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Abstand paralleler Geraden 06:33 min

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Transkript Abstand paralleler Geraden

Hallo. Wenn du weißt, wie wir parallele Geraden vektoriell darstellen, dann können wir uns jetzt mal ansehen, wie wir den Abstand paralleler Geraden berechnen können. Und in diesem Video soll es nur darum gehen, die Formel vorzustellen und wir werden ein Beispiel dazu rechnen. Es soll nicht darum gehen, die Formel zu begründen und es soll auch nicht darum gehen, die Formel zu veranschaulichen. Wir haben zwei Geraden gegeben, g1 und g2. Und wir berechnen nun den Abstand dieser beiden Geraden, indem wir von dem Punkt mit diesen Koordinaten ausgehen, von hier aus das Lot auf diese Gerade fällen. Dadurch entsteht ein Lotfußpunkt auf dieser Geraden. Und dann berechnen wir den Abstand des Lotfußpunktes zu dem Punkt mit diesen Koordinaten. Und das ist der Abstand dieser beiden Geraden. Den Lotfußpunkt können wir mit dieser Formel bestimmen. Ja, wir haben irgendeinen Punkt P und irgendeine Gerade g und möchten jetzt den Lotfußpunkt von P auf g bestimmen. Diese Gerade hat diese Form hier und die Lotfußpunktformel lautet nun (Vektor a + tL * Vektor b – Ortsvektor zu P) * Vektor b = 0. Das ist übrigens das Skalarprodukt. Mit dieser Formel können wir einen bestimmten Parameter tL bestimmen, das ist also eine bestimmte Zahl, die uns dann zum Lotfußpunkt auf dieser Geraden führt. Und der Abstand von P auf g ist dann letzten Endes dieser hier. Das heißt, wir nehmen den Ortsvektor zu P, ziehen den Ortsvektor zum Lotfußpunkt davon ab und bilden dann den Betrag des Differenzvektors und das ist der Abstand. Dann können wir konkret werden. Wir haben also unsere Gerade g1, da ist sie. Und wir suchen jetzt hier diesen bestimmten Parameter rL. Unser Punkt ist der Punkt mit diesen Koordinaten, ja, und deshalb setzen wir den Ortsvektor zu diesem Punkt hier ein. Und das hier ist dieses b, also der Richtungsvektor unserer Geraden g1. Dann können wir mit den Umformungen beginnen. Zunächst mal können wir diese Differenz hier ausrechnen, dieser beiden Vektoren und das dann hier hin schreiben. Ansonsten hat sich hier nichts geändert. Dann können wir weiter umformen. Ja, jetzt geht es um das Skalarprodukt. So sieht das aus, ja. Wenn man die erste Koordinate nimmt, rechnet man (2 + rL * 2) * 2, das ist das, was hier steht. Das haben wir hier in der zweiten Koordinate und bei der dritten Koordinate ist es dann relativ einfach, weil hier eine null steht und da eine eins steht und da auch. Dann kann man hier noch die Klammern auflösen und das Ganze soll dann gleich Null sein. Also das ist hier eine Gleichheitskette und da ist dann die rechte Seite der Gleichung quasi. Naja, das kann man jetzt weiter umformen mit einer oder zwei Äquivalenzumformungen und wir haben dann den Parameter rL und der ist gleich -8/9. Dann können wir -8/9 in die erste Gleichung einsetzen, ja. Nochmal zur Erinnerung, hier ist die erste Gerade. Und für r haben wir hier -8/9 stehen. Dann kommt das hier heraus, also 1/9 * (-7 25 1). Man hätte natürlich auch diese 1/9 hier mit reinschreiben können, dann wäre der Vektor so groß geworden. Um das zu vermeiden, nur von der Schreibweise her, kann man die 1/9 auch davor ziehen. Das ist also der Vektor mit den Koordinaten des Lotfußpunktes. Genauer gesagt der Punkt mit diesen Koordinaten hier ist der Lotfußpunkt des Punktes mit diesen Koordinaten auf die Gerade g1. Und jetzt brauchen wir noch einen Differenzvektor, und zwar den hier, ja. Ortsvektor zum Punkt, also der hier, minus Ortsvektor zum Lotfußpunkt, also der hier. Und dann müssen wir noch diesen Betrag davon bestimmen. Hier ist erstmal ausgerechnet worden, ja, diese Differenz hier ist ausgerechnet worden. Und der Betrag eines Vektors ist ja nun die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Ja, das kann man so aufschreiben. Und es kommt raus 2/3 * Wurzel(2). Und das ist nun der Abstand dieser beiden gegebenen Geraden. So, das war es dazu. Schauen wir uns nochmal kurz an, wie wir vorgegangen sind: Wir haben also den Endpunkt des Stützvektors der einen Geraden genommen und haben den Lotfußpunkt dieses Punktes auf diese Gerade berechnet. Das war die eine Rechnung. Und dann haben wir noch den Betrag des Differenzvektors bestimmt, das war die andere Rechnung. Nur zwei Rechnungen bis zum Glück. Viel Spaß damit. Tschüss.

