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Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo) 07:38 min

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Textversion des Videos

Transkript Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo)

Hallo. Mit Spiegeln kann man interessante Sachen machen. Man kann zum Beispiel rückwärts vor einer Kamera stehen und trotzdem von vorne gesehen werden. Das Bild, was Du da noch gesehen hast, war übrigens das in den Monitoren. Man kann sich einen Spiegel auch so vors Gesicht halten, so zum Beispiel, da sieht man manchmal etwas komisch aus. Ja und es gibt noch viele weitere interessante Sachen, die man mit Spiegeln machen kann. Spiegel spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Und um diese ganzen interessanten Sachen verstehen zu können, müssen wir uns zunächst einmal überlegen, was spiegeln überhaupt ist. Und dazu habe ich hier einmal ein Koordinatensystem vorbereitet und ein paar Punkte, die können wir gleich in das Koordinatensystem einzeichnen und uns dann ansehen, wie die entstandene Figur gespiegelt wird. Fangen wir mit dem Punkt A an. Der Punkt A hat die Koordinaten (3I2) und um den ins Koordinatensystem einzuzeichnen, gehen wir vom Nullpunkt aus drei Einheiten nach rechts, das ist hier und die zweite Koordinate ist die 2. Das bedeutet, wir müssen von hier aus zwei Einheiten nach oben und das ist hier. Punkte markiert man meistens mit so einem Kreuz und dann ist hier der Punkt A. Der Punkt B hat die Koordinaten (5I2). Um ihn einzuzeichnen, müssen wir wieder vom Nullpunkt aus fünf Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Das ist hier, wieder ein kleines Kreuz machen und den Punkt B einzeichnen. Der Punkt C hat die Koordinaten (10I8). Das heißt zehn Einheiten nach rechts, acht Einheiten nach oben, das ist hier - das nächste Kreuz der Punkt C. Und der Punkt D hat die Koordinaten (8I8). Also gehen wir acht Einheiten nach rechts, acht Einheiten nach oben und das ist hier. Da ist der Punkt D. Ja und jetzt müssen wir noch die Punkte verbinden, damit die Figur entsteht. Wir gehen von A zu B, von B zu C, so, und von C zu D und von D wieder zurück zu A. Und jetzt kommt wieder der Spiegel zum Einsatz. Man kann den Spiegel hier zum Beispiel hinhalten. Dann siehst Du eine weitere Figur. Das ist die Spiegelfigur. Oder man kann den Spiegel auch zum Beispiel hier ansetzen, dann wird nur ein Teil der Figur gespiegelt. Hier ist dann die Spiegelachse. Und wenn man den Spiegel umdreht, dann wird auch der andere Teil gespiegelt. Das kannst Du jetzt jetzt nicht sehen, weil ich so komisch davorstehe. Aber das wirst Du gleich sehen, wenn wir uns nämlich gleich angucken, wie man diese Figur auch ohne Zuhilfenahme eines Spiegels im Koordinatensystem spiegeln kann. Dazu brauchen wir erst einmal eine Spiegelachse. Die kann man natürlich mit einem Lineal einzeichnen und ich glaube so ungefähr war der Spiegel gerade. Da ist die Spiegelachse. Und das Spiegeln machen wir jetzt mit einem Geodreieck. Dazu habe ich mir einmal ein etwas größeres hier gebaut. Du kannst das natürlich mit deinem Geodreieck in Deinem Heft bewerkstelligen. Um den Punkt A zu spiegeln, setzen wir das Geodreieck hier mit dieser Mitte hier auf diese Spiegelachse. Und jetzt sehen wir hier, dass der Punkt A eins, zwei, drei, vier Einheiten von dieser Mitte entfernt ist. Dann ist der Spiegelpunkt ebenfalls vier Einheiten von der Mitte entfernt, eins, zwei, drei, vier, das ist hier. Also kommt hier der gespiegelte Punkt A hin. Kleines Kreuz und der Spiegelpunkt heißt meistens A'. Den Punkt B können wir ebenso spiegeln und zwar sehen wir hier, dass der Punkt B zwei Einheiten von der Mitte entfernt ist. Ja, wenn man das Geodreieck hier so hinlegt, dass die Spiegelachse auf der Mitte des Geodreiecks ist, dann ist der Punkt B zwei Einheiten auch auf der anderen Seite von der Mitte entfernt. Also ist hier der Punkt und der heißt dann B'. Dann können wir den Punkt C spiegeln, allerdings jetzt zur anderen Seite hin. Das Geodreieck muss wieder hier mit der Mitte auf der Spiegelachse liegen. Der Punkt C ist fast eins, zwei, drei, vier Einheiten entfernt und das müssen wir jetzt auf der anderen Seite auch einzeichnen, eins, zwei, drei, vier, das ist ungefähr hier. Nicht ganz vier Einheiten, also dort ist der Punkt C'. Und der Punkt D' ergibt sich genau so. Wieder das Geodreieck mit der Mitte auf die Spiegelachse, das sind fast zwei Einheiten. Also müssen wir fast zwei Einheiten auf die andere Seite. Dann ist hier der Punkt D'. Und jetzt können wir noch die Punkte verbinden, nämlich: Wir gehen von A' zu B', von B' zu C', von C' zu D' und da habe ich das Kreuz vergessen und von D' wieder zurück zu A'. So und dann siehst Du hier in grün diese gespiegelte Figur und jetzt weißt Du auch, was ich hier auf der anderen Seite im Spiegel gesehen habe. Viel Spaß damit. Tschüss.

