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Abstand windschiefer Geraden 05:13 min

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Transkript Abstand windschiefer Geraden

Hallo. Wenn du weißt, was windschiefe Geraden sind und wenn du auch weißt, wie man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnet, dann können wir uns jetzt mal ansehen, wie wir den Abstand windschiefer Geraden berechnen können. In diesem Video soll es darum gehen, die Methode zu zeigen und die an einem Beispiel durchzurechnen. Es soll nicht darum gehen, zu erklären, warum diese Methode funktioniert oder wie man sich das vorstellen kann. Also wir haben folgende Methode. Wir haben eine Gerade und wir haben noch eine Gerade. Wir basteln uns eine Ebene aus diesen beiden Geraden. Und das geht so. Wir nehmen den Stützvektor der ersten Geraden, wir nehmen den Richtungsvektor der ersten Geraden und den Richtungsvektor der zweiten Geraden. Das ergibt eine Ebene, weil diese beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind. Und das wissen wir, weil diese beiden Geraden windschief sind. Das war ja die Voraussetzung der Aufgabe. Und dann berechnen wir den Abstand des Punktes A2 zu dieser Ebene. A2 ist der Punkt mit diesen Koordinaten. Dann werden wir mal konkret. Wir haben diese beiden Geraden gegeben und wir basteln uns jetzt unsere Ebene aus diesen beiden Geraden. Hier haben wir diesen Stützvektor. Wir haben diesen Richtungsvektor und diesen Richtungsvektor und der Punkt A2 hat diese Koordinaten. Wir können jetzt den Abstand dieses Punktes zu dieser Ebene mit dieser Abstandsformel berechnen. Wir haben also: Abst(P;E) = (1/|n|)×|n×OP - d|. Und d ist das d aus der Koordinatenform, wenn man die Koordinatenform der Ebene so aufschreibt. So, und das habe ich auch schon mal heimlich vorbereitet. Ja, das geht jetzt hier ratz fatz mit diesen Zetteln, damit das nicht zu lange dauert, das Ganze hier aufzuschreiben. Wir brauchen einen Normalenvektor. Den erhalten wir, indem wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden. Dann erhalten wir einen Normalenvektor. Es geht aber auch, indem wir ein Gleichungssystem lösen. Wir multiplizieren diesen Richtungsvektor mit dem noch zu findenden Normalenvektor, wir multiplizieren diesen Richtungsvektor auch mit dem noch zu findenden Normalenvektor. Beide Male muss 0 herauskommen. Wir haben dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen. In der Regel können wir eine der Variablen wählen und dann die beiden anderen ausrechnen. Das mache ich hier aber nicht im Einzelnen vor, sondern ich nehme den Normalenvektor, den wir hier durch das Kreuzprodukt schon bekommen haben. Dann brauchen wir noch dieses d. Und das erhalten wir, indem wir den Normalenvektor der Ebene mit dem Ortsvektor zu irgendeinem Punkt der Ebene multiplizieren. Man kommt auf dieses Ding hier, wenn man von der Normalenform in die Koordinatenform umformt. Da bekommt man genau diesen Ausdruck. Ja, das können wir also machen. Einen Normalenvektor haben wir ja schon gerade gebildet. Und wir multiplizieren mit dem Stützvektor dieser Ebene und es kommt 4 heraus. So und dann müssen wir nur noch unsere gewonnenen Daten in diese Formel einsetzen. Und das sieht dann so aus in voller Schönheit. Wir haben den Betrag unseres Normalenvektors. Das ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Wir haben hier das Skalarprodukt, ziehen d ab und bilden den Betrag davon. Und das ist das Ergebnis. 33 geteilt durch Wurzel aus 230. Das kann man auch noch als Näherungswert angeben: 2,176. Ja und wenn nach dem exakten Wert gefragt ist, ist das hier unser Endergebnis. Und damit sind wir hier fertig. So, damit sind wir hier fertig. Wir können uns nochmal kurz angucken, wie wir vorgegangen sind. Wir haben also zwei windschiefe Geraden, das heißt, wir haben zwei Stützvektoren und zwei Richtungsvektoren. Wir setzen den einen Richtungsvektor hier dran und erhalten eine Ebene. Und dann berechnen wir den Abstand des Endpunktes dieses Stützvektors zu dieser Ebene. Und zack sind wir fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

Abstand windschiefer Geraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand windschiefer Geraden kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung des Abstandes windschiefer Geraden.