Abstand paralleler Geraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand paralleler Geraden kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Vorgehensweise bei der Berechnung des Abstandes zweier paralleler Geraden.

    Tipps

    Der Abstand von einem Punkt $P$ der ersten Geraden zur zweiten Geraden $g$ ist dann am kürzesten, wenn ihre Verbindung senkrecht auf der Geraden $g$ steht.

    Diese kürzeste Verbindung, deren Länge wir bestimmen möchten, erhalten wir, indem wir ein Lot auf die zweite Gerade fällen.

    Lösung

    Gegeben seien die folgenden beiden Geraden:

    $ \begin{array}{lll} g_1: && \vec{x}=\vec{OP}+r\cdot\vec{d} \\ g_2: && \vec{x}=\vec{a}+t\cdot\vec{b} \\ \end{array} $

    Wir wollen den Abstand dieser beiden Geraden bestimmen. Dazu wird zunächst ausgehend vom Stützvektor $\vec{OP}$ der Geraden $g_1$ ein Lot auf die Gerade $g_2$ gefällt, um den Lotfußpunkt auf der Gerade $g_2$ zu bestimmen.

    Dies erfolgt, indem die Gleichung $\left(\vec{a}+t_L\cdot\vec{b}-\vec{OP}\right) *\vec{b}=0$ nach dem Parameter $t_L$ umgestellt und dieser berechnet wird.

    Anschließend muss der Parameter $t_L$ in die Geradengleichung $g_2$ für $t$ eingesetzt und der Ortsvektor $\vec{OL}$ bestimmt werden. Dieser Ortsvektor entspricht dem gesuchten Lotfußpunkt.

    Im nächsten Schritt muss nur noch der Abstand der Ortsvektoren $\vec{OP}$ und $\vec{OL}$ berechnet werden. Dieser entspricht nämlich dem Abstand der beiden parallelen Geraden. Es resultiert:

    $d(g_1;g_2)=\left|\ \vec{OP}-\vec{OL}\ \right|$.

  • Berechne die Längen und Skalarprodukte der gegebenen Vektoren.

    Tipps

    Ein Skalarprodukt wird wie folgt gebildet:

    $\left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right) *\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)=ad+be+cf$.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $\left( \begin{array}{r}1\\2\\2\end{array} \right) *\left( \begin{array}{r}3\\2\\3\end{array} \right)=1\cdot 3+2\cdot 2+2\cdot 3=13$.

    Den Abstand zweier Ortsvektoren berechnest du wie folgt:

    $\left| \left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}a-d\\b-e\\c-f\end{array} \right)\right|=\sqrt{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}$.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $\left| \left( \begin{array}{r}6\\2\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}2\\2\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}6-2\\2-2\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}4\\0\end{array} \right)\right|=\sqrt{4^2+0^2}=\sqrt{16}=4$.

    Lösung

    Bevor wir die Berechnung für die Abstände sowie für Skalarprodukte durchführen, soll hier die allgemeine Formel für die Berechnung gezeigt werden.

    Skalarprodukt zweier Vektoren

    $\left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right) *\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)=ad+be+cf$

    Abstand zweier Vektoren

    $\left| \left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}a-d\\b-e\\c-f\end{array} \right)\right|=\sqrt{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}$

    Dieses Vorgehen wenden wir nun auf unsere Beispiele an.

