Absolute und relative Häufigkeit – Überblick

Absolute und relative Häufigkeit – Überblick Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Häufigkeiten.

  Tipps

  Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

  Das Verb „kumulieren“ bedeutet „ansammeln“ oder „anhäufen“.

  Es gilt:

  $\text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit} = \dfrac{\text{absolute H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$

  Zwei Aussagen stimmen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „Absoluten Häufigkeiten eigenen sich besonders, um Mengenverhältnisse zu vergleichen.“
    Wenn absolute Häufigkeiten auf unterschiedlichen Grundmengen basieren, ist ein Vergleich schwierig. Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen. Hier teilst du durch die jeweilige Grundmenge, dieser Faktor wird also herausgerechnet.

  • „Wenn etwas besonders oft vorkommt, liegt die relative Häufigkeit über $100\,\%$.“
    Die relative Häufigkeit liegt immer zwischen $0$ und $1$, also zwischen $0\,\%$ und $100\,\%$. Wenn etwas sehr häufig vorkommt, kann die relative Häufigkeit nahe an $100\,\%$ liegen, aber niemals darüber.

  
  

  Diese Aussagen sind richtig:

  • „Eine relative Häufigkeit berechnet man aus der absoluten Häufigkeit und der Grundmenge.“
    Es gilt: $\text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit} = \dfrac{\text{absolute H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$

  • „Kumulierte Häufigkeiten sind aufsummierte Häufigkeiten.“
    Das Verb „kumulieren“ bedeutet „ansammeln“ oder „anhäufen“. Für kumulierte Häufigkeiten summierst du verschiedene absolute Häufigkeiten auf und teilst sie gegebenenfalls durch die Grundmenge.

• Beschreibe die Berechnung von Häufigkeiten.

  Tipps

  Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl von zählbaren Objekten an.

  Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

  Lösung

  Der Lückentext vervollständigt sich so:

  Um die Anzahl von Rosinen in einer Nussmischung zu bestimmen, kannst du sie einfach zählen. In einer kleinen Packung befinden sich $8$ und in einer großen $20$ Rosinen. Die absolute Häufigkeit der Rosinen der kleinen Packung beträgt also $8$ und die der großen Packung $20$.

  (Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl von zählbaren Objekten an.)

  Die Gesamtmenge an Nüssen und Rosinen beträgt $40$ in der kleinen und $120$ in der großen Packung. Diese Größe nennt man auch Grundmenge. Damit lässt sich die relative Häufigkeit bestimmen:

  $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$

  Mit der relativen Häufigkeit lassen sich absolute Häufigkeiten mit unterschiedlicher Grundmenge besser vergleichen. Die relative Häufigkeit von Rosinen in der kleinen Packung beträgt:

  $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$

  Die relative Häufigkeit von Rosinen in der großen Packung beträgt:

  $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$

  Du kannst aber auch die Häufigkeiten der Nüsse bestimmen: In der kleinen Packung der Nussmischung befinden sich $12$ Erdnüsse und $20$ Mandeln. Um die Häufigkeit der Nüsse in der Packung zu berechnen, verwendest du kumulierte Häufigkeiten.

  Diese summieren die einzelnen Werte auf. Die kumulierte absolute Häufigkeit der Nüsse in der Packung beträgt $32$. Auch hier lässt sich eine relative Häufigkeit bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst. Die kumulierte relative Häufigkeit der Nüsse in der kleinen Packung beträgt also:

  $\text{kumulierte relative Häufigkeit}=\frac{\text{kumulierte absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$

• Bestimme die relativen Häufigkeiten.

  Tipps

  Um Häufigkeiten verschiedener Grundmengen zu vergleichen, musst du relative Häufigkeiten berechnen.

  Manchmal ist es nicht offensichtlich, welcher von zwei Brüchen größer ist. In solchen Fällen solltest du die zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringen und die Zähler vergleichen oder die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

  Lösung

  Um die Anteile in die richtige Reihenfolge vom kleinsten bis zum größten Anteil zu bringen, musst du die relativen Häufigkeiten ausrechnen. Für den ersten Anteil geht das wie folgt:

  $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}\approx 0,14$

  Die anderen Anteile kannst du analog berechnen. Damit ergibt sich folgende Reihenfolge der Anteile:

  Die Nussmischung enthält $3$ Mandeln bei insgesamt $21$ Nüssen:

  • relative Häufigkeit: $\frac{1}{7}\approx 0,14$

  Die Nussmischung enthält $5$ Rosinen bei einer Grundmenge von $25$:

  • relative Häufigkeit: $\frac{1}{5}= 0,2$

  Die Nussmischung enthält $10$ Rosinen bei einer Grundmenge von $30$:

  • relative Häufigkeit: $\frac{1}{3}\approx 0,33$

  Die Nussmischung enthält $12$ Erdnüsse bei insgesamt $21$ Nüssen:

  • relative Häufigkeit: $\frac{4}{7}\approx 0,57$

  Die Nussmischung enthält $15$ Erdnüssse bei einer Grundmenge von $25$:

  • relative Häufigkeit: $\frac{3}{5}=0,6$

  Die Nussmischung enthält $20$ Mandeln bei einer Grundmenge von $30$:

  • relative Häufigkeit: $\frac{2}{3}\approx 0,67$

• Bestimme die Art der Häufigkeit.

  Tipps

  Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl zählbarer Objekten an.

  Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich absoluter Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

  Lösung

  Die Aussagen können wie folgt zugeordnet werden:

  Absolute Häufigkeit

  • Es gibt $3$ blaue.
  • $2$ sind gelb.
  • Es gibt $4$ rote.