66 Kommentare
  1. @Hkeser95:
    Die Spiegelachse kann theoretisch überall im Koordinatensystem liegen, das Prinzip, wie man spiegelt, bleibt immer gleich.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 8 Monaten
  2. Hallo Herr Wabnik,
    Ist es egal wo die Spiegelachse/Symmetrieachse im Koordinatensystem liegt oder gibt es da auch Relgeln?

    Von Hkeser95, vor 8 Monaten
  3. Alter,wie häftig erklert.
    super gemacht!!!
    Ich habe wegen ihnen eine 1-in meiner Klasenarbeit

    Von Georg Theunissen, vor 8 Monaten
  4. Es geht aber es hat mir weiter geholfen.

    Von Max Hut, vor 8 Monaten
  5. war okay !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Famro Gw, vor 8 Monaten
  1. SUPER !!

    Von Jk0 15, vor 9 Monaten
  2. danke gute Hilfe

    Von Christian 38, vor 9 Monaten
  3. Sehr gut gemacht

    Von Mystery S., vor 9 Monaten
  4. gut erklärt danke der helfe

    Von Itslearning Nutzer 2535 894531, vor 9 Monaten
  5. gut erklärt!

    Von Lindastuttgart, vor 9 Monaten
  6. super hilfreich

    Von Linus 17, vor 9 Monaten
  7. finde ich und ihr

    Von Edom T., vor 10 Monaten
  8. hallo fand net so gut

    Von Edom T., vor 10 Monaten
  9. Es waren gute Informationen . Was heißt orthogonal?

    Von Bianca Moelders, vor 10 Monaten
  10. Voll das coole Viedeo. Du hast das richticht gut erklärt (:

    Von Sebi R., vor 10 Monaten
  11. gutes video

    Von Mostapha Sadki, vor 10 Monaten
  12. Man lernt sehr viel und ich bringe nur noch gute Noten mit nach Hause

    Von Sophie Kempf, vor 10 Monaten
  13. I like it!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!¡!

    Von Deleted User 687717, vor 11 Monaten
  14. PERFEKTOOOOOOOOOOO

    Von Uteeihusen, vor 11 Monaten
  15. TOLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

    Von Nathaniel O., vor 11 Monaten
  16. SEHR GUT ERKLÄRT

    Von Nathaniel O., vor 11 Monaten
  17. super Video jetzt verstehe ich es

    Von Lina S., vor 11 Monaten
  18. Hallo Sinuga,
    kannst du genauer sagen, was dir nicht gefallen hat?
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 12 Monaten
  19. nich gut

    Von Sinuga, vor 12 Monaten
  20. Ich hab es gut verstanden

    Von Sr Tybussek, vor 12 Monaten
  21. ich empfele das video weiter

    Von Fzg Eb, vor 12 Monaten
  22. Das Video ist cool #Perfekt

    Von Fzg Eb, vor 12 Monaten
  23. vielen dank . ich empfele dieses viedio .weiter so ich bin begeistert

    Von Stina H., vor etwa einem Jahr
  24. :D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D

    Von Wadi Raid, vor etwa einem Jahr
  25. Sehr gut!!!

    Von Wadi Raid, vor etwa einem Jahr
  26. Danke jetzt kapier ich die Haus aufgaben sehr gut erklährt😉👌👍

    Von Elgahmi, vor etwa einem Jahr
  27. 👍

    Von Sasuke-kun U., vor etwa einem Jahr
  28. einfach perfekt

    Von Smoqidyar, vor etwa einem Jahr
  29. Danke schön das war genaue was ich wissen wollte .😃

    Von Mserv, vor mehr als einem Jahr
  30. Das haben sie richtig gut erklärt, jetzt hab ich es auch verstanden. Danke schön . :-)

    Von Tbstock, vor mehr als einem Jahr
  31. Super Video!!! Alles super erklärt!:D

    Von Song.Youshi, vor mehr als einem Jahr
  32. Super erklärt!!