    Beispiel 1

    $\left( \begin{array}{r}2\\-1\\4\end{array} \right) *\left( \begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array} \right)=2\cdot 1+ (-1)\cdot (-1)+4\cdot 2=11$

    Beispiel 2

    $\left| \left( \begin{array}{r}15\\6\\4\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}12\\2\\4\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{c}15-12\\6-2\\4-4\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}3\\4\\0\end{array} \right)\right|=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5$

    Beispiel 3

    $\left| \left( \begin{array}{r}-2\\10\\9\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}-4\\4\\6\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{c}-2-(-4)\\10-4\\9-6\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}2\\6\\3\end{array} \right)\right|=\sqrt{2^2+6^2+3^2}=\sqrt{49}=7$

    Beispiel 4

    $\left( \begin{array}{r}8\\-3\\6\end{array} \right) *\left( \begin{array}{r}2\\-1\\1\end{array} \right)=8\cdot 2+ (-3)\cdot (-1)+6\cdot 1=25$

  • Gib den Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden an.

    Tipps

    Hier siehst du die Formel, um den Parameter $r_L$ zu berechnen.

    $\left[\left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}-1\\3\\1\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right)=0$

    Beachte, dass es sich bei der Multiplikation der großen Klammer und dem Vektor $\left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right)$ um ein Skalarprodukt handelt. Ein Skalarprodukt wird wie folgt gebildet:

    $\left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right) *\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)=ad+be+cf$.

    Den Abstand zweier Ortsvektoren berechnest du wie folgt:

    $\left| \left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}a-d\\b-e\\c-f\end{array} \right)\right|=\sqrt{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}$.

    Lösung

    Wir betrachten folgende beiden Geradengleichungen:

    $ \begin{array}{llllccc} \\ g_1: && \vec{x} & = & \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) & +\ r\ \cdot & \left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right) \\ \\ g_2: && \vec{x} & = & \left( \begin{array}{r}-1\\3\\1\end{array} \right) & +\ s\ \cdot & \left( \begin{array}{r}-0,5\\0,5\\-0,25\end{array} \right) \\ \\ \end{array} $

    Nun wollen wir den Abstand dieser Geraden berechnen. Dazu wird, ausgehend vom Stützvektor $\left( \begin{array}{r}-1\\3\\1\end{array} \right)$ der Geraden $g_2$, ein Lot auf die Gerade $g_1$ gefällt, um den Lotfußpunkt auf der Gerade $g_1$ zu ermitteln.

    Dies erfolgt, indem die folgende Gleichung nach $r_L$ umgeformt und berechnet wird:

    $\left[\left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}-1\\3\\1\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right)=0$.

    Es folgt:

    $\left[\left( \begin{array}{r}2\\-2\\0\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right)=\left( 2+r_L\cdot 2\right)\cdot 2+\left( -2+r_L\cdot (-2)\right) \cdot(-2)+\left( 0+r_L\cdot 1\right)\cdot 1=0$.

    Nun muss die Gleichung vereinfacht und nach dem Parameter $r_L$ aufgelöst werden:

    $ \begin{array}{llrll} \\ \left( 2+r_L\cdot 2\right)\cdot 2+\left( -2+r_L\cdot (-2)\right)\cdot (-2)+\left( 0+r_L\cdot 1\right)\cdot 1 & = & 0 &&\\ 4+4\cdot r_L+4+4\cdot r_L+r_L & = & 0 &&\\ 8+9\cdot r_L & = & 0 && \vert -8\\ 9\cdot r_L & = & -8 && \vert :9 \\ r_L & = & -\frac{8}{9} && \\ \\ \end{array} $

    Anschließend wird der Parameter $r_L = -\frac{8}{9}$ in die Geradengleichung $g_1$ an Stelle von $r$ eingesetzt und der Ortsvektor $\vec{OL}$ bestimmt. Dieser Ortsvektor entspricht dem gesuchten Lotfußpunkt.

