30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo)

Bewertung

Ø 4.1 / 181 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo)

Ein Spiegel ist ein Alltagsgegenstand, den du bestimmt mehrmals täglich nutzt. Wie oft eigentlich pro Tag? Ok, das ist hier gar nicht gefragt! In der Geometrie spielen Spiegel ebenfalls eine Rolle. Du hast ja bereits die Achsenspiegelung kennengelernt. Demnach sollten dir die Begriffe „achsensymmetrisch“, „Achsensymmetrie“ und „Symmetrieachse“ etwas sagen. Falls nicht, dann schau dir doch noch einmal ein Einführungsvideo zum Thema Achsenspiegelung an. In diesem Video werde ich dir nun erklären, wie du Figuren im Koordinatensystem an einer Symmetrieachse spiegelst. Dazu zeichnen wir vorgegebene Punkte in ein Koordinatensystem, verbinden sie zu einer Figur und spiegeln sie an einer vorgegebenen Symmetrieachse.

Transkript Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo)

Hallo. Mit Spiegeln kann man interessante Sachen machen. Man kann zum Beispiel rückwärts vor einer Kamera stehen und trotzdem von vorne gesehen werden. Das Bild, was Du da noch gesehen hast, war übrigens das in den Monitoren. Man kann sich einen Spiegel auch so vors Gesicht halten, so zum Beispiel, da sieht man manchmal etwas komisch aus. Ja und es gibt noch viele weitere interessante Sachen, die man mit Spiegeln machen kann. Spiegel spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Und um diese ganzen interessanten Sachen verstehen zu können, müssen wir uns zunächst einmal überlegen, was spiegeln überhaupt ist. Und dazu habe ich hier einmal ein Koordinatensystem vorbereitet und ein paar Punkte, die können wir gleich in das Koordinatensystem einzeichnen und uns dann ansehen, wie die entstandene Figur gespiegelt wird. Fangen wir mit dem Punkt A an. Der Punkt A hat die Koordinaten (3I2) und um den ins Koordinatensystem einzuzeichnen, gehen wir vom Nullpunkt aus drei Einheiten nach rechts, das ist hier und die zweite Koordinate ist die 2. Das bedeutet, wir müssen von hier aus zwei Einheiten nach oben und das ist hier. Punkte markiert man meistens mit so einem Kreuz und dann ist hier der Punkt A. Der Punkt B hat die Koordinaten (5I2). Um ihn einzuzeichnen, müssen wir wieder vom Nullpunkt aus fünf Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Das ist hier, wieder ein kleines Kreuz machen und den Punkt B einzeichnen. Der Punkt C hat die Koordinaten (10I8). Das heißt zehn Einheiten nach rechts, acht Einheiten nach oben, das ist hier - das nächste Kreuz der Punkt C. Und der Punkt D hat die Koordinaten (8I8). Also gehen wir acht Einheiten nach rechts, acht Einheiten nach oben und das ist hier. Da ist der Punkt D. Ja und jetzt müssen wir noch die Punkte verbinden, damit die Figur entsteht. Wir gehen von A zu B, von B zu C, so, und von C zu D und von D wieder zurück zu A. Und jetzt kommt wieder der Spiegel zum Einsatz. Man kann den Spiegel hier zum Beispiel hinhalten. Dann siehst Du eine weitere Figur. Das ist die Spiegelfigur. Oder man kann den Spiegel auch zum Beispiel hier ansetzen, dann wird nur ein Teil der Figur gespiegelt. Hier ist dann die Spiegelachse. Und wenn man den Spiegel umdreht, dann wird auch der andere Teil gespiegelt. Das kannst Du jetzt jetzt nicht sehen, weil ich so komisch davorstehe. Aber das wirst Du gleich sehen, wenn wir uns nämlich gleich angucken, wie man diese Figur auch ohne Zuhilfenahme eines Spiegels im Koordinatensystem spiegeln kann. Dazu brauchen wir erst einmal eine Spiegelachse. Die kann man natürlich mit einem Lineal einzeichnen und ich glaube so ungefähr war der Spiegel gerade. Da ist die Spiegelachse. Und das Spiegeln machen wir jetzt mit einem Geodreieck. Dazu habe ich mir einmal ein etwas größeres hier gebaut. Du kannst das natürlich mit deinem Geodreieck in Deinem Heft bewerkstelligen. Um den Punkt A zu spiegeln, setzen wir das Geodreieck hier mit dieser Mitte hier auf diese Spiegelachse. Und jetzt sehen wir hier, dass der Punkt A eins, zwei, drei, vier Einheiten von dieser Mitte entfernt ist. Dann ist der Spiegelpunkt ebenfalls vier Einheiten von der Mitte entfernt, eins, zwei, drei, vier, das ist hier. Also kommt hier der gespiegelte Punkt A hin. Kleines Kreuz und der Spiegelpunkt heißt meistens A'. Den Punkt B können wir ebenso spiegeln und zwar sehen wir hier, dass der Punkt B zwei Einheiten von der Mitte entfernt ist. Ja, wenn man das Geodreieck hier so hinlegt, dass die Spiegelachse auf der Mitte des Geodreiecks ist, dann ist der Punkt B zwei Einheiten auch auf der anderen Seite von der Mitte entfernt. Also ist hier der Punkt und der heißt dann B'. Dann können wir den Punkt C spiegeln, allerdings jetzt zur anderen Seite hin. Das Geodreieck muss wieder hier mit der Mitte auf der Spiegelachse liegen. Der Punkt C ist fast eins, zwei, drei, vier Einheiten entfernt und das müssen wir jetzt auf der anderen Seite auch einzeichnen, eins, zwei, drei, vier, das ist ungefähr hier. Nicht ganz vier Einheiten, also dort ist der Punkt C'. Und der Punkt D' ergibt sich genau so. Wieder das Geodreieck mit der Mitte auf die Spiegelachse, das sind fast zwei Einheiten. Also müssen wir fast zwei Einheiten auf die andere Seite. Dann ist hier der Punkt D'. Und jetzt können wir noch die Punkte verbinden, nämlich: Wir gehen von A' zu B', von B' zu C', von C' zu D' und da habe ich das Kreuz vergessen und von D' wieder zurück zu A'. So und dann siehst Du hier in grün diese gespiegelte Figur und jetzt weißt Du auch, was ich hier auf der anderen Seite im Spiegel gesehen habe. Viel Spaß damit. Tschüss.