    Von Tom und Milla B., vor mehr als einem Jahr
  33. Super Dargestelt habe immer wider Stopp gemacht und selber voraus gearbeitet und dann kontroliert ♥

    Von Gilawa77, vor fast 2 Jahren
  34. Ganz toll gemacht

    Von Ryanpham, vor fast 2 Jahren
  35. vielen dank

    Von Inheld, vor fast 2 Jahren
  36. Ich habe es in meiner Klasse nur Teilweise verstanden jetzt versteh ich alles, Danke!

    Von Katharina 44, vor fast 2 Jahren
  37. Endlich habe ich es vertsnaden !!! Wir schreiben morgen eine Schulaufgabe ohne dem Video wäre ich verloren gewesen

    Von Sophie Pung, vor etwa 2 Jahren
  38. Ich habe es verstanden!!!! DANKE :)

    Von Miss.E. ., vor etwa 2 Jahren
  39. Hart mir sehr geholfen was sie nur vergessen haben ist die Punkte A und A' zu verbinden

    Von Pezerovicelvira, vor mehr als 2 Jahren
  40. @Ute Laub: Die Spiegelachse ist im Normalfall bei der Aufgabe vorgegeben. Möchtest du die Achsenspiegelung im Koordinatensystem üben, so kannst du dir eine Spiegelachse frei wählen.
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  41. woher weiß man wo man die spiegelachse zeichnen muss

    Von Ute Laub, vor mehr als 2 Jahren
  42. Ich finde es ebenfalls sehr schön erklärt
    Aber gibt es auch so ein Video mit Verschiebung ?ich habe es nicht gefunden kann mir jem. Sagen ob es so etwas gibt also zB. Ein vieerck in einem Koordinaten System verschieben ...wie geht das?

    Von Deleted User 217605, vor mehr als 2 Jahren
  43. Oliver G: Das ist doch egal die Haupt sache ist doch hier um zu lernen,und spaß zu haben, und nicht zum streiten. Wenn Maya M. das so sieht ist es doch egal außerdem ist es sehr gut erklärt gut:) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) Viel Spaß noch

    Von Smakulla, vor etwa 3 Jahren
  44. cool

    Von Arminkiy24, vor mehr als 3 Jahren
  45. Die Übung ist voll cool

    Von Duy H., vor mehr als 3 Jahren
  46. ich fand es sehr schön und es ist cool wenn man mal die Kamera anders stellt damit man ihn sieht und ich fand es sehr gut erklärt danke! :)

    Von Christina Mara Antonia K., vor mehr als 3 Jahren
  47. gutes video aber es gibt bessere

    Von Elias 2005, vor mehr als 3 Jahren
  48. mannomann! Hauptsache ist doch das du es verstehst...Außerdem war es gut erklärt.

    Von Oliver G., vor fast 4 Jahren
  49. ist gut aber er schnauft so viel wärend er redet das nerft,und es ist sehr lang gezogen die anderen vidios auf dem blatt papier ohne mikro und ohne profi kamaras sind besser

    Von Deleted User 213904, vor fast 4 Jahren
  50. Dieses video ist sehr gut erklärt danke

    Von Asries, vor fast 4 Jahren
  51. Sie erklaeren das besser ale mien Vater:)

    Von Karenann, vor fast 4 Jahren
  52. Danke

    Von Amelie Sohler, vor fast 4 Jahren
  53. Perfekte Übungsaufgaben !!!

    Von Lilli Sophie, vor mehr als 4 Jahren
  54. gute Übung

    Von Sebi Pleil, vor fast 5 Jahren
  55. Super geil krass ich hab´s kapiert

    Von Justinmichalek, vor etwa 5 Jahren
  56. Sehr schön erklärt:D

    Von Ibrahimmurat, vor etwa 5 Jahren
  57. danke

    Von Deleted User 205638, vor etwa 5 Jahren
  58. Cool jetzt versteh ich besser

    Von Borzova S, vor fast 6 Jahren
  59. danke jetzt kenne ich noch eine andere Theorie vom spiegel

    Von Michelle Celine W., vor fast 6 Jahren
  60. :) :) :) :) :)

    Von Michelle Celine W., vor fast 6 Jahren
  61. danke jetzt kenne ich noch eine andere Theorie vom spiegel

    Von Michelle Celine W., vor fast 6 Jahren
Mehr Kommentare

Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Achsenspiegelung im Koordinatensystem (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Koordinaten der eingezeichneten Punkte an.