    $ \begin{array}{llrcc} \\ \vec{OL} & = & \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) & +\ -\frac{8}{9}\ \cdot & \left( \begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array} \right) \\ \vec{OL} & = & \frac{1}{9}\cdot\left( \begin{array}{r}9\\9\\9\end{array} \right) & +\ \frac{1}{9}\ \cdot & \left( \begin{array}{r}-16\\16\\-8\end{array} \right)\\ \vec{OL} & = & \frac{1}{9}\cdot\left( \begin{array}{r}-7\\25\\1\end{array} \right) &&\\ \\ \end{array} $

    Im nächsten Schritt muss nur noch der Abstand der Ortsvektoren $\left( \begin{array}{r}-1\\3\\1\end{array} \right)$ und $\vec{OL}$ berechnet werden. Dieser entspricht nämlich dem Abstand der beiden parallelen Geraden. Es resultiert:

    $d(g_1;g_2)=\left|\ \left( \begin{array}{r}-1\\3\\1\end{array} \right)-\frac{1}{9}\cdot\left( \begin{array}{r}-7\\25\\1\end{array} \right)\ \right|=\left|\ \frac{1}{9}\left( \begin{array}{r}-2\\2\\8\end{array} \right) \right|=\sqrt{\frac{4}{81}+\frac{4}{81}+\frac{64}{81}}=\sqrt{\frac{72}{81}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$.

    Der Abstand von $g_1$ und $g_2$ ist also $\frac23\sqrt2$.

  • Ermittle den Abstand zwischen den jeweiligen Geraden.

    Tipps

    Gegeben sind folgende parallele Geraden in allgemeiner Form:

    $ \begin{array}{lllll} \\ g_1: && \vec{x} & = & \vec{a} + r \cdot \vec{b} \\ \\ g_2: && \vec{x} & = & \vec{c} + s \cdot \vec{d} \\ \\ \end{array} $

    Um den Abstand zwischen diesen Geraden zu berechnen, wird ausgehend vom Stützvektor $\vec{c}$ der Geraden $g_2$ ein Lot auf die Gerade $g_1$ gefällt. So ermitteln wir den Lotfußpunkt auf der Gerade $g_1$. Dafür wird zunächst der Parameter $r_L$ berechnet, indem folgende Gleichung gelöst wird:

    $\left(\vec{a}+r_L\cdot\vec{b}-\vec{c}\right) *\vec{b}=0$.

    Der Parameter $r_L$, eingesetzt in die Geradengleichung $g_1$, liefert den Lotfußpunkt $\vec{OL}$. Den Abstand der beiden Geraden erhältst du, indem du den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt $\vec{OL}$ und dem Stützvektor $\vec{c}$ berechnest.

    Für den Abstand zweier Ortsvektoren gilt allgemein:

    $\left| \left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}a-d\\b-e\\c-f\end{array} \right)\right|=\sqrt{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}$.

    Lösung

    Das Vorgehen bei dieser Aufgabe soll am Beispiel der ersten Aufgabe verdeutlicht werden.
    $ \begin{array}{lcc} \\ g_1: && \vec{x} & = & \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) & +\ r\ \cdot & \left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) \\ \\ g_2: && \vec{x} & = & \left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right) & +\ s\ \cdot & \left( \begin{array}{r}4\\4\\2\end{array} \right) \\ \\ \end{array} $
    Wir fällen ausgehend von dem Stützvektor der Geraden $g_2$ ein Lot auf die Gerade $g_1$, um so den Lotfußpunkt auf der Geraden $g_1$ zu berechnen.

    Dafür ermitteln wir zunächst den Parameter $r_L$ folgender Gleichung:
    $ \begin{array}{lll} \\ \left[\left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) & = & 0 \\ \left[\left( \begin{array}{r}0\\0\\1\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) & = & 0 \\ \\ \end{array} $
    Nach dem Ausführen des Skalarproduktes ergibt sich folgende lineare Gleichung:
    $ \begin{array}{llrll} \\ (0+r_L\cdot 2)\cdot 2+(0+r_L\cdot 2)\cdot 2+(1+r_L\cdot 1)\cdot 1 & = & 0 &&\\ 4\cdot r_L+4\cdot r_L+1+r_L & = & 0 &&\\ 1+9\cdot r_L & = & 0 && \vert -1\\ 9\cdot r_L & = & -1 && \vert :9 \\ r_L & = &-\frac{1}{9} && \\ \\ \end{array} $
    Der Parameter $r_L$ wird nun in die Geradengleichung $g_1$ eingesetzt und liefert folgenden Vektor für den Lotfußpunkt:
    $ \begin{array}{ll} \\ g_1: & \vec{OL} = \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) + \left(-\frac{1}{9}\right) \cdot \left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right)=\frac{1}{9}\left( \begin{array}{r}7\\7\\8\end{array} \right) \\ \\ \end{array} $
    Im nächsten Schritt muss nur noch der Abstand der Ortsvektoren $\left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right)$ und $\frac{1}{9}\left( \begin{array}{r}7\\7\\8\end{array} \right)$ berechnet werden. Dieser entspricht nämlich dem Abstand der beiden parallelen Geraden. Es resultiert:

