. An der Art und Weise, wie wir vorgehen, ändert das nichts. Dieses Mal haben wir drei Pizzen. Eine, die in drei große Stücke geschnitten wurde. Davon sind noch zwei übrig. Und zwei Pizzen, die in jeweils vier gleich große Stücke geschnitten wurden. Davon sind noch fünf übrig, also etwas mehr als eine ganze Pizza.

Wir wollen ausrechnen, wie viele Stücke insgesamt übrig geblieben ist. Wir müssen also Folgendes ausrechnen:

$\frac{2}{3} + \frac{5}{4} = ?$

Wir brauchen wieder einen gemeinsamen Nenner. Dazu vierteln wir die Drittel und dritteln die Viertel. Rechnerisch heißt das, dass wir die Drittel mit $4$ und die Viertel mit $3$ erweitern.

Dann können wir das Ergebnis wieder wie bei den gleichnamigen Brüchen ausrechnen. Das sieht dann so aus:

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}$

Es sind also $23$ Zwölftel übrig. Das ist auch ein unechter Bruch.

Echte und unechte Brüche addieren

Dieses Video

In diesem Video erfährst du, wie Brüche addiert werden und was echte und unechte Brüche sind. Du findest außerdem zum Thema Brüche addieren Übungen, Aufgaben und ein Arbeitsblatt neben dem Video.

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Transkript Addition von Brüchen

