Ableitungen – Summenregel

Ableitungen – Summenregel Übung

• Gib die Summenregel zum Ableitung der Summe von Funktionen an.

  Tipps

  Schaue dir ein Beispiel an. Es gilt:

  • $(x^3)'=3x^2$ und
  • $(3x)'=3$.

  Damit ist $(x^3+3x)'=3x^2+3$.

  Merke dir:

  • Summand plus Summand gleich Summe und
  • Faktor mal Faktor gleich Produkt.

  Aber auch eine Differenz ist von der Summandenregel betroffen. Warum? Jede Differenz kann auch als Summe geschrieben werden:

  $a-b=a+(-b)$.

  Lösung

  Wenn zu einer Funktion $f(x)$ eine weitere Funktion $g(x)$ addiert wird, erhält man eine Summenfunktion $f(x)+g(x)$. Wenn diese Summenfunktion abgeleitet werden soll, kann jeder Summand, also $f(x)$ und $g(x)$, einzeln abgeleitet werden. Die Ableitungen werden addiert:

  $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

  Das bedeutet: Die Summe der Ableitungen ist die Ableitung der Summe.

• Leite die Funktion jeweils ab.

  Tipps

  Natürlich ist

  $-19\cdot 19x^{18}-0=-19\cdot 19x^{18}$.

  Wenn du die Ableitung von zwei Funktionen kennst, kennst du auch die Ableitung der Summe dieser Funktionen, nämlich die Summe der Ableitungen.

  Schaue dir dieses Beispiel an: Es soll $2x^2-5x$ abgeleitet werden:

  • $(2x^2)'=4x$ und
  • $(5x)'=5$.
  • Damit ist $(2x^2-5x)'=4x-5$.

  Lösung

  Willst du eine Summe ableiten, so leitest du jeden Summanden ab. Zum Schluss addierst du die Ableitungen.

  Wir schauen uns dies an zwei Beispielen jeweils Schritt für Schritt an:

  Wir wollen die Ableitung $(x^2+x)'$ berechnen:

  • $(x^2)'=2x$ und
  • $(x)'=1$.
  • Damit ist $(x^2+x)'=2x+1$.

  Ebenso kann die nächste Ableitung bestimmt werden: $(-19x^{19}-1)'$:

  • $(-10x^{19})'=-19\cdot 19x^{18}$ und
  • $(1)'=0$.
  • Zusammen ergibt sich $(-19x^{19}-1)'=-19\cdot 19x^{18}-0=-19\cdot 19x^{18}$.

• Untersuche die folgenden Ableitungen.

  Tipps

  Die Fehler tauchen nur in der Anwendung der Summenregel auf.

  Die Potenzregel ist jeweils richtig angewendet worden.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  $(x^{-2}+x^{2})'=(-2)\cdot x^{-3}+2x$.

  Das Minus bezieht sich nur auf den ersten Summanden.

  Falsch wäre hier $(x^{-2}+x^{2})'=(-2)\cdot x^{-3}-2x$.

  Insgesamt wurden fünf Fehler gemacht.

  Lösung

  Wenn du eine Summe ableiten sollst, leitest du Summand für Summand ab. Die Rechenzeichen bleiben stehen:

  1. $(3x^2+4x+8)'=6x+4$
  2. $(3x^{-2}+4x^2+8x)'=-6x^{-3}+8x+8$. Das Minuszeichen am Anfang hat keine Auswirkung auf die folgenden Rechenzeichen.
  3. $(x^5+3x^3-2x^2+x-5)'=5x^4+9x^2-4x+1$
  4. $(4x^8+3x^5-4x^4+x^3-5x)'=32x^7+15x^4-16x^3+3x^2-5$

• Bestimme jeweils die Ableitung der Funktionsterme.

  Tipps

  Achte darauf, dass die Rechenzeichen richtig übertragen werden.

  Du kannst jeden einzelnen Summanden ableiten und dann die Ableitungen mit den gleichen Rechenzeichen verbinden wie in dem Term, welcher abgeleitet wird.

  Schaue dir ein Beispiel an: $16x^3-6x-4$.

  • Es ist $(16x^3)'=48x^2$,
  • $(6x)'=6$ und
  • $(4)'=0$.
  • Damit ist ingesamt $(16x^3-6x-4)'=48x^2-6-0=48x^2-6$.

  Lösung

  An den nun folgenden Beispielen sollst du noch einmal sehr deutlich sehen, dass du Summen ableitest, indem du jeden einzelnen Summanden ableitest. Die Rechenzeichen bleiben erhalten.

  Betrachten wir zunächst $3x^3-2x^2+x$.

  Zunächst berechnest du die einzelnen Ableitungen:

  • $(3x^3)'=9x^2$,
  • $(2x^2)'=4x$ und
  • $(x)'=1$.

  Nun fehlen nur noch die Rechenzeichen: $(3x^3-2x^2+x)'=9x^2-4x+1$.

  Ermitteln wir nun die Ableitung der Funktionsterms $-3x^3+2x^2+x$.

  Die einzelnen Ableitungen hast du bereits bei dem Beispiel vorher berechnet. Achte auf die Rechenzeichen:

  $(-3x^3+2x^2+x)'=-9x^2+4x+1$.

  Wie sieht es bei dem Term $4x^4+3x^2+4x$ aus?

  Auch hier berechnest du zunächst wieder die einzelnen Ableitungen:

  • $(4x^4)'=16x^3$,
  • $(3x^2)'=6x$ und
  • $(4x)'=4$.

  Fast fertig: $(4x^4+3x^2+4x)'=16x^3+6x+4$.

  Zuletzt wollen wir noch die Ableitung zu $4x^4-3x^2-4x$ ermitteln.

  Auch hier musst du auf die Rechenzeichen achten: $(4x^4-3x^2-4x)'=16x^3-6x-4$.

• Beschreibe, was eine Summe ist.

  Tipps

  Eine Summe ist zum Beispiel dieser Term:

  $2x+4$.

  Keine Summe, sondern ein Produkt, ist der Term $2(x+4)$.

  Auch dieser Term ist eine Summe: $2x-4$.

  Ein Term, in welchem die letzte Rechnung, die durchgeführt wird, eine Punktrechnung ist, wird als Produkt bezeichnet.

  • $2(x+4)$ ist ein Produkt.
  • Ebenso ist $\frac2{x+4}$ ein Produkt.

  Lösung

  Eine Summe ist ein Term, den du ausrechnen kannst.

  Wenn die letzte Rechnung, die durchgeführt wird, eine Strichrechnung ist, spricht man von einer Summe.

  Da auch die Subtraktion eine Strichrechnung ist, sind auch Terme wie $2x-3$ eine Summe.

  Man könnte die Ableitungsregel natürlich auch so schreiben:

  $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.

  Das bedeutet: Du leitest jeden einzelnen Term ab und verwendest die gleichen Rechenzeichen wie bei der Funktion, die abgeleitet werden soll.

• Berechne jeweils die Ableitung an der Stelle $x=1$.

  Tipps

  Es kommen jeweils natürliche Zahlen heraus.

  Zum Beispiel ist die Ableitung von $f(x)=3x^2-4x+1$ gegeben durch:

  $f'(x)=6x-4$.

  Setze nun $x=1$ in diese Ableitung ein.

  Die Summe der vier Werte ist $11$.

  Lösung

  Mit Ableitungen lassen sich viele tolle Dinge machen.

  Die erste Ableitung steht für die Steigung einer Tangente. Es kann passieren, dass du die erste Ableitung an einer Stelle berechnen musst. Wenn du eine Funktion auf Extrema untersuchst, muss die erste Ableitung $0$ sein. Hier müsstest du eine Gleichung lösen.

  In dieser Aufgabe sollst du jeweils eine Ableitung ermitteln und diese an einer bestimmten Stelle ausrechnen:

  1. $f(x)=3x^2-4x+1$ hat die Ableitung $f'(x)=6x-4$. Damit ist $f'(1)=6\cdot 1-4=6-4=2$.
  2. Die Ableitung zu $g(x)=x^4-4$ ist $g'(x)=4x^3$. Damit ist $g'(1)=4\cdot 1^3=4\cdot 1=4$.
  3. $h(x)=x^3-2x^2+4x+8$. Die Ableitung dieser Funktion ist $h'(x)=3x^2-4x+4$ und somit $h'(1)=3\cdot 1^2-4\cdot 1+4=3$.
  4. Die Funktion $k(x)=x^7-x^6+x^5-x^4$ hat die Ableitung $k'(x)=7x^6-6x^5+5x^4-4x^3$. Somit ist $k'(1)=7\cdot 1^6-6\cdot 1^5+5\cdot 1^4-4\cdot 1^3=7-6+5-4=2$.