    $d(g_1;g_2)=\left|\ \left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right)-\frac{1}{9}\cdot\left( \begin{array}{r}7\\7\\8\end{array} \right)\ \right|=\left|\ \frac{1}{9}\left( \begin{array}{r}2\\2\\-8\end{array} \right) \right|=\sqrt{\frac{4}{81}+\frac{4}{81}+\frac{64}{81}}=\sqrt{\frac{72}{81}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$.

    Der gesuchte Abstand ist also $d(g_1;g_2) = \frac23\sqrt2$.

  • Bestimme ausgehend vom Ortsvektor $\vec{OP}$ den Lotfußpunkt $\vec{OL}$ auf der Geraden $g$.

    Tipps

    Gegeben sei die Gerade $g$:

    $ \begin{array}{lll} \\ g: && \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b} \\ \\ \end{array} $

    Wir wollen nun den Lotfußpunkt $\vec{OL}$ bestimmen.

    Dazu musst du zunächst den Parameter $r_L$ berechnen. Für die Berechnung kannst du folgende Gleichung verwenden:

    $\left(\vec{a}+r_L\cdot\vec{b}-\vec{OP}\right) *\vec{b}=0$.

    Achte hierbei auf das Skalarprodukt.

    Der berechnete Paramater $r_L$, eingesetzt in die Geradengleichung $g$, liefert dir den gesuchten Lotfußpunkt $\vec{OL}$.

    Lösung

    Das Vorgehen bei dieser Aufgabe soll am Beispiel der ersten Aufgabe verdeutlicht werden. Wir fällen ausgehend von dem Ortsvektor $\vec{OP}$ ein Lot auf die gegebene Gerade $g$.

    Wir betrachten die Gerade $g$:

    $ \begin{array}{lll} \\ g: && \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b} \\ \\ \end{array} $

    Nun wollen wir den Lotfußpunkt $\vec{OL}$ auf $g$ berechnen.

    Dazu müssen wir zunächst den Parameter $r_L$ der folgenden Gleichung berechnen:

    $\left(\vec{a}+r_L\cdot\vec{b}-\vec{OP}\right) *\vec{b}=0$.

    Diesen Parameter setzen wir dann in die Geradengleichug $g$ ein und erhalten dann den Lotfußpunkt.

    $ \begin{array}{lll} \\ g: && \vec{OL}=\vec{a}+r_L\cdot\vec{b} \\ \\ \end{array} $

    Dieses Vorgehen wenden wir nun auf die erste Aufgabe an. Wir haben Folgendes gegeben:

    $ \begin{array}{lcc} g: & \vec{x} = \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) & \end{array} $ und $ \begin{array}{lc} & \vec{OP}=\left( \begin{array}{r}5\\5\\5\end{array} \right) \end{array} $

    Im ersten Schritt bestimmen wir den Parameter $r_L$. Es folgt:

    $ \begin{array}{lll} \left[\left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}5\\5\\5\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) & = & 0 \\ \left[\left( \begin{array}{r}-4\\-4\\-4\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) & = & 0 \end{array} $

    Nach dem Ausführen des Skalarproduktes ergibt sich folgende lineare Gleichung:

    $ \begin{array}{llrll} (-4+r_L\cdot 2)\cdot 2+(-4+r_L\cdot 2)\cdot 2+(-4+r_L\cdot 1)\cdot 1 & = & 0 &&\\ -8+4\cdot r_L-8+4\cdot r_L-4+r_L & = & 0 &&\\ -20+9\cdot r_L & = & 0 && \vert +20\\ 9\cdot r_L & = & 20 && \vert :9 \\ r_L & = & \frac{20}{9} && \\ \\ \end{array} $

    Der Parameter $r_L$ wird nun in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und liefert folgenden Vektor für den Lotfußpunkt:

    $ \begin{array}{lcc} g: & \vec{OL} = \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) + \frac{20}{9} \cdot \left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right)=\frac{1}{9}\left( \begin{array}{r}49\\49\\29\end{array} \right)& \end{array} $

    Wenn man den Vektor seitlich aufschreibt, markiert man dies durch ein kleines $T$ über dem Vektor.

