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Abstandsbestimmung paralleler Geraden -Erklärung 06:08 min

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Transkript Abstandsbestimmung paralleler Geraden -Erklärung

Hallo. Es gibt parallele Geraden, die haben einen Abstand und den können wir mit der Lotfußpunkt-Formel bestimmen. Nun hat aber eine Lotfußpunkt Formel erstmal nicht viel mit dem Abstand paralleler Geraden zu tun. Und deshalb gibt es hier Erklärungsbedarf. Und deshalb gibt es dieses Video, in dem es nämlich geklärt wird, warum man mit der Lotfußpunkt-Formel den Abstand paralleler Geraden bestimmen kann. Was verstehen wir nun unter dem Abstand zweier paralleler Geraden? Wir können mal zu irgendeinem Punkt der Geraden g2 gehen. Und wenn wir dann auf kürzestem Weg zur Geraden g1 gehen, entsteht hier eine Strecke, deren Streckenlänge der Abstand der beiden Geraden ist. Wenn wir von diesem Punkt auf kürzestem Weg zur Geraden g1 gehen, dann entsteht hier ein rechter Winkel. Denn diese Strecke hier mit dem rechten Winkel, die Strecke, die also hier rechtwinklig auftrifft, ist kürzer als alle anderen Strecken, die von hier aus eben dann zu einem anderen Punkt dieser Geraden führen, weil nämlich für irgendeine andere Strecke gilt, dass nun hier ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, dessen Hypotenuse länger ist als diese Kathete. Wegen dieses rechten Winkels ist nun diese Strecke hier das Lot dieses Punktes auf diese Gerade. Und damit ist dieser Punkt hier der Lotfußpunkt des Lotes dieses Punktes auf diese Gerade. Wenn wir die Koordinaten dieser beiden Punkte hätten, wären wir intellektuell ideologisch eigentlich schon fertig, denn dann könnten wir einen Differenzvektor bilden, also den von hier nach da oder von da nach hier ist völlig egal. Wir könnten den Betrag ausrechnen. Und dieser Betrag ist dann schon der Abstand dieser beiden Geraden. Wenn wir konkrete Geraden g1 und g2 gegeben haben, dann haben wir auch einen Stützvektor. Der soll jetzt hier mal a2 heißen, der zu einem Punkt der Geraden führt. Der Punkt soll A2 heißen und hat die Koordinaten dieses Stützvektors. Wir können nun von diesem Punkt aus das Lot fällen. “Das Lot fällen” machen wir jetzt hier zeichnerisch. Und wenn wir dann die Lotfußpunkt-Formel anwenden, erhalten wir mit dieser Formel diesen Punkt hier. Der soll jetzt mal L heißen. Dann können wir einen Differenzvektor bilden, zum Beispiel den Vektor, der von A2 zu L führt, indem wir dann nämlich den Ortsvektor zu L minus Ortsvektor zu A2 rechnen. Dann erhalten wir den Vektor, der von A2 zu L führt. Und dann können wir den Betrag dieses Vektors hier bilden. Und der ist dann der Abstand der beiden Geraden. Und das habe ich jetzt auch nochmal hier konkret krass vorbereitet. Wir haben hier allgemein die Lotfußpunkt-Formel. Wir fällen das Lot des Punktes P auf die Gerade g. Die Gerade g hat diese Darstellung. Und dann lautet die Lotfußpunkt Formel (a + tL×b - OP)×b = 0. Das ist hier das Skalarprodukt. Und gemeint ist das Ganze so, ja das ist ja hier eine Gleichung. Und wenn wir diese Gleichung jetzt nach tL umstellen, dann erhalten wir einen bestimmten Wert für tL. Und wenn wir den hier einsetzen, dann kommen wir hier zu dem Lotfußpunkt von P auf g. Wenn wir konkrete Geraden gegeben haben, dann machen wir folgendes. Das sind hier die beiden gegebenen Geraden. So könnte das aussehen. Und die Lotfußpunkt-Formel sieht dann so aus. Wir gehen zum Beispiel von A2 los und fällen das Lot auf die Gerade g1, dann müssen wir hier also den Stützvektor für g1 einsetzen und hier den Richtungsvektor von g1 und hier auch den Richtungsvektor von g1. Und wir gehen von Punkt A2 aus. Der hat die Koordinaten dieses Stützvektors. Deshalb habe ich hier einfach diesen Stützvektor hingeschrieben, der Stützvektor der Geraden g2. Und auch dann kann man hier jetzt die Gleichung nach rL auflösen, erhält einen konkreten Wert für rL, den man dann hier einsetzt. Dann kommt man zu diesem Punkt hier. Also wir erhalten dann einen Vektor, der hier zu diesem Punkt führt. Und dann kann man einen Differenzvektor bilden. Und der Betrag dieses Differenzvektors ist dann der Abstand der beiden Geraden. Ja, das war es soweit zur Erklärung in aller Ausführlichkeit. Ich habe dem auch nichts hinzuzufügen. Viel Spaß damit. Tschüss