Aufgepasst: Luigi ist mal wieder schwer beladen unterwegs! Es besteht eindeutig Bruchgefahr! Mamma Mia! Die schöne Pizza! Das kann man wohl nicht mehr essen, aber wie viele Stücke sind noch in Ordnung? Um das herauszufinden, beschäftigen wir uns mit der Addition von Brüchen. Diese beiden Pizzen waren in jeweils 6 Teile geschnitten. Von der hier ist nur noch ein Stück in Ordnung und von der anderen noch vier Stücke. Über dem Bruchstrich im sogenannten Zähler steht immer die Anzahl der Stücke. Und unter dem Bruchstrich im Nenner befindet sich die Einteilung, nach welcher der Bruch benannt wird. Bei der Einteilung in jeweils 6 Stücke erhältst du zum Beispiel die Brüche ein Sechstel und vier Sechstel. Brüche mit gleichem Nenner werden gleichnamige Brüche genannt. Möchtest du gleichnamige Brüche, hier die Sechstel, addieren, dann fragst du dich: Wie viele Sechstel habe ich insgesamt? Den Nenner, also die Einteilung, übernimmst du daher unverändert und rechnest nur die Anzahlen, also die Zähler, zusammen. Eins und vier sind fünf, somit haben wir fünf Sechstel. Mach dich bereit für ein weiteres Beispiel! Hier geben die Nenner Siebtel an und zwar bei beiden Brüchen. Also sind sie wieder gleichnamig. Du behältst den Nenner bei, addierst die Zähler und erhältst das Ergebnis fünf Siebtel. Aber wie gehst du vor, wenn du Brüche mit verschiedenen Nennern addieren willst? Sagen wir mal, eine Pizza wurde in sechs Stücke eingeteilt und die andere in drei. Das sind dann ungleichnamige Brüche. Vor dem Addieren musst du erst eine gemeinsame Unterteilung für beide Brüche finden. Schau mal: In der Drittel-Unterteilung stecken auch Sechstek drin – dafür müssen wir jedes Stück halbieren. Die Anzahl der Stücke verdoppelt sich dabei. Super, jetzt hast du aus einem Drittel zwei Sechstel gemacht. Und wie geht das rechnerisch? Dafür kannst du den Bruch mit zwei erweitern – das heißt, den Zähler und den Nenner mit zwei multiplizieren. So erhältst du zwei Sechstel. Du hast nun gleichnamige Brüche, man sagt auch: Du hast die Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht. Gleichnamige Brüche kannst du wie in den vorherigen Beispielen addieren. Du übernimmst den Nenner und zählst die Zähler zusammen. Daraus werden drei Sechstel. Diese drei Sechstel kannst du noch kürzen, indem du aus drei Stücken eines machst. Dem entspricht das Kürzen mit drei und du erhältst das Ergebnis ein Halb. Sieh dir nun mal diese beiden Brüche an: Sie haben ganz unterschiedliche Nenner. Hast du eine Idee, wie du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen kannst? Hier sind Fünftel und hier Halbe. Jetzt werden wir die Fünftel halbieren und zählen sechs Zehntel. Außerdem müssen wir jede Hälfte fünfteln, denn dann haben wir auch diese Pizza in Zehntel zerlegt. Rechnerisch erweiterst du die drei Fünftel' mit dem Nenner des rechten Bruchs – also mit zwei. Und den Bruch ein Halb erweiterst du mit dem ursprünglichen Nenner des linken Bruchs – mit fünf. So erhältst du sechs Zehntel und fünf Zehntel. Nun sind beide Brüche gleichnamig und du kannst sie wie gewohnt addieren. Also: Nenner übernehmen und Zähler addieren – das sind elf Zehntel. Fällt dir beim Ergebnis etwas auf? Elf Zehntel sind mehr als ein Ganzes! Solche Brüche werden unecht genannt. Die Brüche sechs Zehntel und fünf Zehntel sind dagegen echt. Denn sie sind echte Anteile eines Ganzen. Zum Schluss wagen wir uns noch an ein schwieriges Beispiel. Hier haben wir zwei Drittel, also einen echten Bruch und fünf Viertel, einen unechten Bruch. Weil die Brüche ungleichnamig sind, benötigen wir vor dem Addieren wieder einen gemeinsamen Nenner. Den erhalten wir über eine gemeinsame Einteilung. Lass uns die Drittel dafür jeweils vierteln und die Viertel jeweils dritteln. Rechnerisch erreichen wir das wieder, indem wir beide Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitern. Den Bruch erweitern wir also mit vier und den anderen mit drei. So erhalten wir acht Zwölftel und fünfzehn Zwölftel. Jetzt haben wir einen gemeinsamen Hauptnenner, also gleichnamige Brüche. Beim Addieren übernehmen wir den Nenner wie gewohnt und addieren nur die Zähler. So erhalten wir acht und 15 Zwölftel, also 23 Zwölftel. Das ist eindeutig ein unechter Bruch. Fassen wir zusammen. Beim Addieren von ungleichnamigen Brüchen musst du zuerst den Hauptnenner bestimmen, indem du die Brüche sinnvoll erweiterst. Die erhaltenen gleichnamigen Brüche addierst du, indem du nur die Zähler addierst und den Nenner übernimmst. Und Luigi? Schade um die leckere Pizza. Wirklich schade! Aber un momento, da gab es doch mal diese Zehn-Sekunden-Regel. Oh oh – jetzt besteht Bruch-, ...äääh... BRECH-Gefahr...!

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41 Kommentare

41 Kommentare
  1. Ich fand es sehr verständlich , den die klare Darstellung war sehr hilfreich.

    Von Sarahdendrijver, vor 4 Tagen
  2. Ich fand es sehr gut, weil ich es vorher nicht so ganz verstanden habe und es immer gut ist etwas Spaß beim lernen zu haben. ( :

    Von Stefanie Liebing, vor etwa einem Monat
  3. es hat mir geholfen und es ist lustig

    Von Sven Hamann, vor etwa einem Monat
  4. Es war gut und hat mir geholfen

    Von Schulz V, vor etwa einem Monat
  5. Moin servus moin

    Von Itslearning Nutzer 2535 405618, vor 3 Monaten
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Addition von Brüchen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Addition von Brüchen kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Sätze zur Addition von Brüchen sinnvoll.

    Tipps

    Bruchzahlen schreiben wir für gewöhnlich in der „Zähler ($Z$)-Bruchstrich-Nenner ($N$)-Schreibweise“.

    Addieren wir Brüche mit gleichem Nenner, so addieren wir die Zähler und übernehmen den gemeinsamen Nenner. Betrachte folgendes Beispiel:

    $\dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{6}$.