    $\vec{OL}=\frac{1}{9}(49,\ 49,\ 29)^T$

    Das Fachwort lautet transponierter Vektor.

  • Bestimme den Abstand folgender paralleler Geraden.

    Tipps

    Gegeben:
    $ \begin{array}{lllll} \\ g_1: && \vec{x} & = & \vec{a} + r \cdot \vec{b} \\ \\ g_2: && \vec{x} & = & \vec{c} + s \cdot \vec{d} \\ \\ \end{array} $
    Für die Berechnung des Abstandes wird ausgehend vom Stützvektor $\vec{c}$ der Geraden $g_2$ ein Lot auf die Gerade $g_1$ gefällt.

    Für die Berechnung des Lotfußpunktes wird zuerst mit folgender Gleichung der Parameter $r_L$ bestimmt:

    $\left(\vec{a}+r_L\cdot\vec{b}-\vec{c}\right) *\vec{b}=0$.

    Anschließend wird der errechnete Wert in die Geradengleichung $g_1$ eingesetzt.

    Der Abstand der Geraden $g_1$ und $g_2$ entspricht dann dem Abstand der Ortsvektoren $\vec{c}$ und $\vec{OL}$.

    Den Abstand zweier beliebiger Vektoren erhalten wir wie folgt:

    $\left| \left( \begin{array}{r}a\\b\\c\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}d\\e\\f\end{array} \right)\right|=\left| \left( \begin{array}{r}a-d\\b-e\\c-f\end{array} \right)\right|=\sqrt{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}$.

    Lösung

    Im Folgenden soll das Vorgehen bei der Berechnung des Abstandes zweier paralleler Geraden am ersten Beispiel vorgerechnet werden.
    $ \begin{array}{lcc} \\ g_1: && \vec{x} & = & \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) & +\ r\ \cdot & \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) \\ \\ g_2: && \vec{x} & = & \left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right) & +\ s\ \cdot & \left( \begin{array}{r}2\\2\\2\end{array} \right) \\ \\ \end{array} $
    Wir fällen ausgehend von dem Stützvektor der Geraden $g_2$ ein Lot auf die Gerade $g_1$, um so den Lotfußpunkt auf der Geraden $g_1$ zu berechnen.

    Dafür ermitteln wir zunächst den Parameter $r_L$ folgender Gleichung:
    $ \begin{array}{lll} \\ \left[\left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) & = & 0 \\ \left[\left( \begin{array}{r}0\\0\\1\end{array} \right)+r_L\cdot\left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)\right] *\left( \begin{array}{r}2\\2\\1\end{array} \right) & = & 0 \\ \\ \end{array} $
    Nach dem Ausführen des Skalarproduktes ergibt sich folgende lineare Gleichung:
    $ \begin{array}{llrll} \\ (0+r_L\cdot 1)\cdot 1+(0+r_L\cdot 1)\cdot 1+(1+r_L\cdot 1)\cdot 1 & = & 0 &&\\ r_L+r_L+1+r_L & = & 0 &&\\ 1+3\cdot r_L & = & 0 && \vert -1\\ 3\cdot r_L & = & -1 && \vert :3 \\ r_L & = &-\frac{1}{3} && \\ \\ \end{array} $
    Der Parameter $r_L$ wird nun in die Geradengleichung $g_1$ eingesetzt und liefert folgenden Vektor für den Lotfußpunkt:
    $ \begin{array}{ll} \\ g_1: & \vec{OL} = \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) + \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right)=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{r}2\\2\\2\end{array} \right) \\ \\ \end{array} $
    Im nächsten Schritt muss nur noch der Abstand der Ortsvektoren $\left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right)$ und $\frac{1}{3}\left( \begin{array}{r}2\\2\\2\end{array} \right)$ berechnet werden. Dieser entspricht nämlich dem Abstand der beiden parallelen Geraden. Es resultiert:

    $d(g_1;g_2)=\left|\ \left( \begin{array}{r}1\\1\\0\end{array} \right)-\frac{1}{3}\cdot\left( \begin{array}{r}2\\2\\2\end{array} \right)\ \right|=\left|\ \frac{1}{3}\left( \begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array} \right) \right|=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}$

    Der gesuchte Abstand ist also $d(g_1;g_2) = \frac13\sqrt6$.