Abstandsbestimmung paralleler Geraden -Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstandsbestimmung paralleler Geraden -Erklärung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was man unter dem Abstand zweier paralleler Geraden versteht.

    Tipps

    Unter dem Abstand zweier Elemente versteht man immer die Länge der kürzesten Verbindung dieser Elemente.

    Die Strecke, mit deren Hilfe man den Abstand zweier paralleler Geraden ausrechnet, steht senkrecht zu beiden Geraden.

    Lösung

    Was versteht man eigentlich unter dem Abstand zweier paralleler Geraden?

    Wir betrachten irgendeinen Punkt $P$ der Geraden $g_2$. Nun gehen wir auf kürzestem Weg zu Geraden $g_1$. So entsteht eine Strecke, deren Länge der gesuchte Abstand ist.

    Diese Strecke steht senkrecht zu der Geraden $g_1$.

    In dem Bild ist der Punkt $B$ der mit dem kürzesten Abstand zu $P$ der Geraden $g_2$. Sowohl der Abstand von $A$ als auch von $C$ zu $P$ ist sicher größer. Dies kannst du hier in dem Bild sehen.

    Das bedeutet: Man fällt von einem Punkt einer Geraden das Lot auf die andere Gerade. Hierfür verwendet man das Lotfußpunktverfahren. Der Punkt $B$ ist also der Lotfußpunkt des Punktes $P$ der Geraden $g_2$ auf die Gerade $g_1$.

  • Benenne die einzelnen Größen in der Lotfußpunktformel.

    Tipps

    Du erkennst den Richtungsvektor einer Geraden daran, dass dieser mit dem Parameter multipliziert wird.

    Schaue dir ein Beispiel für die Skalarmultiplikation an:

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ -2 \end{pmatrix}=1\cdot 2+2\cdot 2+3\cdot (-2)=0$

    Daran, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt, erkennt man, dass sie senkrecht zueinander sind.

    Lösung

    Es soll der Lotfußpunkt $L$ des Punktes $A_2$ der Geraden $g_2$ auf die Gerade $g_1$ berechnet werden.

    Die Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte ist der Abstand der parallelen Geraden $g_1$ und $g_2$ zueinander. Es seien $g_1:\vec x=\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}$ sowie $g_2:\vec x=\vec{a_2}+s\cdot \vec{b_2}$.

    Der Lotfußpunkt kann mit der Lotfußpunktformel berechnet werden:

    $\left(\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}-\vec{a_2}\right)\star\vec{b_1}=0$

    Schauen wir uns diese einmal etwas genauer an:

    • $\vec{a_1}$ ($\vec{a_2}$) sind die Stützvektoren der Gerade $g_1$ ($g_2$). Diese zeigen jeweils auf einen Punkt der Geraden.
    • Durch $\vec{b_1}$ ist der Richtungsvektor der Geraden $g_1$ gegeben.
    • $\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}$ zeigt auf (irgend-)einen Punkt der Geraden $g_1$.
    • Damit ist $\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}-\vec{a_2}$ der Verbindungsvektor dieses Punktes mit dem Punkt $A_2$, auf welchen $\vec{a_2}$ zeigt.
    • Wenn das Skalarprodukt (dieses wird durch $\star$ angezeigt) dieses Verbindungsvektors mit dem Richtungsvektor $\vec{b_1}$ der Geraden $g_1$ gerade $0$ ergibt, gilt: Die beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander.
    Die Lösung der obigen Gleichung sei $r_L$. Wenn man dieses $r_L$ in die Gleichung der Geraden $g_1$ einsetzt, erhält man den Lotfußpunkt $L$.