    Tipps

    Im Koordinatensystem wird ein Punkt mit einem Großbuchstaben und zwei Zahlen beschrieben. Der erste Wert gibt dabei die Einheit auf der $x$-Achse an.

    Notiere dir anhand der Zeichnung die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ und vergleiche anschließend deine Werte mit den gegebenen.

    Lösung

    In der Geometrie wird die Lage von Punkten oder Geraden mithilfe eines Koordinatensystems dargestellt. Die waagerechte Achse nennt man $x$-Achse, senkrecht dazu steht die $y$-Achse. Der Schnittpunkt beider Achsen stellt den Null-Punkt, welcher auch Ursprung genannt wird, dar.

    Um einen Punkt im Koordinatensystem zu beschreiben, wählt man einen Großbuchstaben als Namen und zwei Zahlen als Koordinaten, beispielsweise $A(3|7)$. Die erste Zahl gibt den Wert auf der $x$-Achse an. Man nennt diesen Wert $x$-Koordinate. Die zweite Zahl nennt man $y$-Koordinate, da dieser den Wert auf der $y$-Achse angibt. Demnach erhält man für die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ folgende Koordinaten:

    • $A(3|2)$, $B(5|2)$, $C(10|8)$ und $D(8|8)$

  • Bestimme, welche Aussagen zur Achsenspiegelung wahr sind.

    Tipps

    Die Reihenfolge der $x$- und $y$-Koordinaten eines Punktes ist immer wie im Alphabet angeordnet. Welche Koordinate kommt also als Erstes?

    Im Gegensatz zum Lineal hat ein Geodreieck eine Linie in der Mitte. Diese dient dazu, senkrechte Linien zu zeichnen.

    Lösung

    Wir unterscheiden zwei Arten von Spiegelungen. Zum einen die Spiegelung an einer Spiegelachse, welche wir Achsenspiegelung nennen, und zum anderen die Spiegelung an einem Punkt (Zentrum), welche wir Punktspiegelung nennen.

    Für die Achsenspiegelung eignet sich am besten ein Geodreieck, da dieses eine eingezeichnete Linie in der Mitte hat, welche wir auf die Spiegelachse legen, sodass die lange Seite des Geodreiecks am zu spiegelnden Punkt anliegt. Wir tragen den Abstand des Punktes zur Spiegelachse auf der entgegengesetzten Seite ab und erhalten so den gespiegelten Punkt. Der Name des gespiegelten Punktes erhält zusätzlich einen Strich, sodass beispielsweise aus dem ursprünglichen Namen $P$ ein $P'$ wird.

  • Gib die Koordinaten der Bildfigur $A''B''C''D''$ an.

    Tipps

    Mache dir eine Skizze und führe zunächst die erste Spiegelung durch, dann die zweite.

    Der Bildpunkt $A'$ hat die Koordinaten $(6|0)$.

    Der Bildpunkt $B'$ hat die Koordinaten $(4|0)$.

    Der Bildpunkt $C'$ hat die gleichen Koordinaten wie $C$.

    Der Bildpunkt $D'$ hat die Koordinaten $(5|2)$.

    Lösung

    Wenn du die Figur $ABCD$ mit $A(0|0)$, $B(2|0)$, $C(3|3)$ und $D(1|2)$ zunächst an der Spiegelachse $p$ spiegelt, erhältst du die Bildfigur $A'B'C'D'$ mit folgenden Koordinaten:

    • $A' (6|0)$, $B' (4|0)$, $C' (3|3)$ und $D' (5|2)$.
    Spiegelst du $A'B'C'D'$ dann an der Spiegelachse $m$, erhältst du die Bildfigur $A''B''C''D''$ mit folgenden Koordinaten:
    • $A'' (6|4)$, $B'' (4|4)$, $C'' (3|1)$ und $D'' (5|2)$.

  • Beschreibe die Schritte bei der Durchführung einer Achsenspiegelung.

    Tipps

    Schau dir die Schritte der Animation oben genau an. Was kannst du erkennen?

    Die Reihenfolge der $x$- und $y$-Koordinaten eines Punktes wie bei $A(3|2)$ ist immer wie im Alphabet angeordnet. Welche Koordinate kommt als erstes?