    Brüche mit unterschiedlichen Nennern müssen vor der Addition erst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Betrachte folgendes Beispiel:

    $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3\cdot 2}{5\cdot 2} + \dfrac{1\cdot 5}{2\cdot 5} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{11}{10}$.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Im alltäglichen Leben wird das Zusammenzählen, also die Addition von Brüchen, häufig benutzt. Auch Luigi der Pizzabäcker muss wissen, wie man Brüche richtig addiert. Betrachten wir einen Bruch am Beispiel einer Pizza und teilen die Pizza zuerst in gleich große Stücke. Diese Einteilung, wir bezeichnen sie in einem Bruch mit dem Wort Nenner, befindet sich im Bruch unter dem Bruchstrich. Betrachten wir nun einen Anteil der Pizza, also eine bestimmte Anzahl von Pizzastücken. Diese Anzahl entspricht in einem Bruch dem Zähler und er steht im Bruch über dem Bruchstrich.“

    • Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen und einem Bruchstrich. Über dem Bruchstrich steht der Zähler, darunter der Nenner.
    „Luigi hat nun zwei Pizzen, die jeweils dieselbe Einteilung, also dieselbe Anzahl an Stücken haben. Als Brüche betrachtet, haben diese den gleichen Nenner, wir nennen diese Brüche daher gleichnamig. Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen addieren wir nur die Zähler, die Einteilung bleibt unverändert.“

    • Beim Zusammenzählen von Brüchen mit gleichem Nenner addieren wir nur die Zähler.
    „Luigi backt erneut zwei Pizzen. Eine Pizza schneidet er in $10$ Stücke, die andere in $8$ Stücke. Die Pizzen haben also unterschiedliche Einteilungen. Das heißt, wir betrachten nun zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Wir nennen diese Brüche dann ungleichnamig. Wollen wir ungleichnamige Brüche addieren, müssen wir sie zuerst durch Erweitern oder Kürzen auf einen gleichen Nenner bringen. Anschließend werden die Zähler addiert.“

    • Brüche mit unterschiedlichen Nennern, also ungleichnamige Brüche, müssen wir zuerst auf einen gleichen Hauptnenner bringen, bevor wir diese addieren können.
    „Einer der Gäste hat großen Hunger und isst daher mehr als eine Pizza. Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner, nennen wir unecht. Der andere Gast hat keinen großen Appetit und isst seine Pizza nicht auf. Brüche, die kleiner als ein Ganzes sind, heißen echte Brüche. “

    • Echte Brüche sind immer kleiner oder gleich $1$, unechte Brüche sind echt größer als $1$.
  • Berechne die Summe der Brüche.

    Tipps

    Berechnest du die Anzahl der Salamipizzastücke, so musst du zwei gleichnamige Brüche addieren.

    Du erweiterst einen Bruch, indem du Zähler und Nenner jeweils mit demselben Faktor multiplizierst.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\dfrac 13 + \dfrac 25 =\dfrac{1\cdot 5}{3\cdot 5} + \dfrac{2\cdot 3}{5\cdot 3} = \dfrac 5{15} + \dfrac 6{15} = \dfrac {11}{15}$.

    Lösung

    Wir berechnen nun gemeinsam die Anzahl übrig gebliebener Pizzastücke.

    Salamipizza

    Bevor Luigi die Pizzen herunterfielen, hatte er $2$ Salamipizzen mit je $6$ Stücken. Leider sind nur $1$ Stück der einen Pizza und $4$ Stücke der anderen Pizza unversehrt geblieben. Das heißt, von der ersten Pizza sind noch $\frac{1}{6}$ übrig, von der zweiten noch $\frac{4}{6}$.