  Hier wird nur eine Anzahl der Bälle angegeben. Das ist also eine absolute Häufigkeit.

  Relative Häufigkeit

  • $\frac{1}{5}$ sind gelb.
  • $4$ von $10$ sind rot.
  • $30\,\%$ sind blau.
  • $10\,\%$ sind grün.

  Hier wird der Anteil von Bällen an einer Grundgesamtheit angegeben. Das ist eine relative Häufigkeit.

  Kumulierte absolute Häufigkeit

  • $5$ sind rot oder grün.
  • $6$ sind rot oder gelb.

  Hier werden zwei Anzahlen von Bällen zusammengezählt, also kumuliert.

• Bestimme die Art der Häufigkeit.

  Tipps

  Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl zählbarer Objekte an.

  Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

  Bei kumulierten Häufigkeiten wird etwas zusammengezählt.

  Lösung

  Die Beispiele für Häufigkeiten werden wie folgt zugeordnet:

  Absolute Häufigkeit

  • In einer Nussmischung befinden sich $8$ Rosinen.

  Hier wird nur eine Anzahl wiedergegeben. Das ist demnach eine absolute Häufigkeit.

  Relative Häufigkeit

  • In einer Nussmischung mit insgesamt $120$ Teilen befinden sich $20$ Rosinen. Das ergibt einen Anteil von $\frac{1}{6}$.

  Hier wird der Anteil an Rosinen an einer Grundgesamtheit angegeben. Das ist eine relative Häufigkeit.

  Kumulierte absolute Häufigkeit

  • In einer Nussmischung befinden sich $12$ Erdnüsse und $20$ Mandeln, also insgesamt $32$ Nüsse.

  Hier werden zwei Anzahlen an Nüssen zusammengezählt: Sie werden kumuliert.

  Kumulierte relative Häufigkeit

  • Der Anteil von insgesamt $32$ Nüssen verschiedener Art an einer Nussmischung von $40$ Teilen beträgt $\frac{4}{5}$.

  Um den Anteil der Nüsse zu bestimmen, mussten verschiedene Nüsse zusammengezählt und durch die Grundmenge geteilt werden. Es handelt sich demzufolge um eine kumulierte relative Häufigkeit.

• Bestimme die relativen Häufigkeiten.

  Tipps

  Um von der relativen auf die absolute Häufigkeit zurückzurechnen, musst du die Formel für die Berechnung der relativen Häufigkeit umstellen.

  Möchte man den Anteil über beide befragten Gruppen bestimmen, muss man die absoluten Häufigkeiten und die Grundmenge kumulieren.

  Hast du eine relative Häufigkeit und die Grundmenge gegeben, kannst du auf die absoluten Häufigkeiten zurückrechnen, indem du die Formel umstellt und die Werte einsetzt. Das Umstellen funktioniert so:

  $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}$

  Wir multiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung mit der $\text{Grundmenge}$ und erhalten:

  $\text{absolute Häufigkeit} = \text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Grundmenge}$

  Lösung

  Folgendes wird richtig eingesetzt:

  „In Berlin wurden $138$ Menschen befragt. Die kumulierten Häufigkeiten der Antworten sind:

  • Hummus: $63$
  • Marmelade: $54$
  • Senf: $21$“

  Die relativen Häufigkeiten kannst du wie gewohnt berechnen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst:

  $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{63}{138}\approx0,46$

  „Die relativen Häufigkeiten betragen damit:

  • Hummus: $0,46$
  • Marmelade: $0,39$
  • Senf: $0,15$

  In Karlsruhe wurden hingegen insgesamt $60$ Menschen befragt. Die relativen Häufigkeiten der Antworten betragen:

  • Hummus: $0,57$
  • Marmelade: $0,20$
  • Senf: $0,23$“

  Du kannst auf die absoluten Häufigkeiten zurückrechnen, indem du die Formel umstellst und die Werte einsetzt:

  $\begin{array}{llll} \text{relative Häufigkeit}&=& \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}} & \vert \cdot \text{Grundmenge} \\ \text{absolute Häufigkeit}&=&\text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Grundmenge} \\ \end{array}$

  „Diese betragen:

  • Hummus: $34$
  • Marmelade: $12$
  • Senf: $14$

  Die Forscher*innen möchten allerdings hauptsächlich herausfinden, wie viele Menschen keine süßen Brotaufstriche mögen. Deshalb berechnen sie die kumulierten absoluten Häufigkeiten von Hummus und Senf in beiden Städten. Diese betragen in:

  • Berlin: $84$
  • Karlsruhe: $48$“

  Du berechnest die kumulierte absolute Häufigkeit, indem du die absoluten Häufigkeiten von Hummus und Senf addierst.

  „Mit den kumulierten relativen Häufigkeiten können die Forschenden bestimmen, welcher Anteil an Menschen keine süßen Brotaufstriche mag. Diese Häufigkeiten betragen in:

  • Berlin: $0,61$
  • Karlsruhe: $0,80$“

  Du bestimmst die kumulierte relative Häufigkeit, indem du die kumulierte absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst.

  „Die Forscher*innen möchten jetzt noch feststellen, welcher Anteil an allen befragten Menschen gern Marmelade isst. Dazu berechnen sie die kumulierte relative Häufigkeit aller Befragten. Hier ergibt sich $0,33$.“

  Diesen Wert bestimmst du, indem du die absoluten Häufigkeiten von Marmelade in beiden Städten addierst und durch die Summe der Grundmengen teilst:

  $\frac{54+12}{138+60}\approx0,33$