    Lösung

    Du gehst bei der Achsenspiegelung wie folgt vor:

    1. In das Koordinatensystem werden die einzelnen Punkte der Figur eingetragen. Ein Punkt im Koordinatensystem wird mit einem Großbuchstaben als Namen des Punktes und zwei Koordinaten zur Bestimmung der Lage angegeben. Beispielsweise bei $A(3|2)$ gibt der erste Wert (hier $3$) die Einheit auf der $x$-Achse an und wird daher auch $x$-Koordinate genannt. Der zweite Wert (hier $2$) wird $y$-Koordinate genannt und gibt demnach die Einheit auf der $y$-Achse an.

    2. Nachdem alle Punkte im Koordinatensystem eingetragen wurden, werden diese miteinander verbunden. So entsteht ein Viereck, welches wir nun spiegeln möchten.

    3. Zum Spiegeln zeichnet man eine Spiegelachse mit Lineal oder Geodreieck ein.

    4. Ein Geodreieck eignet sich am besten für die Spiegelungen im Koordinatensystem. Dafür legt man das Geodreieck mit der Mitte auf die Spiegelachse und der langen Seite an den zu spiegelnden Punkt.

    5. Der Abstand des zu spiegelnden Punktes wird auf der entgegengesetzten Seite der Spiegelachse abgetragen. Dieser gespiegelte Punkt erhält denselben Namen wie der ursprüngliche Punkt, nur diesmal mit einem Strich. Der gespiegelte Punkt von $A$ heißt dann $A'$.

    6. Alle weiteren Punkte werden dann nacheinander mit Hilfe des Geodreiecks an der Spiegelachse gespiegelt und miteinander verbunden. Fertig ist die Achsenspiegelung.

  • Entscheide, welches Spiegelbild zu den Angaben des Originals passt, wenn die Spiegelachse senkrecht durch den Punkt $B$ geht.

    Tipps

    Achte auf die $x$-Koordinaten.

    Mach dir eine kleine Skizze und vergleiche mit den Bildern.

    Lösung

    Die Achsenspiegelung ist festgelegt durch die Spiegelachse.

    Das Dreieck $A'(5|1)$, $B'(3|2)$, $C'(4|5)$ nennt man auch das Bild von $ABC$. Dabei ist $A'$ der Bildpunkt von $A$, $B'$ der Bildpunkt von $B$ und $C'$ der Bildpunkt von $C$.

    Mit einem Geodreieck erhält man zu einem Punkt $P$ den Punkt $P'$. Mit der Mittellinie wird das Geodreieck auf die Spiegelachse aufgelegt, so dass $P$ auf der Zentimeterskala liegt. Der Bildpunkt $P'$ wird im gleichen Abstand zur Spiegelachse wie der Punkt $P$ auf der anderen Seite gesetzt.

    Wenn der zu spiegelnde Punkt jedoch auf der Spiegelachse liegt, dann ist er sein eigener Bildpunkt. In der Aufgabe trifft das auf Punkt $B(3|3)$ zu. Der Spiegelpunkt $B'$ hat auch die Koordinaten $B'(3|3)$.

  • Ermittle die Koordinaten der Punkte und ihrer Bildpunkte bei einer Spiegelung an der senkrechten Achse.

    Tipps

    Die erste Zahl in der Klammer gibt die $x$-Koordinate an.

    Nimm zum Spiegeln die Kästchen zur Hilfe.

    Die Spiegelpunkte sind von der Spiegelachse genauso weit entfernt wie die Ausgangspunkte.

    Lösung

    Möchte man in ein Koordinatensystem Punkte eintragen, so muss man sich die Angaben zu den einzelnen Punkten genau anschauen.

    Ein Punkt im Koordinatensystem wird mit einem Großbuchstaben und zwei Zahlen angegeben, und zwar so: $B (6|3)$. Die erste Zahl, also hier die $6$, gibt den Wert auf der $x$-Achse an. Die zweite Zahl, hier $3$, gibt den Wert auf der $y$-Achse an. Der Schnittpunkt beider Werte ist der Punkt im Koordinatensystem.

    Die Spiegelpunkte werden so ähnlich angegeben, der Großbuchstabe wird jedoch mit einem Strich ergänzt, so dass der Punkt folgendermaßen angegeben wird: $B' (2|3)$.

    Ein Tipp: Du kannst dir die Koordinaten in der Klammer am besten merken, wenn du dir überlegst, welcher Buchstabe im Alphabet zuerst steht. Denn $x$ kommt vor $y$, somit steht die $x$-Koordinate immer zuerst in der Klammer $(x|y)$.