    Luigi kann jetzt berechnen, wie viele Stücke der Salamipizza noch für den Verkauf vorhanden sind:

    • $\frac{1}{6} + \frac{4}{6}$.
    Nun müssen wir die gleichnamigen Brüche addieren, indem wir die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:
    • $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$.
    Spinatpizza

    Hier hat er von der einen Spinatpizza noch genau die Hälfte. Von der anderen sind leider nur $3$ von insgesamt $5$ Stücken übrig. Hier muss Luigi also folgende ungleichnamige Brüche addieren:

    • $\frac{1}{2} + \frac{3}{5}$.
    Wir erweitern nun $\frac{1}{2}$ mit $5$ und $\frac{3}{5}$ mit $2$, um die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $10$ zu bringen. Wir erhalten dann:

    • $\frac 12 + \frac 35 =\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5} + \frac{3\cdot 2}{5\cdot 2} = \frac 5{10} + \frac 6{10} = \frac {11}{10}$.
  • Prüfe, ob richtig gerechnet wird.

    Tipps

    Wenn du einen gemeinsamen Nenner suchst, so betrachtest du die Vielfachenmengen der jeweiligen Nenner und suchst ein gemeinsames Vielfaches. Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\dfrac 14+\dfrac 17$.

    Die Vielfachenmengen der Nenner sind:

    • $V_4=\{ 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; \dots \}$ und
    • $V_7=\{ 7; 14; 21; 28; \dots \}$.
    Also ist ein gemeinsames Vielfaches die $28$. Es gibt aber auch noch unendlich viele andere gemeinsame Vielfache, die als ein gemeinsamer Nenner in Frage kommen.

    Ein gemeinsamer Nenner der Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{1}{3}$ ist $42$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind richtig:

    „Ein gemeinsamer Nenner der Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{1}{3}$ ist $21$.“

    • Der schnellste Weg, einen gemeinsamen Nenner zu finden, funktioniert über die Multiplikation der beiden Nenner. Da ${7}\cdot{3} = 21$ gilt, kann dieser als gemeinsamer Nenner bestimmt werden. Nun muss der Bruch $\frac{4}{7}$ nur noch mit $3$ erweitert werden und der Bruch $\frac{1}{3}$ mit $7$. Anschließend können beide Brüche miteinander addiert werden:
    • $\frac{4}{7} + \frac{1}{3} =\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21} + \frac{7}{21} = \frac{28}{21}$. Das Ergebnis ist ein unechter Bruch.
    „$\frac{1}{5} + \frac{8}{15} = \frac{3}{15} + \frac{8}{15} = \frac{11}{15}$“

    • Dieses Ergebnis erhältst du, indem du $\frac{1}{5}$ mit $3$ erweiterst. Dann haben beide Brüche bereits einen gleichen Nenner und du kannst die beiden gleichnamigen Brüche addieren.
    „$\frac{1}{3} + \frac{8}{7} = \frac{14}{42} + \frac{48}{42} = \frac{62}{42}$.“

    • Dieses Ergebnis erhältst du, indem du zuerst $\frac{1}{3}$ mit $14$ und $\frac{8}{7}$ mit $6$ erweiterst und dann die gleichnamigen Brüche addierst. Anschließend könntest du den Bruch hier noch mit $2$ kürzen, so dass dein Ergebnis $\frac{31}{21}$ wäre. Du könntest dich bei der Rechnung auch gleich für den gemeinsamen Nenner $21$ entscheiden. Dann würde die Rechnung wie folgt aussehen und du müsstest nicht mehr kürzen:
    • $\frac{1}{3} + \frac{8}{7} = \frac{7}{21} + \frac{24}{21} = \frac{31}{21}$.

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Da die Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{8}{7}$ gleichnamig sind, kannst du wie folgt rechnen: $\frac{4}{7} + \frac{8}{7} = \frac{14}{7}$.“

    • Hier werden die Zähler falsch addiert, denn $4 + 8 = 12$. Demnach ergibt sich $\frac{4}{7} + \frac{8}{7} = \frac{12}{7}$.
    „Durch Erweiterung der folgenden Brüche erhältst du $\frac{4}{7} = \frac{4}{21}$ und $\frac{1}{3} = \frac{7}{21}$.“

    • Hier ist die Erweiterung des Bruchs $\frac{4}{7}$ falsch. Erweiterst du $\frac{4}{7}$ mit $3$, so erhältst du $\frac{12}{21}$. Der zweite Bruch wurde hier richtig mit $7$ erweitert. Nach der korrekten Erweiterung der beiden Brüche kannst du nun ganz leicht diese addieren, indem du nur noch die Zähler addierst:
    $\frac{12}{21} + \frac{7}{21} = \frac{19}{21}$.