  • Ergänze die Erklärung der Abstandsberechnung paralleler Geraden mit Hilfe des Lotfußpunktverfahrens.

    Tipps
    • Punkte werden üblicherweise großgeschrieben.
    • Vektoren erkennst du an dem Pfeil.

    Der Abstand der beiden Geraden ist die Länge der kürzesten Strecke von $A_2$ zu einem Punkt der Geraden $g_1$.

    Die Strecke $\overline{A_2 L}$ steht senkrecht auf der Geraden $g_1$ und übrigens auch auf der Geraden $g_2$.

    Lösung

    Gegeben seien zwei parallele Geraden:

    • $g_1:\vec x=\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}$
    • $g_2:\vec x=\vec{a_2}+s\cdot \vec{b_2}$
    Der Vektor $\vec{a_2}$ ist der Stützvektor der Geraden $g_2$. Dieser führt zu dem Punkt $A_2$ der Geraden. Von diesem Punkt aus wird das Lot auf die Gerade $g_1$ gefällt. Der Lotfußpunkt sei $L$. Diesen finden wir mit Hilfe der folgenden Schritte:

    • Löse die Gleichung $\left(\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}-\vec{a_2}\right)\star\vec{b_1}=0$. Die Lösung sei $r_L$.
    • Setze diese Lösung in die Geradengleichung zu $g_1$ ein.
    • So erhältst du den Lotfußpunkt $L$.
    Bilde nun den Differenzvektor, oder auch Verbindungsvektor, $\vec{A_2 L}$ und berechne zuletzt den Betrag dieses Vektors. Dieser ist der gesuchte Abstand.

  • Wende die Lotfußpunktformel an, um den Abstand der parallelen Geraden zu bestimmen.

    Tipps

    Löse zunächst folgende Gleichung:

    $\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 8 \\ 9\\ -7 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}=0$

    Der Lotfußpunkt ist gegeben durch $L(11|3|-1)$.

    Der Abstand der beiden Geraden ist die Länge des Verbindungsvektors $\vec{A_2 L}$.

    Lösung

    Es soll der Abstand dieser beiden parallelen Geraden bestimmt werden:

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$

    $g_2:\vec x=\begin{pmatrix} 8 \\ 9\\ -7 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$

    Wir beginnen mit dem Lotfußpunkt des Punktes $A_2(8|9|-7)$ auf die Gerade $g_1$:

    Es muss die folgende Gleichung gelöst werden:

    $\begin{array}{lrclll}&\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 8 \\ 9\\ -7 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}&=&0&|&\text{Rechnen mit Vektoren}\\\\ \Leftrightarrow&\begin{pmatrix} -5+4r \\ -8+r\\ 8-r \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}&=&0&|&\text{Skalarmultiplikation}\\\\ \Leftrightarrow&4(-5+4r)+(-8+r)-(8-r)&=&0&|&\text{Klammern aufl}\ddot{\text{o}}\text{sen}\\ \Leftrightarrow&-20+16r-8+r-8+r&=&0&|&\text{Zusammenfassen}\\ \Leftrightarrow&18r-36&=&0&|&+36\\ \Leftrightarrow&18r&=&36&|&:18\\ \Leftrightarrow&r&=&2 \end{array}$

    Setze $r_L=2$ in die Gleichung der Geraden $g_1$ ein:

    $\vec l=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 \\ 3\\ -1 \end{pmatrix}$

    Dies ist der Vektor, welcher auf den Lotfußpunkt $L(11|3|-1)$ zeigt.

    Nun sind wir fast fertig.

    Bestimme den Verbindungsvektor:

    $\vec{A_2 L}=\begin{pmatrix} 11-8 \\ 3-9\\ -1-(-7) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ -6\\ 6 \end{pmatrix}$

    Von diesem Vektor musst du noch den Betrag berechnen:

    $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ -6\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{3^2+(-6)^2+6^2}=\sqrt{81}=9$

    Dies ist der gesuchte Abstand der beiden parallelen Geraden.