73 Kommentare

73 Kommentare
  1. Hallo Timo E.,

    danke für den Hinweis. Wir werden uns schnellstmöglich darum kümmern.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo , fehlt dort nicht die Y Achse und die X Achse?

    Von Timo E., vor etwa einem Jahr
  3. Danke für das gute Video! Hat mir sehr geholfen! 😁✌️

    Von Melcan27, vor etwa einem Jahr
  4. war gut erklärt mit etwas langsamen schritten fand ich gut gibt ne tolle Bewertung

    Von Natascha B., vor etwa einem Jahr
  5. Toll erklärt !!!!!!!

    Von Silke Kirberg, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Koordinaten der eingezeichneten Punkte an.

    Tipps

    Im Koordinatensystem wird ein Punkt mit einem Großbuchstaben und zwei Zahlen beschrieben. Der erste Wert gibt dabei die Einheit auf der $x$-Achse an.

    Notiere dir anhand der Zeichnung die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ und vergleiche anschließend deine Werte mit den gegebenen.

    Lösung

    In der Geometrie wird die Lage von Punkten oder Geraden mithilfe eines Koordinatensystems dargestellt. Die waagerechte Achse nennt man $x$-Achse, senkrecht dazu steht die $y$-Achse. Der Schnittpunkt beider Achsen stellt den Null-Punkt, welcher auch Ursprung genannt wird, dar.