    „Durch Erweitern mit $6$ erhältst du $\frac{8}{7} = \frac{45}{42}$.“

    • Du erhältst den erweiterten Bruch $\frac{48}{42}$.
  • Ordne den Rechnungen die richtigen Ergebnisse zu.

    Tipps

    Einen gemeinsamen Nenner findet man immer indem man die vorherigen Nenner multipliziert. Beispielsweise ist ein gemeinsamer Nenner von $2$ und $3$ die $6$.

    Ein gemeinsamer Nenner von $2$, $3$ und $8$ ist beispielsweise $24$.

    Lösung

    So kannst du die Aufgaben lösen:

    • Die Brüche $\dfrac{21}{7}$ und $\dfrac{4}{5}$ sind ungleichnamig, daher müssen wir diese zunächst so erweitern, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Anschließend können wir die Zähler einfach addieren.
    $\begin{array}{lll} \\ \dfrac{21}{7} + \dfrac{4}{5} &=& \dfrac{21 \cdot 5}{7 \cdot 5} + \dfrac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} \\ & =& \dfrac{105}{35} + \dfrac{28}{35} \\ &=& \dfrac{133}{35} \\ \end{array} $

    • Die Brüche $\dfrac{9}{8}, \dfrac{1}{2}$ und $\dfrac{2}{3}$ sind ebenfalls ungleichnamig. Ein gemeinsamer Nenner ist beispielsweise $24$.
    $\begin{array}{lll}\\ \dfrac{9}{8} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} &=& \dfrac{9 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \dfrac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} + \dfrac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} \\ &=& \dfrac{27}{24} + \dfrac{12}{24} + \dfrac{16}{24} \\ &=& \dfrac{55}{24}\\ \end{array} $

    • Ebenso sind die Brüche $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{7}{8}$ ungleichnamig. Wir erweitern $\dfrac{3}{4}$ mit $2$, damit die Brüche gleichnamig sind.
    $\begin{array}{lll}\\ \dfrac{3}{4} +\dfrac{7}{8} &=& \dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \dfrac{7}{8} \\ &=& \dfrac{6}{8} + \dfrac{7}{8}\\ &=& \dfrac{13}{8}\\ \end{array}$

    • Die Brüche $\dfrac{4}{3}$ und $\dfrac{9}{2}$ sind nicht gleichnamig. Daher erweitern wir $\dfrac{4}{3}$ mit $2$ und $\dfrac{9}{2}$ mit $3$. Anschließend können wir die daraus resultierenden gleichnamigen Brüche ganz einfach addieren.
    $\begin{array}{lll}\\ \dfrac{4}{3} +\dfrac{9}{2} &=& \dfrac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \dfrac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} \\ &=& \dfrac{8}{6} + \dfrac{27}{6}\\ &=& \dfrac{35}{6}\\ \end{array}$

  • Gib die Summe an.

    Tipps

    Möchtest du beispielsweise $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ addieren, so musst du zuerst einen gemeinsamen Nenner finden, sodass du die Brüche zu gleichnamigen Brüchen umformen kannst.

    Anschließend erweiterst du $\frac{1}{2}$ mit $3$ und $\frac{1}{3}$ mit $2$.

    Dann erhältst du die gleichnamigen Brüche $\frac{3}{6}$ und $\frac{2}{6}$. Diese kannst du nun addieren, indem du die Zähler addierst und den Nenner beibehältst.