    Tipps

    Eine Ebene ist gegeben durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren und einen Stützvektor.

    Die Richtungsvektoren einer Ebene dürfen nicht kollinear sein.

    Die Hilfsebene wird mit Hilfe des Stützvektors einer Geraden kreiert.

    Der Abstand windschiefer Geraden berechnet sich über den Abstand der Hilfsebene zu dem Ortsvektor der anderen Geraden.

    Lösung

    Wir wollen den Abstand windschiefer Geraden berechnen.

    Es seien folgende Geraden gegeben:

    $g_1:\vec x=\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}$

    $g_2:\vec x=\vec{a_2}+r\cdot \vec{b_2}$

    Die beiden Richtungsvektoren sind nicht kollinear, da die Geraden windschief sind.

    Man stellt zunächst eine Ebenengleichung in Parameterform auf:

    $\mathbb{E}:\vec x=\vec{a_1}+r\cdot \vec{b_1}+s\cdot \vec{b_2}$

    Übrigens:

    • Die Gerade $g_1$ liegt in dieser Ebene und
    • die Gerade $g_2$ liegt parallel zu dieser Ebene.
    Der Abstand der beiden Geraden lässt sich mit dieser Hilfsebene bestimmen. Dabei ist der Abstand der Ebene zu dem Punkt des Ortsvektors $\vec{a_2}$ zu berechnen.

    Hierfür kannst du die folgende Abstandsformel verwenden:

    Abst$(P;\mathbb{E})=\frac1{|\vec n|}\cdot \left| \vec n\star \vec{OP}-d\right|$

    Dabei gelten folgende Variablen:

    • $\vec n$ ist ein Normalenvektor der Ebene.
    • $\vec{OP}$ ist der Vektor, welcher zu dem Punkt $P$ führt, also der Ortsvektor von $P$ (hier ist das also $\vec{a_2}$)
    • $d$ ist das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene mit dem Ortsvektor eines Punktes der Ebene.
  • Beschrifte die Abstandsformel.

    Tipps

    Die Koordinatenform einer Ebene lautet $\mathbb{E}:n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=d$.

    • Das Ergebnis einer Skalarprodukts ist eine Zahl.
    • Das Ergebnis eines Vektorproduktes ist ein Vektor.

    Der Betrag, oder auch die Länge, eines Vektors ist wie folgt definiert:

    $|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$

    Lösung

    Die Formel, um den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $\mathbb{E}$ zu berechnen, lautet:

    Abst$(P,\mathbb{E})=\frac1{|\vec n|}\cdot|\vec n\star \vec{OP}-d|$.

    Dabei werden folgende Bezeichnungen verwendet:

    • Der Normalenvektor der Ebene ist $\vec n$.
    • Die Länge (oder auch der Betrag) dieses Vektors ist $|\vec n|=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}$.
    • Der Ortsvektor des Punktes $P$ ist $\vec{OP}$.
    • Die Konstante $d$ aus der Koordinatenform $\mathbb{E}:n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=d$.
    • $\star$ zeigt an, dass die beiden Vektoren $\vec n$ und $\vec{OP}$ durch das Skalarprodukt multipliziert werden.
  • Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

    Tipps

    Die Ebene wird mit Hilfe eines Stützvektors erstellt. Der Abstand des anderen Stützvektors zu dieser Ebene muss berechnet werden.

    Die Koordinaten des Normalenvektors sind die Koeffizienten der Koordinaten $x$, $y$ und $z$ in der Koordinatenform.

    Achte auf das Vorzeichen.

    $d$ ist die rechte Seite in der Koordinatenform.

    Wenn du den Taschenrechner benutzt, achte darauf, beim Potenzieren von negativen Zahlen Klammern zu verwenden.

    Lösung

    Wir wollen den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden berechnen.

    Wir haben zwei Geraden gegeben:

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}$

    $g_2:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$

    Diese sind windschief. Also sind deren Richtungsvektoren nicht kollinear. Die Richtungsvektoren sind jeweils die, die mit einem Parameter multipliziert werden.

    Mit Hilfe dieser beiden Richtungsvektoren und einem der beiden Stützvektoren erhältst du folgende Ebene:

    $\mathbb{E}:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$

    Die Gerade $g_1$ liegt in dieser Ebene und die Gerade $g_2$ verläuft parallel zu dieser Ebene. Damit ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden gleich dem Abstand der Geraden $g_2$ zu der erstellten Ebene.

    Wir haben also unser Ausgangsproblem zu einem anderen Problem mit derselben Lösung umgeformt.

    Welchen Punkt nehmen wir nun? Wir nehmen den Punkt, auf welchen der Stützvektor der Geraden $g_2$ zeigt:

    $A_2(0|1|2)$

    Die Koordinatenform der Ebene $\mathbb{E}$ lautet:

    $\mathbb{E}:7x-9y-10z=4$

    Also ist $\vec n=\begin{pmatrix} 7 \\ -9\\10 \end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene.

    Nun kannst du die Formel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene verwenden:

    Abst$(P;\mathbb{E})=\frac1{|\vec n|}\cdot \left| \vec n\star \vec{OP}-d\right|$

    Dabei gelten folgende Variablen:

    • $\vec n$ ist der Normalenvektor der Ebene.
    • $\vec{OP}$ ist der Vektor, welcher zu dem Punkt $P$ führt, also der Ortsvektor von $P$. (hier $A_2$)
    • $d$ ist der Wert, der in der Koordinatenform neben dem Gleichheitszeichen steht. Also $d=4$.
    Damit ist der gesuchte Abstand der beiden windschiefen Geraden gegeben durch:

    Abst$(A_2;\mathbb{E})=\frac1{\sqrt{7^2+(-9)^2+(-10)^2}}\cdot \left| 7\cdot 0-9\cdot 1-10\cdot 2-4\right|=\frac{33}{\sqrt{230}}\approx2,716$

  • Prüfe, welche der angegeben Geraden den kleinsten Abstand zu der Geraden $g$ hat.

    Tipps

    Stelle eine Gleichung der Ebene auf, welche $g$ enthält und zu welcher jede der übrigen Geraden parallel verläuft.

    Ein Normalenvektor der Ebene ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

    Die Koordinatenform der Ebene lautet $\mathbb{E}:-2x+y+2z=0$.

    Lösung

    Wir wollen in dieser Aufgabe verschiedene Abstände zwischen windschiefen Geraden berechnen.

    Die Ebene, welche die Gerade $g$ enthält und zu der die übrigen Geraden parallel verlaufen, ist durch folgende Gleichung gegeben:

    $\mathbb{E}:-2x+y+2z=0$

    Das bedeutet, dass $\vec n=\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$ ein Normalenvektor ist.

    Der Betrag des Normalenvektors berechnet sich durch $|\vec n|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=\sqrt9=3$.

    Den Normalenvektor erhältst du übrigens, indem du das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden bildest:

    $\begin{array}{ccccc}\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\1 \end{pmatrix}&\times &\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\0 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2\cdot 0-1\cdot 2 \\ 1\cdot 1-2\cdot 0\\ 2\cdot 2-2\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \\2&&1\\ 2&&2 \end{array}$

    Da alle gegebenen Geraden $h_i$, $i=1;...;4$, den gleichen Richtungsvektor haben, musst du jeweils die Koordinaten des Punktes, auf welchen der Stützvektor zeigt, in die Formel einsetzen. Hier sind die Lösungen in aufsteigender Reihenfolge:

    1. Abst$(A_2;\mathbb{E})=\frac13\cdot |-2\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 2-0|=\frac23$
    2. Abst$(A_4;\mathbb{E})=\frac13\cdot |-2\cdot (-2)+1\cdot 2+2\cdot 0-0|=\frac63=2$
    3. Abst$(A_3;\mathbb{E})=\frac13\cdot |-2\cdot 2+1\cdot (-3)+2\cdot (-1)-0|=\frac93=3$
    4. Abst$(A_1;\mathbb{E})=\frac13\cdot |-2\cdot (-3)+1\cdot 2+2\cdot 1-0|=\frac{10}3$
  • Stelle die Gleichung der Ebene auf, die $g_1$ enthält und die parallel zu $g_2$ verläuft.