    Um einen Punkt im Koordinatensystem zu beschreiben, wählt man einen Großbuchstaben als Namen und zwei Zahlen als Koordinaten, beispielsweise $A(3|7)$. Die erste Zahl gibt den Wert auf der $x$-Achse an. Man nennt diesen Wert $x$-Koordinate. Die zweite Zahl nennt man $y$-Koordinate, da dieser den Wert auf der $y$-Achse angibt. Demnach erhält man für die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ folgende Koordinaten:

    • $A(3|2)$, $B(5|2)$, $C(10|8)$ und $D(8|8)$

  • Beschreibe die Schritte bei der Durchführung einer Achsenspiegelung.

    Tipps

    Schau dir die Schritte der Animation oben genau an. Was kannst du erkennen?

    Die Reihenfolge der $x$- und $y$-Koordinaten eines Punktes wie bei $A(3|2)$ ist immer wie im Alphabet angeordnet. Welche Koordinate kommt als erstes?

    Lösung

    Du gehst bei der Achsenspiegelung wie folgt vor:

    1. In das Koordinatensystem werden die einzelnen Punkte der Figur eingetragen. Ein Punkt im Koordinatensystem wird mit einem Großbuchstaben als Namen des Punktes und zwei Koordinaten zur Bestimmung der Lage angegeben. Beispielsweise bei $A(3|2)$ gibt der erste Wert (hier $3$) die Einheit auf der $x$-Achse an und wird daher auch $x$-Koordinate genannt. Der zweite Wert (hier $2$) wird $y$-Koordinate genannt und gibt demnach die Einheit auf der $y$-Achse an.

    2. Nachdem alle Punkte im Koordinatensystem eingetragen wurden, werden diese miteinander verbunden. So entsteht ein Viereck, welches wir nun spiegeln möchten.

    3. Zum Spiegeln zeichnet man eine Spiegelachse mit Lineal oder Geodreieck ein.

    4. Ein Geodreieck eignet sich am besten für die Spiegelungen im Koordinatensystem. Dafür legt man das Geodreieck mit der Mitte auf die Spiegelachse und der langen Seite an den zu spiegelnden Punkt.

    5. Der Abstand des zu spiegelnden Punktes wird auf der entgegengesetzten Seite der Spiegelachse abgetragen. Dieser gespiegelte Punkt erhält denselben Namen wie der ursprüngliche Punkt, nur diesmal mit einem Strich. Der gespiegelte Punkt von $A$ heißt dann $A'$.

    6. Alle weiteren Punkte werden dann nacheinander mit Hilfe des Geodreiecks an der Spiegelachse gespiegelt und miteinander verbunden. Fertig ist die Achsenspiegelung.

  • Entscheide, welches Spiegelbild zu den Angaben des Originals passt, wenn die Spiegelachse senkrecht durch den Punkt $B$ geht.

    Tipps

    Achte auf die $x$-Koordinaten.

    Mach dir eine kleine Skizze und vergleiche mit den Bildern.

    Lösung

    Die Achsenspiegelung ist festgelegt durch die Spiegelachse.

    Das Dreieck $A'(5|1)$, $B'(3|2)$, $C'(4|5)$ nennt man auch das Bild von $ABC$. Dabei ist $A'$ der Bildpunkt von $A$, $B'$ der Bildpunkt von $B$ und $C'$ der Bildpunkt von $C$.

    Mit einem Geodreieck erhält man zu einem Punkt $P$ den Punkt $P'$. Mit der Mittellinie wird das Geodreieck auf die Spiegelachse aufgelegt, so dass $P$ auf der Zentimeterskala liegt. Der Bildpunkt $P'$ wird im gleichen Abstand zur Spiegelachse wie der Punkt $P$ auf der anderen Seite gesetzt.

    Wenn der zu spiegelnde Punkt jedoch auf der Spiegelachse liegt, dann ist er sein eigener Bildpunkt. In der Aufgabe trifft das auf Punkt $B(3|3)$ zu. Der Spiegelpunkt $B'$ hat auch die Koordinaten $B'(3|3)$.

  • Ermittle die Koordinaten der Punkte und ihrer Bildpunkte bei einer Spiegelung an der senkrechten Achse.