    Lösung

    Möchtest du ungleichnamige Brüche addieren, so musst du diese zunächst einmal gleichnamig machen. Hierzu erweiterst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Also gehen wir bei der Addition ungleichnamiger Brüche wie folgt vor:

    1. Willst du ungleichnamige Brüche addieren, so musst du zunächst einen gemeinsamen Nenner bestimmen.
    2. Ein gemeinsamer Nenner von $\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{4}$ ist beispielsweise $12$.
    3. Du erhältst den gemeinsamen Nenner $12$, indem du $\frac{2}{3}$ mit $4$ und $\frac{5}{4}$ mit $3$ erweiterst.
    4. Durch die Erweiterung werden aus den ungleichnamigen Brüchen die gleichnamigen Brüche $\frac{8}{12}$ und $\frac{15}{12}$.
    5. Nun kannst du die gleichnamigen Brüche einfach miteinander addieren, indem du nur noch die Zähler addierst: $\frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}$.
  • Ordne den Brüchen die passenden Ergebnisse zu.

    Tipps

    Berechne zunächst die Ergebnisse.

    Wollen wir beispielsweise $\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$ berechnen, so müssen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, hier z.B. $6$.

    $\begin{array}{lll} \\ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} &=& \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} \\ &=& \frac{3}{6} + \frac{4}{6} \\ &=& \frac{7}{6} \\ \end{array}$

    Lösung

    Folgende Brüche entsprechen dem echten Bruch $\dfrac{9}{16}$:

    • $\dfrac{18}{32} = \dfrac{18 ~:~ 2}{32 ~:~ 2} = \dfrac{9}{16}$
    Hier wurde mit $2$ gekürzt.
    • $\dfrac{5}{16} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{16} + \dfrac{2 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \dfrac{5}{16} + \dfrac{4}{16} = \dfrac{9}{16}$
    Hier haben wir den Bruch $\dfrac{2}{8}$ zunächst mit $2$ erweitert.
    • $\dfrac{9+8+10+2+7}{30+34} = \dfrac{36}{64}=\dfrac{36~:~4}{64~:~4} = \dfrac{9}{16}$
    Zunächst werden die Summen im Zähler und Nenner berechnet, anschließend kann mit $4$ gekürzt werden.

    Folgende Brüche entsprechen dem unechten Bruch $\dfrac{35}{10}$:

    • $3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = \dfrac{7 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \dfrac{35}{10}$
    Hier können wir als Erstes die $3$ als Bruch schreiben, anschließend erweitern und dann mit $\dfrac{1}{2}$ addieren. Durch Erweiterung des Ergebnisses mit $5$ kommen wir auf $\dfrac{35}{10}$.
    • $\dfrac{20+15}{{2}\cdot{5}} = \dfrac{35}{10}$
    Zähler und Nenner berechnen wir jeweils einzeln.
    • $\dfrac{9}{10} + \dfrac{13}{5} = \dfrac{9}{10} + \dfrac{13 \cdot 2}{5 \cdot 2} =\dfrac{9}{10} + \dfrac{26}{10} = \dfrac{35}{10} $
    Zuerst muss der Bruch $\dfrac{13}{5}$ mit $2$ erweitert werden und anschließend können die nun gleichnamigen Brüche einfach addiert werden.

    Folgende Brüche entsprechen $1$:

    • $\dfrac{79}{79} = \dfrac{79~: ~79}{79~:~79} = \dfrac{1}{1}=1$
    Hier wurde zuerst mit $79$ gekürzt. Dies ist jedoch nicht zwangsläufig notwendig, denn eine Zahl, geteilt durch sich selbst, ergibt immer $1$. Daraus folgt, dass, wenn ein Bruch im Nenner und im Zähler jeweils denselben Wert hat, er $1$ entspricht.

    Beispiele: $\dfrac{2}{2} = 1$, $\dfrac{50}{50} = 1$, $\dfrac{100000}{100000} = 1$.

    • $\dfrac{7}{8} + \dfrac{5}{40} = \dfrac{7}{8} +\dfrac{5~:~5}{40~:~5} = \dfrac{7}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$
    • $\dfrac{4+3+9+12+37}{44+6+15} = \dfrac{65}{65} = 1$
    • $\dfrac{3+2}{9+2} + \dfrac{{3}\cdot{2}}{5+6} = \dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11} = \dfrac{11}{11} = 1$

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