  • Berechne den Lotfußpunkt des Punktes $A(6|7|4)$ auf die Gerade $g_1$.

    Tipps
    • Du multiplizierst einen Vektor mit einer Zahl, indem du jede Koordinate des Vektors mit dieser Zahl multiplizierst.
    • Du addierst (subtrahierst) zwei Vektoren, indem du sie koordinatenweise addierst (subtrahierst).

    Die skalare Multiplikation führst du wie folgt durch:

    • Multipliziere die einander entsprechenden Koordinaten der Vektoren.
    • Addiere schließlich diese (drei!) Produkte.

    Durch Einsetzen der Lösung für $r$ in die Geradengleichung $g_1$ erhältst du einen Vektor $\vec l$, welcher auf den Lotfußpunkt zeigt. Dieser hat die gleichen Koordinaten wie der Vektor $\vec l$.

    Lösung

    Es soll der Abstand der beiden folgenden parallelen Geraden bestimmt werden:

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

    $g_2:\vec x=\begin{pmatrix} 6 \\ 7\\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

    Hierfür muss man zunächst den Lotfußpunkt des Punktes $A_2(6|7|4)$ auf die Gerade $g_1$ bestimmen.

    Löse zunächst diese Gleichung:

    $\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 7\\ 4 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=0$

    Nun berechnen wir zunächst den Vektor in der Klammer:

    $\left(\begin{pmatrix} -5 \\ -4\\ -4 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=0$

    Dies vereinfachen wir zu:

    $\begin{pmatrix} -5 +2r\\ -4+r\\ -4 +r \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=0$

    • Nun kann die Skalarmultiplikation durchgeführt werden. Wir erhalten $2\cdot(-5+2r)+(-4+r)+(-4+r)=0$.
    • Zuletzt werden die Klammern aufgelöst und gleichartige Terme zusammengefasst. Wir erhalten $-10+4r-4+r-4+r=6r-18=0$.
    • Addition von $18$ auf beiden Seiten der Gleichung führt zu $6r=18$. Anschließend dividieren wir durch $6$. Dies führt zu $r=3$. Dies ist der gesuchte Wert für $r_L$.
    Setze $r_L=3$ in die Gleichung der Geraden $g_1$ für $r$ ein:

    $\vec l=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ 6\\ 3 \end{pmatrix}$

    Dies ist der Vektor, welcher auf den Lotfußpunkt $L(7|6|3)$ zeigt.

  • Bestimme den Abstand der parallelen Geraden.

    Tipps

    Beachte, dass der Verbindungsvektor des Punktes $A_2$ sowie des Lotfußpunktes senkrecht zu dem Richtungsvektor der Geraden $g_1$ steht.

    Den Verbindungsvektor zweier Punkte erhältst du, indem du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahierst.

    Dies kannst du hier an einem Beispiel sehen: $A(2|2|2)$, $B(3|1|-2)$

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 3-2 \\ 1-2\\ -2 -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ -4 \end{pmatrix}$

    Hier siehst du, wie der Betrag (bzw. die Länge) eines Vektors berechnet wird:

    • Zuerst quadrierst du jede Koordinate.
    • Danach addierst du die Quadrate.
    • Zuletzt ziehst du die Wurzel aus der Summe.
    Lösung

    Es soll der Abstand der beiden parallelen Geraden bestimmt werden:

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

    $g_2:\vec x=\begin{pmatrix} 6 \\ 7\\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

    Üblicherweise bestimmst du hierfür zunächst den Lotfußpunkt des Punktes $A_2(6|7|4)$ auf der Geraden $g_1$. Dieser ist $L(7|6|3)$.

    Hinweis: Du kannst natürlich auch genau umgekehrt vorgehen und den Lotfußpunkt des Punktes $A_1$ auf der Geraden $g_2$ bestimmen.

    Wenn der Lotfußpunkt bekannt ist, bestimmst du den Verbindungsvektor:

    $\vec{A_2 L}=\begin{pmatrix} 7-6 \\ 6-7\\ 3-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix}$

    Von diesem Vektor musst du noch den Betrag berechnen:

    $\left|\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt 3\approx 1,73$

    Dies ist der gesuchte Abstand der beiden parallelen Geraden.