    Tipps

    Die erste Zahl in der Klammer gibt die $x$-Koordinate an.

    Nimm zum Spiegeln die Kästchen zur Hilfe.

    Die Spiegelpunkte sind von der Spiegelachse genauso weit entfernt wie die Ausgangspunkte.

    Lösung

    Möchte man in ein Koordinatensystem Punkte eintragen, so muss man sich die Angaben zu den einzelnen Punkten genau anschauen.

    Ein Punkt im Koordinatensystem wird mit einem Großbuchstaben und zwei Zahlen angegeben, und zwar so: $B (6|3)$. Die erste Zahl, also hier die $6$, gibt den Wert auf der $x$-Achse an. Die zweite Zahl, hier $3$, gibt den Wert auf der $y$-Achse an. Der Schnittpunkt beider Werte ist der Punkt im Koordinatensystem.

    Die Spiegelpunkte werden so ähnlich angegeben, der Großbuchstabe wird jedoch mit einem Strich ergänzt, so dass der Punkt folgendermaßen angegeben wird: $B' (2|3)$.

    Ein Tipp: Du kannst dir die Koordinaten in der Klammer am besten merken, wenn du dir überlegst, welcher Buchstabe im Alphabet zuerst steht. Denn $x$ kommt vor $y$, somit steht die $x$-Koordinate immer zuerst in der Klammer $(x|y)$.

  • Bestimme, welche Aussagen zur Achsenspiegelung wahr sind.

    Tipps

    Die Reihenfolge der $x$- und $y$-Koordinaten eines Punktes ist immer wie im Alphabet angeordnet. Welche Koordinate kommt also als Erstes?

    Im Gegensatz zum Lineal hat ein Geodreieck eine Linie in der Mitte. Diese dient dazu, senkrechte Linien zu zeichnen.

    Lösung

    Wir unterscheiden zwei Arten von Spiegelungen. Zum einen die Spiegelung an einer Spiegelachse, welche wir Achsenspiegelung nennen, und zum anderen die Spiegelung an einem Punkt (Zentrum), welche wir Punktspiegelung nennen.

    Für die Achsenspiegelung eignet sich am besten ein Geodreieck, da dieses eine eingezeichnete Linie in der Mitte hat, welche wir auf die Spiegelachse legen, sodass die lange Seite des Geodreiecks am zu spiegelnden Punkt anliegt. Wir tragen den Abstand des Punktes zur Spiegelachse auf der entgegengesetzten Seite ab und erhalten so den gespiegelten Punkt. Der Name des gespiegelten Punktes erhält zusätzlich einen Strich, sodass beispielsweise aus dem ursprünglichen Namen $P$ ein $P'$ wird.

  • Gib die Koordinaten der Bildfigur $A''B''C''D''$ an.

    Tipps

    Mache dir eine Skizze und führe zunächst die erste Spiegelung durch, dann die zweite.

    Der Bildpunkt $A'$ hat die Koordinaten $(6|0)$.

    Der Bildpunkt $B'$ hat die Koordinaten $(4|0)$.

    Der Bildpunkt $C'$ hat die gleichen Koordinaten wie $C$.

    Der Bildpunkt $D'$ hat die Koordinaten $(5|2)$.

    Lösung

    Wenn du die Figur $ABCD$ mit $A(0|0)$, $B(2|0)$, $C(3|3)$ und $D(1|2)$ zunächst an der Spiegelachse $p$ spiegelt, erhältst du die Bildfigur $A'B'C'D'$ mit folgenden Koordinaten:

    • $A' (6|0)$, $B' (4|0)$, $C' (3|3)$ und $D' (5|2)$.
    Spiegelst du $A'B'C'D'$ dann an der Spiegelachse $m$, erhältst du die Bildfigur $A''B''C''D''$ mit folgenden Koordinaten:
    • $A'' (6|4)$, $B'' (4|4)$, $C'' (3|1)$ und $D'' (5|2)$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.840

Lernvideos

44.349

Übungen

38.981

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden