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Ableitungen – Beispiele (5)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Ableitungen – Beispiele (5)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ableitungen – Beispiele (5)

Herzlich Willkommen zum Video „ Ableitungen - einfache Beispiele 5 “. Im vorliegenden Lehrfilm wird die Funktion f ( x ) = x5 - 6x3 abgeleitet. Zunächst werden dir die Summenregel, die Potenzregel sowie die Faktorregel noch einmal vorgestellt. Wie leitet man nun die Funktion f ( x ) ab? Welche Ableitungsregeln musst du verwenden? Versuche die Ableitung zunächst selbständig zu bilden. Nur so kannst du überprüfen, ob du die verschiedenen Ableitungsregeln richtig anwenden kannst. Halte hierzu das Video an. Im Anschluss kannst du mithilfe des vorliegenden Lehrvideos dein Ergebnis prüfen. Viel Erfolg beim Ableiten!

Transkript Ableitungen – Beispiele (5)

Hallo, hier habe ich noch einmal die 3 Regeln aufgeschrieben, die wir brauchen, um ganz rationale Funktionen abzuleiten. Das sind Funktionen, die ein Polynom als Funktionsterm haben können, ganz allgemein gesprochen. Und ich möchte jetzt hier ein kleines Beispiel zeigen x5-6x3, die Zahl ist letzten Endes egal. So, das soll abgeleitet werden, das heißt wir wollen hier stehen haben ein f'(x)=. Wir stellen als erstes fest, es handelt sich hier bei diesem Funktionsterm  um eine Summe, das heißt, wir verwenden Regel Nr. 2. Wenn man 2 Summanden hat, die einen Funktionsterm ergeben und der soll jetzt abgeleitet werden, dann darf man summandenweise ableiten und hinterher beides addieren. Der 1. Summand ist x5. x5 können wir ableiten nach der Potenzregel, wenn wir für n 5 einsetzen. Dann steht da also als Ableitung hier 5×x5-1. Es folgt der 2. Summand, um den wir uns jetzt kümmern. Das ist -6×x3. Hier greift wieder die Faktorregel. Eine konstante Zahl k wird mit einem Term multipliziert, das ist der Funktionsterm und das Ganze soll abgeleitet werden. Dann bleibt einfach diese konstante Zahl, dieser Faktor, stehen und wir müssen nur noch den Rest ableiten. Also dann hier das x3 und da also dieser konstante Faktor, nämlich hier -6, stehen bleibt, schreibe ich den auch jetzt hin. x3 müssen wir ableiten nach der Potenzregel, wenn man für n nämlich 3 einsetzt, steht hier als Ableitung 3×x3-1. Hier das Aufräumen nicht vergessen. 5 bleibt stehen × x4. 5×x4-18x2 bleibt übrig. Übrigens hier hätte man auch das x ausklammern können, das hätte aber nichts gebracht in dem Fall, dann wäre der ganze Ausdruck in der Ableitung oder in der Methode, wie man dann zur Ableitung kommt, viel, viel komplizierter geworden. Nur nebenbei gemerkt, falls jemand darauf kommen sollte, ein Distributivgesetz oder das Distributivgesetz anzuwenden. Noch eine Bemerkung hier zu der ganzen Sache. Das kann man auch mit dem Taschenrechner machen. Viele Taschenrechner können das. Warum zeige ich das nicht mit dem Taschenrechner? 1. weil ich finde, dass das hier so einfach ist, dass das wirklich auch ohne Taschenrechner geht, also wenn ich irgendwann zum Klo gehe, dann fahre ich da auch nicht mit dem Rollstuhl hin, einfach weil ich dahin laufen kann. Und das hier kannst du auch selber rechnen, da brauchst du keine Krücke in Form eines Taschenrechners. Außerdem 2. Punkt ist die Bedienungsanleitung dieses Taschenrechners viel, viel komplizierter als diese 3 Regeln, die du anwenden kannst, um ganzrationale Funktionen abzuleiten. Und 3. wenn ich jetzt etwas mit einem Taschenrechner zeige, ist das, wenn du den Film siehst, wahrscheinlich veraltet, weil das neue Model da ist des Taschenrechners und das würde überhaupt keinen Sinn machen hier irgendwas mit einem Taschenrechner vorzumachen und deshalb lasse ich das einfach. Hier die Sachen sind ziemlich simpel, ziemlich einfach. Es gibt bei den ganzrationalen Funktionen keine Ausnahmen, man kann immer gerade durchrechnen und deshalb zeige ich hier, wie es geht, in den nächsten Beispielen dann auch noch. Viel Spaß, tschüss.

Ableitungen – Beispiele (5) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitungen – Beispiele (5) kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere, wie die Funktion abgeleitet werden kann.

    Tipps

    Ein Term der Form $a^n$ ist eine Potenz.

    Die Potenzregel lautet: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Wenn du das Vielfache einer Funktion ableiten möchtest, kannst du auch die Funktion ableiten und die so erhaltene Ableitung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

    Dies ist die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Es gilt

    • Summand + Summand = Summe
    • Minuend - Subtrahend = Differenz
    • Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt
    • Dividend : Divisor = Quotient.

    Lösung

    Es soll die Funktion $x^5-6x^3$ abgeleitet werden.

    Da es sich um eine Summe von $x^5$ und $-6x^3$ handelt, verwendet man hierfür die Summenregel, $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.

    Das bedeutet, dass jeder Summand für sich abgeleitet wird und die jeweiligen Ableitungen dann addiert werden.