    Tipps

    Wähle die Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

    Nur der Stützvektor von $g_1$ kann hier als Stützvektor der Ebene verwendet werden.

    Bilde das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene. So erhältst du einen Normalenvektor. Schaue dir dieses Beispiel für das Vektorprodukt zweier Vektoren an.

    • Schreibe die jeweils ersten beiden Koordinaten noch einmal unter jeden der beiden Vektoren.
    • Multipliziere dann über Kreuz:
    • Für die erste Koordinate multiplizierst du in der zweiten und dritten Zeile von oben links nach unten rechts und subtrahierst davon das Produkt von unten links nach oben rechts.
    • Ebenso gehst du bei den beiden folgenden Koordinaten vor.

    Ein Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch

    $\vec n=\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$

    Die „rechte Seite“ der Koordinatengleichung ergibt sich als Skalarprodukt des Stützvektors mit dem Normalenvektor der Ebene.

    Lösung

    Eine Ebene, welche $g_1$ enthält und parallel zu $g_2$ verläuft, ist gegeben durch folgende Gleichung:

    $\mathbb{E}:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\2 \end{pmatrix}$

    • Die beiden Richtungsvektoren sind die (nicht kollinearen!) Richtungsvektoren der beiden Geraden.
    • Der Stützvektor ist der gleiche wie der der Geraden $g_1$.
    Nun musst du zu dieser Ebene eine Koordinatenform finden. Dafür benötigst du einen Normalenvektor der Ebene. Diesen kannst du mit Hilfe des Vektorproduktes der beiden Richtungsvektoren bestimmen. Die Zahlen, die unten aus den Vektoren „herausragen“ dienen nur dem leichteren Rechnen:

    $\begin{array}{ccccc}\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\1 \end{pmatrix}&\times &\begin{pmatrix} 1 \\ -2\\2 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2\cdot 2-1\cdot (-2) \\ 1\cdot 1-2\cdot 2\\ 2\cdot (-2)-2\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ -3\\ -6 \end{pmatrix} \\2&&1\\ 2&&-2 \end{array}$

    Dieser Vektor kann vereinfacht werden. Eine Division durch $-2$ führt zu folgendem Vektor:

    $\vec n=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

    Damit lautet die Ebenengleichung in Koordinatenform

    $\mathbb{E}:-2x+y+2z=d$

    $d$ lässt sich wie folgt berechnen:

    $d=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=0$

  • Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

    Tipps

    Verwende diese Formel, um den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $\mathbb{E}$ zu berechnen:

    Abst$(P,\mathbb{E})=\frac1{|\vec n|}\cdot|\vec n\star \vec{OP}-d|$

    Dabei gelten folgende Bezeichnungen:

    • $\vec n$ ist der Normalenvektor der Ebene.
    • $|\vec n|=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}$ die Länge (bzw. der Betrag) des Normalenvektors.
    • $\vec{OP}$ ist der Ortsvektor des Punktes $P$.
    • $d$ ist der Werte, der auf der rechten Seite der Koordinatengleichung steht.

    Der Normalenvektor der Ebene ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

    Beachte, dass die Gerade $g_1$ in der Ebene liegt. Das bedeutet, dass du den Abstand von $g_2$ zu der Ebene berechnen musst. Dazu brauchst du lediglich einen beliebigen Punkt der Gerade.

    Lösung

    Wir wollen den Abstand von zwei windschiefen Geraden berechnen. Die Geraden sind dabei durch folgende Gleichungen gegeben:

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\1 \end{pmatrix}$

    $g_2:\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 3\\1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\2 \end{pmatrix}$

    Auch die (Hilfs-)Ebene $\mathbb{E}:-2x+y+2z=0$ ist bereits angegeben.

    Damit gilt:

    $\vec n=\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

    Dadurch lässt sich $|\vec n|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=\sqrt 9=3$ berechnen.

    Weiterhin gilt:

    $|\vec n\star \vec{OA_2}-d|=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}-0\right|=|-8+3+2|=|-3|=3$

    Nun kann der Abstand berechnet werden:

    Abst$(A_2;\mathbb{E})=\frac33=1$