    Zur Ableitung von $x^5$ verwendet man die Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Zur Ableitung von $-6x^3$ verwendet man zusätzlich noch die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

  • Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Verwende für die Ableitung von Potenzen die Potenzregel:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

    Es ist zum Beispiel: $(x^3)'=3x^2$.

    Verwende die Faktorregel:

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.

    Lösung

    Um die Funktion $f(x)=x^5-6x^3$ abzuleiten, betrachtet man jeden Summanden für sich und leitet diesen ab. Die entsprechenden Ableitungen werden dann addiert. Dies ist die Summenregel.

    Zur Ableitung der beiden Summanden wird einmal bei $x^5$ und $-6x^3$ die Potenzregel angewendet. Zusätzlich braucht man noch die Faktorregel für den zweiten Summanden $-6x^3$. Wir erhalten insgesamt:

    $f'(x)=5x^{5-1}-6\cdot 3x^{3-1}$.

    Nun kann weiter vereinfacht werden zu:

    $f'(x)=5x^4-18x^2$.

  • Erkläre, welche Ableitungsregel verwendet wird.

    Tipps

    Die Ableitung der Funktion lautet insgesamt:

    $f'(x)=-8x^3+9x^2$.

    Die verwendeten Ableitungsregeln sind:

    • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
    • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
    • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Lösung

    In dieser Übung wird die Funktion $f(x)=-2x^4+3x^3$ Schritt für Schritt abgeleitet und dabei die jeweils verwendete Ableitungsregel erklärt.

    Die verwendeten Ableitungsregeln sind:

    • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
    • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
    • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
    1. $f'(x)=(-2x^4)'+(3x^3)'$; dies ist die Summenregel.
    2. $(-2x^4)'=-2(x^4)'$; dies ist die Faktorregel für den linken Summanden.
    3. $-2(x^4)'=-2\cdot 4x^{4-1}=-8x^3$; dies ist die Potenzregel für den linken Summanden.
    4. $(3x^3)'=3(x^3)'$; dies ist die Faktorregel für den rechten Summanden.
    5. $3(x^3)'=3\cdot 3x^{3-1}=9x^2$; dies ist die Potenzregel für den rechten Summanden.
    Die Ableitung der obigen Funktion ist somit:

    $f'(x)=-8x^3+9x^2$.

  • Leite die Funktion einmal ab.

    Tipps

    Verwende das Distributivgesetz:

    $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Beachte: Weder die Faktor-, noch die Summen-, noch die Potenzregel sind Regeln zur Ableitung einer Produktes, bei welchem beide Faktoren von $x$ abhängen.

    Die verwendeten Regeln sind:

    • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
    • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
    • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Lösung

    Die Funktion $f(x) = \frac 12x^3\cdot(-2x^2+6x)$ lässt sich mit der Faktor-, der Summen- sowie der Potenzregel nicht direkt ableiten.

    Wenn man die Klammer ausmultipliziert, können diese Regeln jedoch angewendet werden:

    $f(x)=\frac 12x^3\cdot(-2x^2+6x)=-x^5+3x^4$.

    Somit gilt:

    $\begin{align*} f'(x)&=-5x^{5-1}+3\cdot 4x^{4-1}\\ &=-5x^4+12x^3. \end{align*}$

  • Nenne die richtigen Formeln für die Faktor-, Summen- und Potenzregel.

    Tipps

    Die Ableitung von $x^7$ ist zum Beispiel $7x^6$.

    Bei der Funktion $f(x)=2x^3-4x$ musst du jede der Ableitungsregeln verwenden:

    $f'(x)=2\cdot 3\cdot x^{3-1}-4=6x^2-4$.

    Lösung

    Um Funktionen abzuleiten, muss man einige Ableitungsregeln kennen:

    Die Faktorregel: Diese besagt, dass man das Vielfache einer Funktion ableitet, indem man die Funktion ableitet und mit dem entsprechenden Faktor multipliziert.

    $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$

    Die Summenregel: Diese besagt, dass die Ableitung der Summe zweier Funktionen die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist.

    $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

    Übrigens: Diese Regel kann man so auch mit dem Minuszeichen formulieren.

    Die Potenzregel: Diese beschreibt, wie man eine Potenz in $x$ ableitet.

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

  • Entscheide, welchen Wert der Parameter $a$ haben muss, damit die Ableitung an der Stelle $x=-1$ gerade $4$ ist.

    Tipps

    Multipliziere zunächst den Term mit der ersten binomischen Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    aus.

    Verwende die folgenden Ableitungsregeln:

    • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
    • Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
    • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

    Wenn du in der Ableitung $x=-1$ einsetzt, erhältst du einen Term, welcher nur von $a$ abhängt.

    Du erhältst eine Gleichung mit dem Parameter $a$, welche du nach diesem Parameter umformen kannst.

    Lösung

    Bei der Funktion

    $f(x)=(2x+a)^2$

    sind zwei Punkte zu beachten:

    • Zum einen muss man zunächst die Klammer auflösen, mit der ersten binomischen Formel, zu $f(x)=4x^2+4ax+a^2$ und
    • zum anderen, dass diese Funktion einen Parameter beinhaltet.
    Dieser Parameter wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt:

    $f'(x)=8x+4a$.

    Nun soll ein Parameter gefunden werden, für welchen an der Stelle $x=-1$ die Ableitung den Wert $4$ annimmt. Dies führt zu $f'(-1)=4$, also

    $-8+4a=4$.

    Durch Addition von $8$ und anschließende Division durch $4$ erhält man $a=3$.

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